בחר את ההבנה הנכונה של המונח יחס הזהב. מהו יחס הזהב. צורתו של אובייקט ותפיסתו

יחס הזהב הוא ביטוי אוניברסלי של הרמוניה מבנית. הוא נמצא בטבע, במדע, באמנות - בכל מה שאדם יכול לבוא איתו במגע. לאחר שהתוודעה לכלל הזהב, האנושות כבר לא בגדה בו.

הַגדָרָה

ההגדרה המקיפה ביותר של יחס הזהב קובעת שהחלק הקטן יותר מתייחס לגדול יותר, כפי שהחלק הגדול מתייחס לכלל. הערך המשוער שלו הוא 1.6180339887. בערך אחוז מעוגל, הפרופורציות של חלקי השלם יתאימו ל-62% עד 38%. מערכת יחסים זו פועלת בצורות של מרחב וזמן.

הקדמונים ראו ביחס הזהב השתקפות של סדר קוסמי, ויוהנס קפלר כינה אותו אחד מאוצרות הגיאומטריה. המדע המודרני מחשיב את יחס הזהב כ"סימטריה אסימטרית", וקורא לו במובן הרחב כלל אוניברסלי המשקף את המבנה והסדר של סדר העולם שלנו.

כַּתָבָה

למצרים הקדמונים היה מושג לגבי פרופורציות הזהב, הם ידעו עליהם ברוס, אבל בפעם הראשונה יחס הזהב הוסבר מדעית על ידי הנזיר לוקה פאציולי בספר "פרופורציה אלוהית" (1509), שאיורים עבורם היו כביכול נעשה על ידי לאונרדו דה וינצ'י. פאציולי ראה בחתך הזהב את השילוש האלוהי: הקטע הקטן גילם את הבן, הקטע הגדול את האב, וכל רוח הקודש.

שמו של המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו פיבונאצ'י קשור ישירות לכלל יחס הזהב. כתוצאה מפתרון אחת הבעיות, המדען הגה רצף של מספרים הידוע כיום כסדרת פיבונאצ'י: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 וכו'. קפלר הפנה את תשומת הלב לקשר של רצף זה לפרופורציה המוזהבת: "היא מסודרת בצורה כזו ששני האיברים התחתונים של הפרופורציה הבלתי נגמרת הזו מסתכמים לאיבר השלישי, וכל שני איברים אחרונים, אם יתווספו, נותנים המונח הבא, ואותו פרופורציה נשמרת עד אינסוף " כעת סדרת פיבונאצ'י היא הבסיס האריתמטי לחישוב הפרופורציות של חתך הזהב על כל ביטוייו.

לאונרדו דה וינצ'י גם הקדיש זמן רב ללימוד תכונות יחס הזהב, ככל הנראה, המונח עצמו שייך לו. הציורים שלו של גוף סטריאומטרי שנוצר על ידי מחומשים רגילים מוכיחים שכל אחד מהמלבנים המתקבלים לפי חתך נותן את יחס הרוחב-גובה בחלוקת הזהב.

עם הזמן הפך כלל יחס הזהב לשגרה אקדמית, ורק הפילוסוף אדולף זייסינג העניק לו חיים שניים ב-1855. הוא הביא את הפרופורציות של חתך הזהב למוחלט, והפך אותם לאוניברסליים עבור כל התופעות של העולם הסובב. עם זאת, "האסתטיקה המתמטית" שלו גרמה לביקורת רבה.

טֶבַע

גם בלי להיכנס לחישובים, ניתן למצוא בקלות את יחס הזהב בטבע. אז, היחס בין הזנב לגוף של לטאה, המרחקים בין העלים על ענף נופלים מתחתיו, יש יחס זהב בצורת ביצה, אם נמשך קו מותנה דרך החלק הרחב ביותר שלו.

המדען הבלארוסי אדוארד סורוקו, שחקר את צורות חלוקות הזהב בטבע, ציין שכל מה שצומח ומשתדל לתפוס את מקומו בחלל ניחן בפרופורציות של חתך הזהב. לדעתו, אחת הצורות המעניינות ביותר היא פיתול ספירלי.

ארכימדס, שם לב לספירלה, הסיק משוואה המבוססת על צורתה, שעדיין משמשת בטכנולוגיה. גתה ציין מאוחר יותר את משיכתו של הטבע לצורות ספירלות, וכינה את הספירלה "עקומת החיים". מדענים מודרניים מצאו שביטויים כאלה של צורות ספירלה בטבע כמו קונכיית חילזון, סידור זרעי חמניות, דפוסי קורי עכביש, תנועת הוריקן, מבנה ה-DNA ואפילו מבנה הגלקסיות מכילים את סדרת פיבונאצ'י.

