מהו b בפונקציה ריבועית. כיצד למצוא את המקסימום או המינימום של פונקציה ריבועית. בעיות בניתוח הגרף של פונקציה ריבועית

בעיות רבות דורשות חישוב הערך המקסימלי או המינימלי של פונקציה ריבועית. ניתן למצוא את המקסימום או המינימום אם הפונקציה המקורית כתובה בצורה סטנדרטית: או דרך הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה: f (x) = a (x - h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). יתר על כן, ניתן לחשב את המקסימום או המינימום של כל פונקציה ריבועית באמצעות פעולות מתמטיות.

שלבים

הפונקציה הריבועית כתובה בצורה סטנדרטית

כתוב את הפונקציה בצורה סטנדרטית.פונקציה ריבועית היא פונקציה שהמשוואה שלה כוללת משתנה x 2 (\displaystyle x^(2)). המשוואה עשויה לכלול משתנה או לא x (\displaystyle x). אם משוואה כוללת משתנה עם מעריך גדול מ-2, היא לא מתארת ​​פונקציה ריבועית. במידת הצורך, ספק מונחים דומים וסדר אותם מחדש כדי לכתוב את הפונקציה בצורה סטנדרטית.

הגרף של פונקציה ריבועית הוא פרבולה. ענפי הפרבולה מכוונים למעלה או למטה. אם המקדם a (\displaystyle a)עם משתנה x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

חשב -b/2a.מַשְׁמָעוּת − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))היא הקואורדינטה x (\displaystyle x)קודקודים של הפרבולה. אם פונקציה ריבועית כתובה בצורה סטנדרטית a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), השתמש במקדמים עבור x (\displaystyle x)ו x 2 (\displaystyle x^(2))כְּדִלקַמָן:

• במקדמי הפונקציה a = 1 (\displaystyle a=1)ו b = 10 (\displaystyle b=10)
• כדוגמה שנייה, שקול את הפונקציה. כָּאן a = − 3 (\displaystyle a=-3)ו b = 6 (\displaystyle b=6). לכן, חשב את קואורדינטת ה"x" של קודקוד הפרבולה באופן הבא:

1. מצא את הערך המתאים של f(x).חבר את הערך שנמצא של "x" לפונקציה המקורית כדי למצוא את הערך המתאים של f(x). כך תמצאו את המינימום או המקסימום של הפונקציה.

   • בדוגמה הראשונה f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)חישבת שקואורדינטת ה-x של קודקוד הפרבולה היא x = − 5 (\displaystyle x=-5). בפונקציה המקורית, במקום x (\displaystyle x)תַחֲלִיף − 5 (\displaystyle -5)
   • בדוגמה השנייה f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)מצאת שקואורדינטת ה-x של קודקוד הפרבולה היא x = 1 (\displaystyle x=1). בפונקציה המקורית, במקום x (\displaystyle x)תַחֲלִיף 1 (\displaystyle 1)כדי למצוא את הערך המקסימלי שלו:

2. רשום את תשובתך.קרא שוב את הצהרת הבעיה. אם אתה צריך למצוא את הקואורדינטות של קודקוד פרבולה, רשום את שני הערכים בתשובתך x (\displaystyle x)ו y (\displaystyle y)(אוֹ f (x) (\displaystyle f(x))). אם אתה צריך לחשב את המקסימום או המינימום של פונקציה, רשום רק את הערך בתשובתך y (\displaystyle y)(אוֹ f (x) (\displaystyle f(x))). תסתכל שוב על סימן המקדם a (\displaystyle a)כדי לבדוק אם חישבת את המקסימום או המינימום.

   הפונקציה הריבועית נכתבת דרך הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה

   1. כתוב את הפונקציה הריבועית במונחים של הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה.המשוואה הזו נראית כך:

      קבע את כיוון הפרבולה.לשם כך, הסתכל על הסימן של המקדם a (\displaystyle a). אם המקדם a (\displaystyle a)חיובי, הפרבולה מכוונת כלפי מעלה. אם המקדם a (\displaystyle a)שלילי, הפרבולה מכוונת כלפי מטה. לְדוּגמָה:

      מצא את הערך המינימלי או המקסימלי של הפונקציה.אם הפונקציה נכתבת דרך הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה, המינימום או המקסימום שווה לערך המקדם k (\displaystyle k). בדוגמאות לעיל:

      מצא את הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה.אם הבעיה דורשת מציאת קודקוד פרבולה, הקואורדינטות שלה הן (h , k) (\displaystyle (h,k)). שימו לב שכאשר פונקציה ריבועית נכתבת דרך הקואורדינטות של קודקוד פרבולה, פעולת החיסור חייבת להיות מוקפת בסוגריים (x - h) (\displaystyle (x-h)), אז הערך h (\displaystyle h)נלקח עם הסימן ההפוך.

   כיצד לחשב מינימום או מקסימום באמצעות פעולות מתמטיות

   ראשית, בואו נסתכל על הצורה הסטנדרטית של המשוואה.כתוב את הפונקציה הריבועית בצורה סטנדרטית: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). במידת הצורך, הוסף מונחים דומים וארגן אותם מחדש כדי לקבל את המשוואה הסטנדרטית.

   מצא את הנגזרת הראשונה.הנגזרת הראשונה של פונקציה ריבועית, הכתובה בצורה תקנית, שווה ל f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   השוו את הנגזרת לאפס.נזכיר שהנגזרת של פונקציה שווה לשיפוע הפונקציה בנקודה מסוימת. במינימום או מקסימום, השיפוע הוא אפס. לכן, כדי למצוא את הערך המינימלי או המקסימלי של פונקציה, יש להגדיר את הנגזרת לאפס. בדוגמה שלנו:

- — [] פונקציה ריבועית פונקציה של הצורה y= ax2 + bx + c (a ? 0). גרף K.f. - פרבולה, שבקודקודה יש ​​קואורדינטות [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], עם a>0 ענפים של הפרבולה ... ...