אֶנוֹשִׁי

מעצבי אופנה ומעצבי בגדים עושים את כל החישובים על סמך הפרופורציות של יחס הזהב. האדם הוא צורה אוניברסלית לבדיקת חוקי יחס הזהב. כמובן, מטבעם, לא לכל האנשים יש פרופורציות אידיאליות, מה שיוצר קשיים מסוימים עם בחירת הבגדים.

ביומנו של ליאונרדו דה וינצ'י יש ציור של גבר עירום רשום במעגל, בשתי עמדות מרוכזות. בהתבסס על מחקריו של האדריכל הרומי ויטרוביוס, לאונרדו ניסה באופן דומה לקבוע את הפרופורציות של גוף האדם. מאוחר יותר, האדריכל הצרפתי לה קורבוזיה, באמצעות "האיש הוויטרובי" של ליאונרדו, יצר סולם משלו של "פרופורציות הרמוניות", שהשפיעו על האסתטיקה של האדריכלות של המאה ה-20.

אדולף זייסינג, שחקר את המידתיות של אדם, עשה עבודה עצומה. הוא מדד כאלפיים גופות אדם, כמו גם פסלים עתיקים רבים, והגיע למסקנה שיחס הזהב מבטא את החוק הסטטיסטי הממוצע. אצל אדם, כמעט כל חלקי הגוף כפופים לו, אבל המדד העיקרי ליחס הזהב הוא חלוקת הגוף לפי נקודת הטבור.
כתוצאה מדידות, החוקר מצא כי הפרופורציות של הגוף הגברי 13:8 קרובות יותר ליחס הזהב מאשר הפרופורציות של הגוף הנשי - 8:5.

אמנות הצורות המרחביות

האמן וסילי סוריקוב אמר "שבקומפוזיציה יש חוק בלתי משתנה, כאשר בתמונה אי אפשר להסיר או להוסיף שום דבר, אי אפשר אפילו להוסיף נקודה נוספת, זו מתמטיקה אמיתית". במשך זמן רב, אמנים פעלו על פי החוק הזה באופן אינטואיטיבי, אך לאחר לאונרדו דה וינצ'י, תהליך יצירת הציור אינו שלם עוד ללא פתרון בעיות גיאומטריות. לדוגמה, אלברכט דורר השתמש במצפן הפרופורציונלי שהמציא כדי לקבוע את נקודות חתך הזהב.

מבקר האמנות F.V. קובלב, לאחר שבחן בפירוט את הציור של ניקולאי גה "אלכסנדר סרגייביץ' פושקין בכפר מיכאילובסקויה", מציין כי כל פרט של הבד, בין אם זה אח, כוננית ספרים, כורסה או המשורר עצמו. רשום בפרופורציות זהב.

חוקרי יחס הזהב חוקרים ומודדים ללא לאות יצירות מופת ארכיטקטוניות, וטוענים שהן הפכו לכאלה בגלל שנוצרו על פי קנוני הזהב: הרשימה שלהם כוללת את הפירמידות הגדולות של גיזה, קתדרלת נוטרדאם, קתדרלת סנט בזיל והפרתנון.

וכיום, בכל אמנות של צורות מרחביות, הם מנסים לעקוב אחר הפרופורציות של חתך הזהב, שכן, לדברי מבקרי האמנות, הם מקלים על תפיסת היצירה ויוצרים תחושה אסתטית אצל הצופה.

מילה, צליל וסרט

צורות האמנות הזמניות מדגימות לנו את עקרון חלוקת הזהב בדרכן. חוקרי ספרות, למשל, שמו לב שמספר השורות הפופולרי ביותר בשירים מהתקופה המאוחרת של יצירתו של פושקין מתאים לסדרת פיבונאצ'י - 5, 8, 13, 21, 34.

הכלל של חתך הזהב חל גם ביצירות בודדות של הקלאסיקה הרוסית. לפיכך, השיא של "מלכת הספידים" הוא הסצנה הדרמטית של הרמן והרוזנת, המסתיימת במותה של האחרונה. לסיפור יש 853 שורות, והשיא מתרחש בשורה 535 (853:535 = 1.6) - זו הנקודה של יחס הזהב.

המוזיקולוג הסובייטי E.K Rosenov מציין את הדיוק המדהים של יחס הזהב בצורות הקפדניות והחופשיות של יצירותיו של יוהאן סבסטיאן באך, התואם את הסגנון המתחשב, המרוכז, המאומת טכנית של המאסטר. זה נכון גם לגבי יצירות יוצאות דופן של מלחינים אחרים, שבהן הפתרון המוזיקלי הבולט או הבלתי צפוי ביותר מתרחש בדרך כלל בנקודת יחס הזהב.

במאי הקולנוע סרגיי אייזנשטיין תיאם בכוונה את התסריט של סרטו "ספינת הקרב פוטיומקין" עם כלל יחס הזהב, וחילק את הסרט לחמישה חלקים. בשלושת הקטעים הראשונים הפעולה מתרחשת על הספינה, ובשני האחרונים - באודסה. המעבר לסצנות בעיר הוא אמצע הזהב של הסרט.

20.05.2017

יחס הזהב הוא משהו שכל מעצב צריך לדעת עליו. נסביר מה זה ואיך אתה יכול להשתמש בו.

קיים קשר מתמטי כללי בטבע שניתן להשתמש בו בעיצוב ליצירת קומפוזיציות נעימות בעלות מראה טבעי. זה נקרא יחס הזהב או האות היוונית "פי". אם אתה מאייר, ארט דירקטור או מעצב גרפי, אתה בהחלט צריך להשתמש ב-Golden Ratio בכל פרויקט.

במאמר זה, נסביר כיצד להשתמש בו וגם נשתף כמה כלים נהדרים להמשך השראה ולמידה.

קשור קשר הדוק לרצף פיבונאצ'י, שאולי אתה זוכר משיעור מתמטיקה או קוד דה וינצ'י של דן בראון, יחס הזהב מתאר מערכת יחסים סימטרית מושלמת בין שתי פרופורציות.

שווה בערך ליחס 1:1.61, ניתן להמחיש את יחס הזהב כמלבן הזהב: מלבן גדול המכיל ריבוע (שבו הצלעות שוות לאורך הצלע הקצרה ביותר של המלבן) ומלבן קטן יותר.

אם תסירו את הריבוע מהמלבן, יישאר לכם מלבן זהוב קטן נוסף. תהליך זה יכול להימשך ללא הגבלת זמן, בדיוק כמו מספרי פיבונאצ'י, שפועלים הפוך. (הוספת ריבוע עם צלעות שוות לאורך הצלע הארוכה ביותר של המלבן מקרבת אותך למלבן הזהב וליחס הזהב.)

יחס הזהב בפעולה

מאמינים כי יחס הזהב שימש כ-4,000 שנים באמנות ועיצוב. עם זאת, אנשים רבים מסכימים שגם בבניית הפירמידות המצריות נעשה שימוש בעיקרון זה.

בזמנים מודרניים יותר, ניתן לראות כלל זה במוזיקה, באמנות ובעיצוב סביבנו. על ידי שימוש במתודולוגיית עבודה דומה, אתה יכול להביא את אותן תכונות עיצוב לתוך העבודה שלך. בואו נסתכל על כמה דוגמאות מעוררות השראה.

אדריכלות יוונית

באדריכלות היוונית העתיקה, יחס הזהב שימש לקביעת היחס המרחבי המענג בין רוחב הבניין לגובהו, גודל האכסדרה ואפילו מיקום העמודים התומכים במבנה.

התוצאה היא מבנה פרופורציונלי לחלוטין. גם תנועת האדריכלות הניאו-קלאסית השתמשה בעקרונות אלו.

ארוחת ערב אחרונה

לאונרדו דה וינצ'י, כמו אמנים רבים אחרים של פעם, השתמש לעתים קרובות ביחס הזהב כדי ליצור יצירות נעימות.

בסעודה האחרונה, הדמויות ממוקמות בשני השלישים התחתונים (הגדול מבין שני החלקים של יחס הזהב), וישו משורטט בצורה מושלמת בין מלבני הזהב.

יחס הזהב בטבע

ישנן דוגמאות רבות ליחס הזהב בטבע - אתה יכול למצוא אותן סביבך. פרחים, צדפים, אננס ואפילו חלות דבש מציגים את אותו יחס.

כיצד לחשב את יחס הזהב

החישוב של יחס הזהב הוא די פשוט, ומתחיל בריבוע פשוט:

01. צייר ריבוע

הוא יוצר את אורך הצלע הקצרה של המלבן.