פונקציה ריבועית, פונקציה מתמטית שערכה תלוי בריבוע של המשתנה הבלתי תלוי, x, וניתנת, בהתאמה, על ידי POLYNOMIAL ריבועי, למשל: f(x) = 4x2 + 17 או f(x) = x2 + 3x + 2. ראה גם משוואת ריבוע... מילון אנציקלופדי מדעי וטכני

פונקציה ריבועית- פונקציה ריבועית - פונקציה בצורה y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). גרף K.f. - פרבולה שלקודקודה יש ​​קואורדינטות [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], עבור a> 0 הענפים של הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, עבור a< 0 –вниз… …

- (ריבועית) פונקציה בעלת הצורה הבאה: y=ax2+bx+c, כאשר a≠0 והדרגה הגבוהה ביותר של x היא ריבוע. ניתן לפתור את המשוואה הריבועית y=ax2 +bx+c=0 גם באמצעות הנוסחה הבאה: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. השורשים האלה אמיתיים... מילון כלכלי

פונקציה ריבועית אפינית במרחב זיקה S היא כל פונקציה Q: S→K בעלת הצורה Q(x)=q(x)+l(x)+c בצורה וקטורית, כאשר q היא פונקציה ריבועית, l הוא פונקציה לינארית, c הוא קבוע. תוכן 1 שינוי נקודת ההתייחסות 2 ... ... ויקיפדיה

פונקציה ריבועית אפינית במרחב זיקה היא כל פונקציה שיש לה את הצורה בצורה וקטורית, כאשר היא מטריצה ​​סימטרית, פונקציה לינארית, קבוע. תוכן... ויקיפדיה

פונקציה על מרחב וקטור המוגדר על ידי פולינום הומוגנית מהמעלה השנייה בקואורדינטות של הווקטור. תוכן 1 הגדרה 2 הגדרות קשורות... ויקיפדיה

- היא פונקציה שבתורת ההחלטות הסטטיסטיות מאפיינת הפסדים עקב קבלת החלטות שגויה על סמך נתונים נצפים. אם נפתרת הבעיה של הערכת פרמטר אות על רקע רעש, אזי פונקציית ההפסד היא מדד לאי ההתאמה... ... ויקיפדיה

פונקציה אובייקטיבית- - [יא.נ.לוגינסקי, מ.ס.פזי ז'ילינסקאיה, יו.ש.קבירוב. מילון אנגלי-רוסי להנדסת חשמל והנדסת חשמל, מוסקבה, 1999] פונקציה אובייקטיבית בבעיות קיצוניות, פונקציה שנדרש למצוא את המינימום או המקסימום שלה. זה…… מדריך למתרגם טכני

פונקציה אובייקטיבית- בבעיות קיצוניות, פונקציה שצריך למצוא את המינימום או המקסימום שלה. זהו מושג מפתח בתכנות אופטימלי. לאחר שמצאתי את הקיצון של C.f. ולפיכך, לאחר שקבעתי את ערכי המשתנים המבוקרים המגיעים אליו... ... מילון כלכלי ומתמטי

ספרים

• סט שולחנות. מָתֵימָטִיקָה. גרפים של פונקציות (10 טבלאות), . אלבום חינוכי של 10 גיליונות. פונקציה לינארית. הקצאה גרפית ואנליטית של פונקציות. פונקציה ריבועית. הפיכת הגרף של פונקציה ריבועית. פונקציה y=sinx. פונקציה y=cosx.…
• הפונקציה החשובה ביותר של מתמטיקה בית ספרית - ריבועית בבעיות ופתרונות, פטרוב נ.. הפונקציה הריבועית היא הפונקציה העיקרית של קורס המתמטיקה בבית הספר. זה לא מפתיע. מצד אחד, הפשטות של פונקציה זו, ומצד שני, המשמעות העמוקה. משימות רבות בבית הספר...

פונקציה של הצורה שבה נקראת פונקציה ריבועית.

גרף של פונקציה ריבועית - פָּרַבּוֹלָה.

בואו נבחן את המקרים:

אני מקרה, פרבולה קלאסית

כלומר,

כדי לבנות, מלא את הטבלה על ידי החלפת ערכי x בנוסחה:

סמן את הנקודות (0;0); (1;1); (-1;1) וכו'. במישור הקואורדינטות (ככל שהצעד שניקח את ערכי x קטן יותר (במקרה זה, שלב 1), וככל שניקח יותר ערכי x, כך העקומה תהיה חלקה יותר), נקבל פרבולה:

קל לראות שאם ניקח את המקרה , , , כלומר, אז נקבל פרבולה שהיא סימטרית על הציר (אוי). קל לאמת זאת על ידי מילוי טבלה דומה:

מקרה שני, "א" שונה מיחידה

מה יקרה אם ניקח , , ? כיצד תשתנה התנהגות הפרבולה? With title="Renderd by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

בתמונה הראשונה (ראה למעלה) ניכר בבירור שהנקודות מהטבלה של הפרבולה (1;1), (-1;1) הומרו לנקודות (1;4), (1;-4), כלומר, עם אותם ערכים, הסמין של כל נקודה מוכפל ב-4. זה יקרה לכל נקודות המפתח של הטבלה המקורית. אנו חושבים באופן דומה במקרים של תמונות 2 ו-3.

וכשהפרבולה "נעשית רחבה יותר" מהפרבולה:

בואו נסכם:

1)סימן המקדם קובע את כיוון הענפים. With title="Renderd by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) ערך מוחלטמקדם (מודלוס) אחראי על "התרחבות" ו"דחיסה" של הפרבולה. ככל שהפרבולה גדולה יותר, הפרבולה צרה יותר;

III מקרה, "C" מופיע

עכשיו בואו נכניס למשחק (כלומר, לשקול את המקרה כאשר), נשקול פרבולות של הצורה . לא קשה לנחש (תמיד אפשר להתייחס לטבלה) שהפרבולה תזוז למעלה או למטה לאורך הציר בהתאם לסימן:

מקרה IV, "ב" מופיע

מתי הפרבולה "תתנתק" מהציר ולבסוף "תלך" לאורך כל מישור הקואורדינטות? מתי זה יפסיק להיות שווה?