02. מחלקים את הריבוע

מחלקים את הריבוע לשניים באמצעות קו אנכי, ויוצרים שני מלבנים.

03. צייר אלכסון

באחד המלבנים, צייר קו מפינה אחת אל מולה.

04. סיבוב

סובב את הקו הזה כך שהוא יהיה אופקי למלבן הראשון.

05. צור מלבן חדש

צור מלבן באמצעות קו אופקי חדש והמלבן הראשון.

כיצד להשתמש ביחס הזהב

השימוש בעקרון זה קל יותר ממה שאתה חושב. יש כמה טריקים מהירים שבהם אתה יכול להשתמש בפריסות שלך, או לקחת קצת יותר זמן ולהגדיר את הרעיון במלואו.

דרך מהירה

אם אי פעם פגשת את חוק השלישים, אתה תכיר את הרעיון של חלוקת חלל לשלישים שווים אנכית ואופקית, עם המקום שבו קווים מצטלבים כדי ליצור נקודות טבעיות לאובייקטים.

הצלם מניח את נושא המפתח על אחד מהקווים המצטלבים הללו כדי ליצור קומפוזיציה נעימה. עיקרון זה יכול לשמש גם בפריסת העמוד ובעיצובי הפוסטרים שלך.

את חוק השליש אפשר ליישם על כל צורה, אבל אם תחילו אותו על מלבן עם פרופורציות של 1:1.6 בקירוב, תגיעו קרוב מאוד למלבן הזהוב, מה שיהפוך את הקומפוזיציה ליותר נעימה לעין.

יישום מלא

אם אתה רוצה ליישם במלואו את יחס הזהב בעיצוב שלך, פשוט סדר את התוכן הראשי ואת סרגל הצד (בעיצוב אתרים) ביחס של 1:1.61.

אתה יכול לעגל את הערכים למטה או למעלה: אם אזור התוכן הוא 640px והסרגל הצידי הוא 400px, אז הסימון הזה מתאים למדי ליחס הזהב.

כמובן, ניתן גם לחלק את אזורי התוכן וסרגל הצד לאותו קשר, וניתן לעצב גם את הקשר בין הכותרת העליונה, אזור התוכן, הכותרת התחתונה והניווט של דף האינטרנט באמצעות אותו עיקרון.

כלים שימושיים

הנה כמה כלים שיעזרו לך להשתמש ב-Golden Ratio בעיצוב וליצור עיצובים פרופורציונליים.

GoldenRATIO היא אפליקציה ליצירת עיצובי אתרים, ממשקים ותבניות המתאימות ל-Golden Ratio. זמין ב-Mac App Store עבור $2.99. כולל מחשבון יחס זהב ויזואלי.

לאפליקציה יש גם פונקציית "מועדפים", השומרת הגדרות למשימות חוזרות ומוד "קליק-thru" המאפשר למזער את האפליקציה בפוטושופ.

מחשבון יחס הזהב הזה מבית Pearsonified עוזר לך ליצור את הטיפוגרפיה המושלמת לאתר שלך. הזן את גודל הגופן, רוחב המיכל בשדה ולחץ על הכפתור קבע את הסוג שלי!אם אתה צריך לייעל את מספר האותיות בשורה, אתה יכול בנוסף להזין ערך CPL.

אפליקציה פשוטה, שימושית וחינמית זו זמינה עבור Mac ו-PC. הזן כל מספר והאפליקציה תחשב את הספרה השנייה לפי עקרון יחס הזהב.

יישום זה מאפשר לך לעצב עם פרופורציות מוזהבות, לחסוך זמן רב בחישובים.

אתה יכול לשנות צורות וגדלים כדי להתמקד בפרויקט שלך. רישיון קבוע עולה $49, אבל אתה יכול להוריד גרסה בחינם למשך חודש.

אימון חתך הזהב

הנה כמה מדריכים שימושיים על יחס הזהב (אנגלית):

במדריך זה לאמנויות דיגיטליות, רוברטו מראס מראה כיצד להשתמש ביחס הזהב ביצירה האמנותית שלך.

הדרכה מבית Tuts+ המראה כיצד להשתמש בעקרונות הזהב בפרויקטים של עיצוב אתרים.

הדרכה ממגזין Smashing על פרופורציות וכלל השלישים.

מאז ימי קדם, אנשים עסקו בשאלה האם דברים חמקמקים כמו יופי והרמוניה כפופים לחישובים מתמטיים כלשהם. כמובן שאי אפשר להכיל את כל חוקי היופי בכמה נוסחאות, אבל על ידי לימוד מתמטיקה נוכל לגלות כמה מרכיבים של יופי – יחס הזהב. המשימה שלנו היא לברר מהו יחס הזהב ולברר היכן האנושות מצאה את השימוש ביחס הזהב.

בטח שמתם לב שאנחנו מתייחסים אחרת לאובייקטים ולתופעות של המציאות הסובבת. לִהיוֹת חהגינות, בלה חרשמיות וחוסר פרופורציה נתפסים אצלנו כמכוערים ומייצרים רושם דוחה. וחפצים ותופעות המאופיינים בפרופורציה, כדאיות והרמוניה, נתפסים כיפים ומעוררים בנו תחושת התפעלות, שמחה ומרוממים את רוחנו.

בפעילותו, אדם פוגש כל הזמן חפצים המבוססים על יחס הזהב. יש דברים שאי אפשר להסביר. אז אתה מגיע לספסל ריק ומתיישב עליו. איפה תשב? באמצע? או אולי ממש מהקצה? לא, סביר להניח, לא אחד ולא השני. אתה תשב כך שהיחס בין חלק אחד של הספסל לשני ביחס לגופך הוא בערך 1.62. דבר פשוט, אינסטינקטיבי לחלוטין... בישיבה על ספסל, שיחזרת את "יחס הזהב".

יחס הזהב היה ידוע עוד במצרים העתיקה ובבבל, בהודו ובסין. פיתגורס הגדול יצר בית ספר סודי שבו נחקרה המהות המיסטית של "יחס הזהב". אוקלידס השתמש בו בעת יצירת הגיאומטריה שלו, ופידיאס - הפסלים האלמותיים שלו. אפלטון אמר שהיקום מסודר לפי "יחס הזהב". אריסטו מצא התאמה בין "יחס הזהב" לחוק האתי. את ההרמוניה הגבוהה ביותר של "יחס הזהב" יטיפו ליאונרדו דה וינצ'י ומיכלאנג'לו, כי יופי ו"יחס הזהב" הם אותו דבר. ומיסטיקנים נוצרים יציירו מחומשים של "יחס הזהב" על קירות המנזרים שלהם, כשהם בורחים מהשטן. במקביל, מדענים - מפציולי ועד איינשטיין - יחפשו, אך לעולם לא ימצאו את משמעותו המדויקת. לִהיוֹת חהשורה האחרונה אחרי הנקודה העשרונית היא 1.6180339887... דבר מוזר, מסתורי, בלתי מוסבר - הפרופורציה האלוהית הזו מלווה באופן מיסטי את כל היצורים החיים. הטבע הדומם אינו יודע מהו "יחס הזהב". אבל אתה בהחלט תראה את הפרופורציה הזאת בקימורים של קונכיות ים, ובצורת פרחים, ובמראה של חיפושיות, ובגוף האדם היפה. כל מה שחי והכל יפה - הכל מציית לחוק האלוהי, ששמו הוא "יחס הזהב". אז מהו "יחס הזהב"? מהו השילוב האלוהי המושלם הזה? אולי זה חוק היופי? או שהוא עדיין סוד מיסטי? תופעה מדעית או עקרון אתי? התשובה עדיין לא ידועה. ליתר דיוק - לא, זה ידוע. "יחס הזהב" הוא גם וגם. רק לא בנפרד, אלא בו זמנית... וזו המסתורין האמיתי שלו, הסוד הגדול שלו.

כנראה שקשה למצוא מדד מהימן להערכה אובייקטיבית של היופי עצמו, וההיגיון לבדו לא יעשה זאת. עם זאת, הניסיון של אלה שעבורם החיפוש אחר היופי היה עצם משמעות החיים, שהפכו אותם למקצועם, יעזור כאן. מדובר קודם כל באנשי אמנות, כפי שאנו מכנים אותם: אמנים, אדריכלים, פסלים, מוזיקאים, סופרים. אבל אלה גם אנשי מדעים מדויקים, בעיקר מתמטיקאים.