כאן כדי לבנות פרבולה אנחנו צריכים נוסחה לחישוב הקודקוד: , .

אז בשלב זה (כמו בנקודה (0;0) של מערכת הקואורדינטות החדשה) נבנה פרבולה, מה שאנחנו כבר יכולים לעשות. אם במקרה עסקינן, אז מהקודקוד שמים קטע יחידה אחד ימינה, אחד למעלה, - הנקודה המתקבלת היא שלנו (באופן דומה, מדרגה שמאלה, מדרגה למעלה היא הנקודה שלנו); אם עסקינן, למשל, אז מהקודקוד שמים קטע יחידה אחד ימינה, שניים - כלפי מעלה וכו'.

לדוגמה, קודקוד פרבולה:

עכשיו העיקר להבין הוא שבקודקוד הזה נבנה פרבולה לפי תבנית הפרבולה, כי במקרה שלנו.

בעת בניית פרבולה לאחר מציאת הקואורדינטות של הקודקוד מאודזה נוח לשקול את הנקודות הבאות:

1) פָּרַבּוֹלָה בהחלט יעבור דרך הנקודה . ואכן, החלפת x=0 בנוסחה, נקבל את זה. כלומר, הסמין של נקודת החיתוך של הפרבולה עם הציר (oy) היא . בדוגמה שלנו (למעלה), הפרבולה חותכת את הקוסמינטה בנקודה , שכן .

2) ציר סימטריה פרבולות הוא קו ישר, ולכן כל הנקודות של הפרבולה יהיו סימטריות לגביו. בדוגמה שלנו, מיד לוקחים את הנקודה (0; -2) ובונים אותה סימטרית ביחס לציר הסימטריה של הפרבולה, נקבל את הנקודה (4; -2) שדרכה הפרבולה תעבור.

3) בשווה ל , אנו מגלים את נקודות החיתוך של הפרבולה עם הציר (הו). לשם כך, נפתור את המשוואה. בהתאם לאבחנה, נקבל אחד (, ), שניים ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . בדוגמה הקודמת, שורש המבחין שלנו אינו מספר שלם בעת בנייה, אין זה הגיוני למצוא את השורשים, אך אנו רואים בבירור שיהיו לנו שתי נקודות חיתוך עם הציר (אוי) (מאז title="Renderd by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

אז בואו נסתדר

אלגוריתם לבניית פרבולה אם היא ניתנת בצורה

1) לקבוע את כיוון הענפים (a>0 – למעלה, א<0 – вниз)

2) נמצא את הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה באמצעות הנוסחה , .

3) אנו מוצאים את נקודת החיתוך של הפרבולה עם הציר (oy) באמצעות האיבר החופשי, בונים נקודה סימטרית לנקודה זו ביחס לציר הסימטריה של הפרבולה (יש לציין שקורה שלא משתלם לסמן נקודה זו, למשל, מכיוון שהערך גדול... אנו מדלגים על נקודה זו...)

4) בנקודה המצוי - קודקוד הפרבולה (כמו בנקודה (0;0) של מערכת הקואורדינטות החדשה) אנו בונים פרבולה. If title="Renderd by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) אנו מוצאים את נקודות החיתוך של הפרבולה עם הציר (oy) (אם הן עדיין לא "עלו לפני השטח") על ידי פתרון המשוואה

דוגמה 1

דוגמה 2

הערה 1.אם הפרבולה ניתנת לנו בהתחלה בצורה , איפה יש כמה מספרים (למשל, ), אז זה יהיה אפילו יותר קל לבנות אותה, כי כבר קיבלנו את הקואורדינטות של הקודקוד . מַדוּעַ?

ניקח טרינום ריבועי ונבודד את הריבוע השלם בו: תראה, יש לנו את זה , . אתה ואני קראנו בעבר לקודקוד של פרבולה, כלומר עכשיו,.

לדוגמה, . אנו מסמנים את קודקוד הפרבולה במישור, אנו מבינים שהענפים מכוונים כלפי מטה, הפרבולה מורחבת (ביחס ל). כלומר, אנו מבצעים את נקודות 1; 3; 4; 5 מהאלגוריתם לבניית פרבולה (ראה לעיל).

הערה 2.אם הפרבולה ניתנת בצורה דומה לזה (כלומר, מוצגת כמכפלה של שני גורמים ליניאריים), אז אנו רואים מיד את נקודות החיתוך של הפרבולה עם הציר (שור). במקרה זה – (0;0) ו-(4;0). עבור השאר, אנו פועלים לפי האלגוריתם, פותחים את הסוגריים.

XIII הפורום המדעי האזורי של חוקרים צעירים

"צעד לתוך העתיד - 2010"

עבודת מחקר

פונקציה ריבועית: המחקר והגרפים שלה.

MOU "Shipakovskaya main"

בית ספר תיכון »

מְפַקֵחַ:

מורה למתמטיקה

MOU "Shipakovskaya main"

בית ספר תיכון »

הפדרציה הרוסית

2010

סיכום קצר

עבודת מחקר זו מציגה חומר על הפונקציה הריבועית ותכונותיה בצורה נגישה.

נבנו גרפים של 33 פונקציות ריבועיות בעלות מבנה שונה. על סמך הנתונים, גובש אלגוריתם מחקר.

מוצגות שתי שיטות לבניית גרפים. האלגוריתם לבניית גרפים הוגדר.

בעת כתיבת עבודת מחקר, נעשה שימוש בחומרים שפורסמו, בתוכנית ADVANCED GRAPHER ונבנו גרפים שונים. ערכתי את המחקר שלי במהלך שנת הלימודים האחרונה.

פונקציה ריבועית: המחקר והגרפים שלה

רוסיה, אזור טיומן, מחוז יורגינסקי, כפר. Shipakovo,

מוסד חינוכי עירוני "בית ספר תיכון יסודי Shipakovskaya", תלמיד כיתה ט'.

ביאור

מטרת העבודה:לימוד תכונות של פונקציה ריבועית, תכונות של מיקום גרפים במישור הקואורדינטות, לימוד אלגוריתמים לבניית גרפים של פונקציות במישור הקואורדינטות.

משימות:

חקור את המאפיינים של פונקציה ריבועית. זהה מה קובע את מיקומם של הגרפים של הפונקציות הללו במישור הקואורדינטות. למד אלגוריתמים לבניית פונקציה ריבועית. למד לבנות במהירות ובנכון גרפים של פונקציות ריבועיות במישור הקואורדינטות.

שיטות עבודה וטכניקות:

לימוד גרפים של פונקציות ריבועיות, לימוד ספרות מיוחדת, חיפוש מידע באינטרנט, בניית גרפים של פונקציות ריבועיות באמצעות תוכנת ADVANCED GRAPHER.

נתונים שהתקבלו:

מיקומם של הגרפים של פונקציות ריבועיות תלוי בערך של a, b, c והמבחין. ניתן לבנות גרף של פונקציה זו בשתי דרכים: לפי נקודות, במערכת קואורדינטות עזר על ידי בחירת ריבוע שלם.

מסקנות:

1.אם a = 1, אז הגרף של הפונקציה הריבועית הוא גרף y = x2, המועבר במקביל לציר y עם הקודקוד בנקודה (- ;-).

2.אם a>0, אז ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה. אם א<0, то ветви параболы направлены вниз.

3. לכל הגרפים של פונקציות ריבועיות יש ציר סימטריה העובר דרך קודקוד הפרבולה, מקביל לציר ה-y או ההוויה.

4. כדי ללמוד גרפים, מספיק לדעת את הערך של a, את הקואורדינטות של הקודקוד ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

5.אם a=1, הקואורדינטות של הקודקוד הן מספרים שלמים, אז יותר נוח לבנות גרף באמצעות מערכת קואורדינטות עזר. אם לא, אז בנה גרף לפי נקודות.

פונקציה ריבועית: המחקר והגרפים שלה

רוסיה, אזור טיומן, מחוז יורגינסקי, כפר. Shipakovo,

מוסד חינוכי עירוני "בית ספר תיכון יסודי Shipakovskaya", תלמיד כיתה ט'.

מאמר מדעי

פונקציה ריבועיתהיא פונקציה שניתן לציין על ידי נוסחה של הטופס

y=ax² + bx +ג, איפה א≠0.

החלטתי לשרטט גרפים שונים של פונקציות ריבועיות באמצעות התוכנית ADVANCED GRAPHER ולחקור אותם. לקחתי נוסחאות שרירותיות של פונקציות ריבועיות, שונות במבנה (הנוסחאות של פונקציות ריבועיות אלו שונות זו מזו בערכי a, b, c). השוויתי את הקואורדינטות של קודקודי הפרבולה של הגרפים הבנויים לאלו שחושבו באמצעות הנוסחה (- ; -). מצאתי גם את הערכים המפלים.

1. פונקציה ריבועית: y = x2(פונקציה ריבועית יסודית: a=1, b=0, c=0). (נספח 1)

b=0, c=0

2. פונקציה ריבועית: y = 3x2 (a>0, b=0, c=0) (נספח 2)

3. פונקציה ריבועית: y = -3x2 (a<0, b=0, с=0) (Приложение 3)

4. פונקציה ריבועית: y = x2 (0<а <1, b=0, с=0) (Приложение 4)

5. פונקציה ריבועית: y = -x2 (0 >a >1, b=0, c=0) (נספח 5)

גרפים של פונקציות ריבועיות שעבורן a > 0,b=0

6. פונקציה ריבועית: y = x2+4 (a=1, b=0, c>0) (נספח 6)

7. פונקציה ריבועית: y = x2-4 (a=1, b=0, c<0) (Приложение 7)

8. פונקציה ריבועית: y = 2x2+4 (a>1, b=0, c>0) (נספח 8)

9. פונקציה ריבועית: y = 2x2-4 (a>1, b=0, c<0) (Приложение 9)

10. פונקציה ריבועית: y = x2+4 (0<а<1, b=0, с>0) (נספח 10)

11. פונקציה ריבועית: y = x2-4 (0<а<1, b=0, с<0) (Приложение 11)

גרפים של פונקציות ריבועיות שעבורן א<0, b=0

12. פונקציה ריבועית: y = - x2+5 (a=-1, b=0, c>0) (נספח 12)

13. פונקציה ריבועית: y = - x2-5 (a=-1, b=0, c<0) (Приложение 13)

14. פונקציה ריבועית: y = -2x2+5 (א<-1, b=0, с>0) (נספח 14)

15. פונקציה ריבועית: y = -2x2-5 (a<-1, b=0, с<0) (Приложение 15)

16. פונקציה ריבועית: y = -x2+5 (0>a>-1, b=0, c>0) (נספח 16)

17. פונקציה ריבועית: y = -x2-5 (0>a>-1, b=0, c<0) (Приложение 17)

גרפים של פונקציות ריבועיות שעבורןב≠0, s=0

18. פונקציה ריבועית: y = x2+3x (a=1, b≠0, c=0) (נספח 18)

19. פונקציה ריבועית: y = - x2+3x (a=1, b≠0, c=0) (נספח 19)

20. פונקציה ריבועית: y = 2x2+3x (a>1, b≠0, c=0) (נספח 20)

21. פונקציה ריבועית: y = -2x2+3x (a<-1, b≠0, с=0) (Приложение 21)

22. פונקציה ריבועית: y = x2+3x (0<а<1, b≠0, с=0) (Приложение 22)

23. פונקציה ריבועית: y = -x2+3x (0>a>1, b≠0, c=0) (נספח 23)

גרפים של פונקציות ריבועיות שעבורן a=1,b≠0, s≠0

24. פונקציה ריבועית: y = x2+4x-5 (a>0, b≠0, c≠0) (נספח 24)