בהסתמך על העין יותר מאברי חישה אחרים, האדם למד לראשונה להבחין בין העצמים הסובבים אותו לפי צורתם. העניין בצורתו של חפץ יכול להיות מוכתב על ידי צורך חיוני, או שהוא יכול להיגרם על ידי היופי של הצורה. הצורה, המבוססת על שילוב של סימטריה ויחס הזהב, תורמת לתפיסה הוויזואלית הטובה ביותר ולהופעת תחושת יופי והרמוניה. השלם מורכב תמיד מחלקים, חלקים בגדלים שונים נמצאים ביחס מסוים זה לזה ולשלם. עקרון יחס הזהב הוא הביטוי הגבוה ביותר לשלמות המבנית והתפקודית של השלם וחלקיו באמנות, במדע, בטכנולוגיה ובטבע.

יחס הזהב - פרופורציה הרמונית

במתמטיקה, פרופורציה היא השוויון של שני יחסים:

ניתן לחלק קטע קו ישר AB לשני חלקים בדרכים הבאות:

• לשני חלקים שווים - AB:AC=AB:BC;
• לשני חלקים לא שווים מכל בחינה (חלקים כאלה אינם יוצרים פרופורציות);
• לפיכך, כאשר AB:AC=AC:BC.

האחרונה היא חלוקת הזהב (חתך).

יחס הזהב הוא חלוקה פרופורציונלית כזו של קטע לחלקים לא שווים, שבה כל הקטע קשור לחלק הגדול יותר כפי שהחלק הגדול עצמו קשור לקטן יותר, במילים אחרות, הקטע הקטן יותר קשור לגדול יותר אחד כמו הגדול יותר הוא למכלול

a:b=b:c או c:b=b:a.

תמונה גיאומטרית של יחס הזהב

היכרות מעשית עם יחס הזהב מתחילה בחלוקת קטע קו ישר בפרופורציה המוזהבת באמצעות מצפן וסרגל.

חלוקת קטע קו ישר באמצעות יחס הזהב. BC=1/2AB; CD=BC

מנקודה B משחזר מאונך השווה לחצי AB. הנקודה C המתקבלת מחוברת על ידי קו לנקודה A. על הקו המתקבל מונח קטע BC המסתיים בנקודה D. הקטע AD מועבר לישר AB. הנקודה E המתקבלת מחלקת את הקטע AB בפרופורציה המוזהבת.

מקטעים של יחס הזהב באים לידי ביטוי ללא חהשבר הסופי AE=0.618..., אם AB נלקח כאחד, BE=0.382... למטרות מעשיות, לרוב משתמשים בערכים משוערים של 0.62 ו-0.38. אם הקטע AB נחשב ל-100 חלקים, אז החלק הגדול יותר של הקטע שווה ל-62, והחלק הקטן יותר הוא 38 חלקים.

המאפיינים של יחס הזהב מתוארים על ידי המשוואה:

פתרון למשוואה זו:

המאפיינים של יחס הזהב יצרו הילה רומנטית של מסתורין ודור כמעט מיסטי סביב המספר הזה. לדוגמה, בכוכב רגיל מחומש, כל קטע מחולק לפי הקטע החותך אותו ביחס של יחס הזהב (כלומר, היחס בין הקטע הכחול לירוק, אדום לכחול, ירוק לסגול הוא 1.618) .

יחס הזהב השני

פרופורציה זו נמצאת באדריכלות.

בניית יחס הזהב השני

החלוקה מתבצעת באופן הבא. פלח AB מחולק לפי יחס הזהב. מנקודה C, CD מאונך משוחזר. הרדיוס AB הוא נקודה D, המחוברת בקו לנקודה A. זווית ישרה ACD מחולקת לשניים. נמשך קו מנקודה C עד למפגש עם קו AD. נקודה E מחלקת את קטע AD ביחס 56:44.

חלוקת מלבן עם הקו של יחס הזהב השני

האיור מציג את המיקום של הקו של יחס הזהב השני. הוא ממוקם באמצע הדרך בין קו יחס הזהב לקו האמצעי של המלבן.

משולש זהב (פנטגרם)

כדי למצוא קטעים של פרופורציית הזהב של הסדרה העולה והיורדת, אתה יכול להשתמש בפנטגרם.