25. פונקציה ריבועית: y = x2+4x+5 (a>0, b≠0, c≠0) (נספח 25)

26. פונקציה ריבועית: y = x2+4x+4 (a>0, b≠0, c≠0) (נספח 26)

גרפים של פונקציות ריבועיות שעבורן a = -1,b≠0, s≠0

27. פונקציה ריבועית: y = - x2+4x+5 (a<0, b≠0, с≠0) (Приложение 27)

28. פונקציה ריבועית: y = - x2-4x-5 (a<0, b≠0, с≠0) (Приложение 28)

29. פונקציה ריבועית: y = - x2-4x-4 (a<0, b≠0, с≠0) (Приложение 29)

גרפים של פונקציות ריבועיות שעבורן a≠1,b≠0, s≠0

30. פונקציה ריבועית: y = 2x2+6x+5 (a>1, b≠0, c≠0) (נספח 30)

31. פונקציה ריבועית: y = -2x2+6x+5 (a< -1, b≠0, с≠0) (Приложение 31)

גרפים של פונקציות ריבועיות שיש להן -1<а<1, b≠0, s≠0

32. פונקציה ריבועית: y = x2+6x+15 (0<а <1, b≠0, с≠0) (Приложение 32)

33. פונקציה ריבועית: y = -x2+6x>a > -1, b≠0, c≠0) (נספח 33)

הגרף של כל הפונקציות הריבועיות הוא פרבולה. אם a > 0 , ואז ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה. אם א< 0, ואז ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה. קודקוד של פרבולה

y = ax² בנקודה (0;0); y = ax²+c בנקודה (0;c); y = ax²+in ו-y = ax²+in+c בנקודה (- ; -).

ציר סימטריההוא קו ישר ביחס אליו כל הנקודות בגרף של פונקציה ממוקמות באופן סימטרי. לכל הגרפים של פונקציות ריבועיות יש ציר סימטריה העובר דרך הקודקוד. אם פונקציה ניתנת על ידי הנוסחה y = ax² או y = ax²+c, אז ציר הסימטריה הוא ציר ה-y. אם הפונקציה ניתנת על ידי הנוסחה y = ax²+ bx או y = ax2+ bx+c, אז ציר הסימטריה הוא הישר x = - .

דחיסה ומתיחה של גרפים.

דחיסה: גרף פונקציות y = аf(x) (א> 1) מתקבל על ידי מתיחת גרף הפונקציה y = f(x) לאורך הציר y V אפַּעַם.

מתיחה: גרף פונקציות y = аf(x) (0 < א< 1) получается с помощью сжатия графика функции y = f(x) לאורך הציר yלְעִתִים.

הגרף של פונקציות ריבועיות, עם a = 1, הוא גרף של y = x2, המועבר במקביל לציר y לקודקוד (- ;-). אם a = -1, אז הוא גם מתורגם באופן סימטרי ביחס לישר y = - (קו ישר העובר בקודקוד, מקביל לציר ה-x).

הגרף של פונקציות ריבועיות עבור a > 1, ללא קשר לערכים של b ו-c, הוא גרף y = x2, שנמתח לאורך ציר הסימטריה ב אפעמים מלמעלה, ב-0 אפַּעַם. אם א<0, а ≠-1, то графики помимо сжатия или растяжения еще и симметрично переносятся относительно прямой у = - .

תלות של מיקומו של הגרף של פונקציה ריבועית באבחון.

המאפיינים של הפונקציה וסוג הגרף שלה נקבעים לפי הערך של a ושל המבחין

ד=ב² - 4 ac.

https://pandia.ru/text/78/547/images/image007_45.gif" alt="parabola1" align="left" width="192 height=187" height="187">!}

https://pandia.ru/text/78/547/images/image010_29.jpg" alt="parabola5" width="196" height="177">!}
תכונות של פונקציות ריבועיות

1. לכל הפונקציות הריבועיות יש תחום הגדרה: R, כל המספרים הממשיים.

2. טווח הערכים תלוי בערך של a: when א > 0 [-;+∞), עם א < 0 (-∞;- ] .

3. זוגיות, מוזרות של פונקציות ריבועיות: מתי ב= 0 הפונקציה זוגית (כלומר, y = ax2+c= a(-x)2+c; עם ב≠0, אז הפונקציה אינה זוגית ואינה.

4. אפסים של הפונקציה (כלומר באילו ערכים של הארגומנט, הערך של הפונקציה הוא 0).

אִם ד> 0, אז לגרף של הפונקציה הריבועית יש שני אפסים: x1=; x2=

וגרף הפונקציה חותכים את ציר ה-x ב-2 נקודות.

אִם ד= 0, אז לגרף של הפונקציה הריבועית יש אפס אחד: x = -;

והגרף של הפונקציה נוגע בציר ה-x בנקודה (- ; 0)

אִם ד < 0, то график квадратичной функции не имеет нулей, график не пересекает ось х.

5. מרווחים של סימן קבוע (מרווחים מתחום ההגדרה של הפונקציה, כאשר הפונקציה מקבלת ערכים חיוביים או שליליים, כלומר y>0 או y<0).

אם a>0, D>0, אז y>0 עבור x(-∞; x1)U( x2; + ∞); בְּ-<0 при хhttps://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13">(-∞;x)U( x; +∞).

אם a>0, D<0, то у>0 ב-x https://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13 src="> (x1; x2); y<0 при х(-∞;x1)U( x2; ∞).

אם א<0, D =0, то у<0 при х (-∞;x)U( x; ∞).

אם א<0, D <0, то у<0 при х https://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13"> [-;+∞); פוחת כ-x (-∞;- ].

אם א<0, функция возрастает при х(-∞;-], פוחת כ-x [- ;+∞).

7. פונקציה קיצונית (מקסימום, מינימום נקודות) בנקודות המקסימום (המינימום), ערך הפונקציה גדול (בהתאמה קטן) מכל הערכים השכנים לה.

אם a >0, אז לגרפים יש רק מינימום של פונקציות, אם א<0 – только максимум функций. Это точки вершины параболы.

אִם א> 0, אם כן xmin = - ; ymin = -; אִם א < 0 xמקסימום = -; yמקסימום = -.

אלגוריתם לחקר המאפיינים של פונקציה ריבועית

היקף ההגדרה. טווח ערכים. פונקציה זוגית או מוזרה. אפסים פונקציה. מרווחים של קביעות סימנים. מרווחים של מונוטוניות. אקסטרמה של פונקציה.

לאחר ניתוח הגרף של הפונקציות הריבועיות שלי, ערכתי אלגוריתם לבניית גרפים של פונקציות ריבועיות לפי נקודות (שיטה 1).

מצא את האבססיס של קודקוד הפרבולה באמצעות הנוסחה x0 = - . מצא את הערך של y0 באמצעות הנוסחה y0 = - . במישור הקואורדינטות אנו בונים את קודקודה של פרבולה עם קואורדינטות (x0; y0). הבה נקבע את כיוון הענפים של הפרבולה (לפי מקדם a). הבה נצייר את ציר הסימטריה של הפרבולה דרך הקודקוד שלה, במקביל לציר ה-y. בחר את ערכי ה-x משמאל או מימין לציר הסימטריה של הפרבולה ומלא את טבלת הערכים. אנו בונים נקודות באמצעות הקואורדינטות שהתקבלו במישור הקואורדינטות. אנו בונים גרף של פונקציה ריבועית ללא הגבלות בנקודות הקיצון וחותמים על הגרף.

אני אבנה באמצעות האלגוריתם הזה גרף y = x2 - 4x + 3

2. D = b2-4ac = (-= 4 y = - = .

4. a>0, ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה.

5. ציר הסימטריה הוא קו ישר x = 2.

6. טבלת ערכים

7. בנה נקודות עם הקואורדינטות שהתקבלו במישור הקואורדינטות.

כיתה ח" href="/text/category/8_klass/" rel="bookmark">כיתה ח' למדנו לזהות ריבוע שלם במשוואות ריבועיות. אלנה ניקולייבנה אמרה אז שמיקום הגרף במישור הקואורדינטות תלוי ב זה החלטתי לבדוק: האם ניתן ליצור אלגוריתם לבניית גרפים של פונקציות ריבועיות במישור הקואורדינטות על ידי בחירת ריבוע שלם?

למדתי את משוואות הפונקציות הריבועיות שלי מ-18-33 והשוויתי את הנוסחאות שהתקבלו עם הקודקודים של הגרפים המשורטטים:

18. y = x2+3x = (x2+2 1.5 x +2.25) – 2.25 = (x+1.5) 2-2.25 a = קודקוד אחד (-1,5;-2,25)

19. y = - x2+3x = -1(x2-2 ·1.5 ·x +2.25) + 2.25 = -1(x – 1.5)2 +2.25 a = -1 קודקוד (1,5; 2,25)

20. y = 2x2+3x = 2(x2+2 0.75 x + 0.5625) -1.125 = 2(x+0.75)2 -1.125 a = 2

קָדקוֹד (-0,75;-1,125)

21. y = -2x2+3x = -2(x2-2 0.75 x +0.5625)+1.125 = -2(x-0.75)2 +1.125 a = 2

קָדקוֹד (0,75;1,125)

22. y = x2+3x = (x2 +2·3·x + 9) – 4.5= (x +3)2 -4.5 a =https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">x2+3x = -(x2 -2·3·x + 9) + 4.5= -(x -3)2 +4.5 a = -https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">x2+4x+15 =(x2 +2·6· x + 36) -18+15= (x +6)2 -3 a =https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">x2+6x-14 = -(x2 -2·6· x + 36) +18 -14= - (x -6)2 +4 a =https://pandia.ru/text/78/547/images/image001_112.gif" width="24" height="41">; n = - . כלומר, הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה (m; n)

אלגוריתם לבניית גרף של פונקציה ריבועית באמצעות מערכת קואורדינטות עזר באמצעות בחירת ריבוע שלם (שיטה 2).

1.המר נוסחה y=ax²+in+c =y =a(x –m)2 +נ, כאשר m= - ; n = -

או y = a (x + )2 -

2. תזמן מתיחות y = x 2 לאורך הציר בְּ- V א פעמים ב-a>1, ב-0< א < 1 - это сжатие в אפַּעַם.
אִם א< 0, произвести ещё и зеркальное отражение графика относительно оси X(ענפי הפרבולה יופנו כלפי מטה).
תוצאת טרנספורמציה: גרף פונקציות y=ax 2.

https://pandia.ru/text/78/547/images/image020_21.jpg" width="147" height="193 src=">

y = א(x - מ)2 לאורך הציר yעל ידי n (מעלה ב נ> 0 ומטה ב נ < 0). Результат преобразования: график функции y = a(x-m) 2+n

https://pandia.ru/text/78/547/images/image026_15.jpg" width="336" height="161 src=">

4. העברה מקבילה של גרף פונקציה
y = - (x+ 2)2 לאורך הציר yלפי -1.

כיתה ו'" href="/text/category/6_klass/" rel="bookmark">כיתה ו', . - עורך ד' – ה.- מ. הוצאת "מילה רוסית", 1997 "אלגברה". ספר לימוד כיתה ט'. , מ. חינוך, 2004 עיתון "מתמטיקה" שבועי "ראשון בספטמבר", 2003 "מתמטיקה" שבועי מבחנים ומטלות בחינות במתמטיקה "פיטר", 2005. "ערך אבסולוטי". - מ.: חינוך, 1968. "פונקציות ובניית גרפים". 1991.

פונקציה ריבועית: המחקר והגרפים שלה

רוסיה, אזור טיומן, מחוז יורגינסקי, כפר. Shipakovo,

מוסד חינוכי עירוני "בית ספר תיכון יסודי Shipakovskaya", תלמיד כיתה ט'.