בניית מחומש ומחומש רגילים

כדי לבנות מחומש, אתה צריך לבנות מחומש רגיל. שיטת בנייתו פותחה על ידי הצייר והגרפיקאי הגרמני אלברכט דורר. תנו ל-O להיות מרכז המעגל, A נקודה על המעגל, ו-E נקודת האמצע של קטע OA. האנך לרדיוס OA, ששוחזר בנקודה O, חותך את המעגל בנקודה D. בעזרת מצפן, שרטוט את הקטע CE=ED על הקוטר. אורך הצלע של מחומש רגיל הכתוב במעגל שווה ל-DC. אנו משרטטים את הקטעים DC על המעגל ומקבלים חמש נקודות לצייר מחומש רגיל. אנו מחברים את פינות המחומש זו דרך אלכסונים ומקבלים מחומש. כל האלכסונים של המחומש מחלקים זה את זה למקטעים המחוברים על ידי יחס הזהב.

כל קצה של הכוכב המחומש מייצג משולש זהוב. צלעותיו יוצרות זווית של 36 0 בקודקוד, והבסיס, המונח על הצד, מחלק אותו ביחס של יחס הזהב.

אנו מציירים AB ישר. מנקודה A נניח עליה שלוש פעמים קטע O בגודל שרירותי, דרך הנקודה P המתקבלת נשרטט מאונך לישר AB, על האנך מימין ומשמאל לנקודה P נפתור קטעים O. אנו מחברים את הנקודות המתקבלות d ו-d 1 עם קווים ישרים לנקודה A. קטע dd 1 שמנו אותו על הישר Ad 1, מקבל את הנקודה C. הוא חילק את הישר Ad 1 ביחס של חתך הזהב. קווים Ad 1 ו-dd 1 משמשים לבניית מלבן "זהוב".

בניית משולש הזהב

היסטוריה של יחס הזהב

ואכן, הפרופורציות של פירמידת צ'אופס, מקדשים, חפצי בית ותכשיטים מקברו של תותנקאמון מעידים על כך שבעלי מלאכה מצריים השתמשו ביחסים של חלוקת הזהב בעת יצירתם. האדריכל הצרפתי לה קורבוזיה מצא שבתבליט ממקדש פרעה סטי הראשון באבידוס ובתבליט המתאר את פרעה רעמסס, הפרופורציות של הדמויות תואמות את ערכי חלוקת הזהב. האדריכל חסירה, המתואר על גבי תבליט של לוח עץ מקבר הקרוי על שמו, מחזיק בידיו מכשירי מדידה שבהם נרשמות פרופורציות חלוקת הזהב.

היוונים היו גיאומטרים מיומנים. הם אפילו לימדו חשבון את ילדיהם באמצעות דמויות גיאומטריות. הריבוע הפיתגורי והאלכסון של ריבוע זה היו הבסיס לבניית מלבנים דינמיים.

מלבנים דינמיים

אפלטון ידע גם על חלוקת הזהב. טימאוס הפיתגוראי, בדיאלוג של אפלטון באותו שם, אומר: "לא ייתכן ששני דברים יהיו מאוחדים בצורה מושלמת ללא שלישי, שכן ביניהם חייב להופיע דבר שיחזיק אותם יחד. ניתן להשיג זאת בצורה הטובה ביותר על ידי פרופורציה, שכן אם לשלושה מספרים יש את התכונה שהממוצע הוא לקטן כפי שהגדול הוא לממוצע, ולהפך, הקטן הוא לממוצע כפי שהממוצע הוא לגדול יותר, אז האחרון והראשון יהיו ממוצעים, וממוצעים - ראשונים ואחרונים. לפיכך, כל מה שצריך יהיה אותו הדבר, ומכיוון שהוא יהיה אותו הדבר, הוא יהווה את המכלול". אפלטון בונה את העולם הארצי באמצעות משולשים משני סוגים: שווה שוקיים ולא שווה שוקיים. הוא מחשיב את המשולש הישר זווית היפה ביותר כמשולש שבו התחתון גדול פי שניים מהקטן מבין הרגליים (מלבן כזה הוא מחצית מהדמות שווה הצלעות, הבסיסית של הבבלים, יש לו יחס של 1: 3 1/ 2, השונה מיחס הזהב בכ-1/25, ונקרא Timerding "היריבה של יחס הזהב"). באמצעות משולשים, אפלטון בונה ארבע פולי-הדרות רגילות, ומשייך אותם לארבעת היסודות הארציים (אדמה, מים, אוויר ואש). ורק האחרון מבין חמש הפוליהדרות הרגילות הקיימות - הדודקהדרון, שכל שנים עשר מחומשים רגילים, מתיימר להיות דימוי סמלי של העולם השמימי.