תוכנית לימודים

הצדקה לבעיה.בחומרי המבחן והמדידה על אלגברה בכיתה ט' למעבר תעודת הגמר הממלכתית בצורה חדשה, התברר כי נמצאות משימות רבות על בניית גרפים של פונקציות ריבועיות ולימודן. בעת בניית גרפים של פונקציה ריבועית, מתעוררים קשיים בשל העובדה שכאשר מרכיבים טבלת ערכים עבור ערכי מודולו קטנים של הארגומנט, ערכי הפונקציה הם לפעמים מודולו גדולים מאוד ואינם נכללים במחברת עַמוּד. לכן, החלטתי לחקור: תכונות של פונקציה ריבועית ומה קובע את מיקומם של הגרפים של פונקציות ריבועיות במישור הקואורדינטות; למד אלגוריתמים לבניית גרפים של פונקציות אלו ובחר באלגוריתם הקל ביותר לבניית גרף של פונקציה ריבועית.

הַשׁעָרָה:

אם אני לומד את המאפיינים של פונקציה ריבועית, אלגוריתמים לבניית גרפים, ואזהה מה קובע את מיקומם של גרפים במישור הקואורדינטות, אז אני יכול לבנות במהירות ובצורה נכונה גרפים של פונקציה זו, בבחירת שיטת הבנייה הקלה ביותר; לחקור את הפונקציה הזו.

תיאור השיטה:

1. בניתוח הפונקציות הריבועיות שלי, הגעתי למסקנה שכדי לערוך מחקר של תכונות הפונקציות מספיק לדעת:

ערך א: לקבוע את כיווני הענפים של הפרבולה, דחיסה והתרחבות של גרפים, מרווחים של סימן קבוע;

קואורדינטות של קודקודי הפרבולה: לקבוע את טווח הערכים, מרווחי מונוטוניות, קיצוניות של הפונקציה;

משמעות ב: לקבוע זוגי, או לא זוגי ולא אי זוגי;

ערך מבחין: לקביעת מספר אפסים של פונקציות;

אם ד< 0, то нулей функции нет;

אם D = 0, אז האפס של הפונקציה הוא אחד - זהו קודקוד הפרבולה;

אם D > 0, אז לפונקציה יש 2 אפסים.

אפסים של הפונקציה: לקבוע מרווחים של סימן קבוע.

2. תוך כדי עבודה על הנושא שלי, פיתחתי שיטה משלי לבניית גרפים של פונקציה ריבועית (באמצעות מערכת קואורדינטות עזר) באמצעות האלגוריתם הבא:

קבע את קודקוד הפרבולה. בנה מערכת קואורדינטות עזר שבמרכזה נקודת הקודקוד. בנה גרף y = x2 בנקודת הקודקוד אם א › 0, כוון את הענפים כלפי מעלה.

אם ‹ 0, אז הענפים מופנים כלפי מטה.

אם IaI ›1, אז מתחו את הגרף ביחס לציר הסימטריה בכמה פעמים

אם 0 ‹ IaI ‹1, דחוס את הגרף ביחס לציר הסימטריה בגורם

3. נוח לבנות גרפים של פונקציות ריבועיות בדרכים שונות. אם a = 1, הקואורדינטות של הקודקוד הן מספרים שלמים, אז באמצעות מערכת קואורדינטות עזר. אם a ≠ 1, הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה אינן מספרים שלמים, אז השיטה: לפי נקודות.

4. בשיעורי אלגברה בכיתה ט', לאחר סיום עבודת מחקר זו, אני עוזר לחבריי לכיתה ללמוד את השיטות הללו לבניית גרפים של פונקציות ריבועיות באמצעות השיטות שלי, ולבצע את המחקר שלהם.

תוֹצָאָה:

במהלך עבודת המחקר שלי, הרכבתי אלגוריתם לחקר תכונותיה של פונקציה ריבועית ובדקתי אותו בפועל. למדתי שניתן לציין פונקציות ריבועיות בשתי דרכים: ax2+bx+c ו-a(x-m)+n. למדתי איך לבנות גרפים של פונקציות אלו באמצעות 2 אלגוריתמים. גיליתי מה קובע את מיקומם של גרפים במישור הקואורדינטות. היא יצרה מדריך מתודולוגי "מהמורות של הפונקציה הריבועית", אותו חילקה לתלמידים בבית ספרה והציגה לבתי ספר אחרים. בעתיד אני מתכנן ללמוד פונקציות ריבועיות שיש להן מודול בנוסחה.

אם אתה רוצה להשתתף בחיים גדולים, אז מלא את הראש שלך במתמטיקה בזמן שיש לך הזדמנות. לאחר מכן היא תספק לך סיוע רב בכל עבודתך.

מִי. קלינין

אחת הפונקציות העיקריות של מתמטיקה בית ספרית, שעבורה נבנתה תיאוריה מלאה וכל התכונות הוכחו, היא פונקציה ריבועית. על התלמידים להבין ולהכיר בבירור את כל המאפיינים הללו. יחד עם זאת, יש הרבה מאוד בעיות בפונקציה הריבועית - החל מפשוטות מאוד, הנובעות ישירות מהתיאוריה והנוסחאות, ועד למורכבות ביותר, שפתרונן דורש ניתוח והבנה מעמיקה של כל המאפיינים של הפונקציה.

כאשר פותרים בעיות הכרוכות בפונקציה ריבועית, ישנה חשיבות מעשית רבה להתאמה בין התיאור האלגברי של הבעיה לבין הפירוש הגיאומטרי שלה - תמונה של שרטוט של גרף הפונקציה במישור הקואורדינטות. הודות לתכונה זו יש לך תמיד את ההזדמנות לבדוק את נכונות ועקביות ההיגיון התיאורטי שלך.

הבה נשקול מספר בעיות בנושא "פונקציה ריבועית" ונתעכב על הפתרון המפורט שלהן.

משימה 1.

מצא את סכום הערכים השלמים של המספר p שעבורו קודקוד הפרבולה y = 1/3x 2 – 2px + 12p ממוקם מעל ציר השור.

פִּתָרוֹן.

ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה (a = 1/3 > 0). מאחר שקודקוד הפרבולה נמצא מעל ציר השור, הפרבולה אינה חותכת את ציר האבשיסה (איור 1). אז הפונקציה

y = 1/3x 2 - 2px + 12p אין אפסים,

והמשוואה

1/3x 2 – 2px + 12p = 0 אין שורשים.

זה אפשרי אם המבחין של המשוואה האחרונה יתברר כשלי.

בוא נחשב את זה:

D/4 = p 2 – 1/3 12p = p 2 – 4p;

עמ' 2 - 4 עמ'< 0;

p(p – 4)< 0;

p שייך למרווח (0; 4).

סכום ערכי מספר שלם של המספר p מהמרווח (0; 4): 1 + 2 + 3 = 6.

תְשׁוּבָה: 6.

שימו לב שכדי לענות על שאלת הבעיה ניתן היה לפתור את אי השוויון

y ב-> 0 או (4ac – b 2) / 4a > 0.

משימה 2.

מצא את מספר הערכים השלמים של המספר a שעבורם האבססיס והאורדינטה של ​​קודקוד הפרבולה y = (x – 9a) 2 + a 2 + 7a + 6 הם שליליים.

פִּתָרוֹן.

אם לפונקציה הריבועית יש את הצורה

y = a(x – n) 2 + m, אז הנקודה עם הקואורדינטות (m; n) היא קודקוד הפרבולה.

במקרה שלנו

x in = 9a; y in = a 2 + 7a + 6.

מכיוון שגם האבססיס וגם הסמין של קודקוד הפרבולה חייבים להיות שליליים, אנו יוצרים מערכת של אי-שוויון:

(9א< 0,
(a 2 + 7a + 6< 0;

בואו נפתור את המערכת שהתקבלה:

(א< 0,
((a+ 1)(a + 6)< 0;

הבה נתאר את הפתרון לאי השוויון בקווי קואורדינטות וניתן את התשובה הסופית:

a שייך למרווח (-6; -1).

ערכים שלמים של a: -5; -4; -3; -2. מספרם: 4.

תשובה: 4.

משימה 3.

מצא את הערך השלם הגדול ביותר של m שעבורו הפונקציה הריבועית
y = -2x 2 + 8x + 2m מקבל רק ערכים שליליים.

פִּתָרוֹן.

הענפים של הפרבולה מכוונים כלפי מטה (a = -2< 0). Данная функция будет принимать только отрицательные значения, если ее график не будет иметь общих точек с осью абсцисс, т.е. уравнение -2x 2 + 8x + 2m = 0 не будет иметь корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения будет отрицательным.

2x 2 + 8x + 2m = 0.

נחלק את המקדמים של המשוואה ב-2, נקבל:

x 2 – 4x – m = 0;

D/4 = 2 2 – 1 1 (-מ') = 4 + מ';

הערך השלם הגדול ביותר של m: -5.

תשובה: -5.

כדי לענות על שאלת הבעיה, ניתן היה לפתור את אי השוויון y in< 0 или

(4ac – b 2) / 4a< 0.

משימה 4.

מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה הריבועית y = ax 2 – (a + 6)x + 9, אם ידוע שהקו x = 2 הוא ציר הסימטריה של הגרף שלו.

פִּתָרוֹן.

1) מכיוון שהקו הישר x = 2 הוא ציר הסימטריה של גרף זה, אז x in = 2. אנו משתמשים בנוסחה

x in = -b / 2a, ואז x in = (a + 6) / 2a. אבל x in = 2.

בואו נעשה משוואה:

(a + 6) / 2a = 2;

ואז הפונקציה מקבלת את הצורה

y = 2x 2 – (2 + 6)x + 9;

y = 2x 2 - 8x + 9.

2) ענפים של פרבולה

הערך הקטן ביותר של פונקציה זו שווה לאידינטה של ​​קודקוד הפרבולה (איור 2), שקל למצוא באמצעות הנוסחה

y in = (4ac – b 2) / 4a.

y in = (4 2 9 – 8 2) /4 2 = (72 – 64) / 8 = 8/8 = 1.

הערך הקטן ביותר של הפונקציה הנבדקת הוא 1.

תשובה: 1.

משימה 5.

מצא את הערך השלם הקטן ביותר של המספר a שעבורו קבוצות הערכים של הפונקציה y = x 2 – 2x + a ו- y = -x 2 + 4x – a אינם מצטלבים.

פִּתָרוֹן.

בואו נמצא את קבוצת הערכים עבור כל פונקציה.

שיטה I

y 1 = x 2 – 2x + a.

בואו ליישם את הנוסחה

y in = (4ac – b 2) / 4a.

y in = (4 1 a – 2 2) /4 1 = (4a – 4) / 4 = 4(a – 1) / 4 = a – 1.

מכיוון שענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, אז

E(y) = .

E(y 2) = (-∞; 4 – a].

הבה נציג את הקבוצות המתקבלות על קווי קואורדינטות (איור 3).

הקבוצות המתקבלות לא יצטלבו אם הנקודה עם קואורדינטה 4 - a ממוקמת משמאל לנקודה עם קואורדינטה a - 1, כלומר.

4 – א< a – 1;

הערך השלם הקטן ביותר של a: 3.

תשובה: 3.

בעיות במיקום השורשים של פונקציה ריבועית, בעיות בפרמטרים ובעיות המצטמצמות לפונקציות ריבועיות פופולריות מאוד בבחינת המדינה המאוחדת. לכן, כאשר מתכוננים למבחנים, כדאי לשים לב אליהם היטב.

עדיין יש לך שאלות? לא יודע איך לצייר גרף של פונקציה ריבועית?
כדי לקבל עזרה ממורה, הירשם.

באתר, בעת העתקת חומר במלואו או בחלקו, נדרש קישור למקור.