ICOSAHEDRON ו-DODECAHEDRON

הכבוד לגלות את הדודקהדרון (או, כפי שהיה אמור, היקום עצמו, תמצית זה של ארבעת היסודות, המסומל, בהתאמה, על ידי הטטרהדרון, האוקטהדרון, האיקוסהדרון והקוביה) שייך להיפסוס, שמת מאוחר יותר בספינה טרופה. נתון זה באמת לוכד מערכות יחסים רבות של יחס הזהב, כך שהאחרון קיבל את התפקיד הראשי בעולם השמימי, וזה מה שהתעקש מאוחר יותר האח המינורי לוקה פאציולי.

חזית המקדש היווני העתיק של הפרתנון מציגה פרופורציות זהובות. בחפירותיה התגלו מצפנים ששימשו אדריכלים ופסלים מהעולם העתיק. המצפן הפומפיאני (מוזיאון בנאפולי) מכיל גם את הפרופורציות של חלוקת הזהב.

מצפן יחס זהב עתיק

בספרות העתיקה שהגיעה אלינו, חלוקת הזהב הוזכרה לראשונה ב"יסודות אוקלידס". בספר היסודות השני ניתנת בנייה גיאומטרית של חלוקת הזהב. לאחר אוקלידס, המחקר של חלוקת הזהב בוצע על ידי Hypsicles (המאה השנייה לפנה"ס), Pappus (המאה השלישית לספירה), ואחרים באירופה של ימי הביניים, הם התוודעו לחלוקת הזהב באמצעות תרגומים לערבית של היסודות של אוקלידס. המתרגם J. Campano מנווארה (המאה השלישית) העיר הערות על התרגום. סודות חטיבת הזהב נשמרו בקנאות ונשמרו בסודיות קפדנית. הם היו מוכרים רק ליוזמים.

בימי הביניים, הפנטגרם עבר דמוניזציה (כמו, אכן, הרבה שנחשב אלוהי בפגאניות העתיקה) ומצא מחסה במדעי הנסתר. עם זאת, הרנסנס שוב מביא לאור הן את הפנטגרם והן את יחס הזהב. כך, במהלך אותה תקופה של התבססות ההומניזם, התפשטה תרשים המתאר את מבנה גוף האדם.

גם ליאונרדו דה וינצ'י פנה שוב ושוב לתמונה כזו, בעצם משחזר פנטגרם. הפרשנות שלה: לגוף האדם שלמות אלוהית, כי הפרופורציות הגלומות בו זהות לדמות השמימית הראשית. לאונרדו דה וינצ'י, אמן ומדען, ראה שלאמנים איטלקיים יש הרבה ניסיון אמפירי, אבל מעט ידע. הוא הרה והחל לכתוב ספר על גיאומטריה, אבל באותה תקופה הופיע ספר של הנזיר לוקה פאציולי, ולאונרדו נטש את הרעיון שלו. לפי בני זמננו והיסטוריונים של המדע, לוקה פאציולי היה איש אור אמיתי, המתמטיקאי הגדול ביותר של איטליה בתקופה שבין פיבונאצ'י לגלילאו. לוקה פאציולי היה תלמידו של האמן פיירו דלה פרנצ'סקי, שכתב שני ספרים, אחד מהם נקרא "על פרספקטיבה בציור". הוא נחשב ליוצר הגיאומטריה התיאורית.

לוקה פאציולי הבין היטב את חשיבות המדע לאמנות.

בשנת 1496, בהזמנתו של הדוכס מורו, הוא הגיע למילאנו, שם נתן הרצאות על מתמטיקה. לאונרדו דה וינצ'י עבד באותה תקופה גם במילאנו בבית המשפט של מורו. בשנת 1509, ספרו של לוקה פאציולי "על פרופורציה אלוהית" (De divina proportione, 1497, פורסם בוונציה ב-1509) פורסם בוונציה עם איורים מבוצעים בצורה מבריקה, וזו הסיבה שמאמינים שהם נעשו על ידי לאונרדו דה וינצ'י. הספר היה שיר הלל נלהב ליחס הזהב. יש רק פרופורציה אחת כזו, והייחודיות היא הרכוש הגבוה ביותר של אלוהים. הוא מגלם את השילוש הקדוש. פרופורציה זו אינה ניתנת לביטוי במספר נגיש, נותרת חבויה וסודית ונקראת על ידי המתמטיקאים עצמם לא רציונליים (כמו שלא ניתן להגדיר או להסביר את אלוהים במילים). אלוהים לעולם אינו משתנה ומייצג הכל בכל דבר ובכל אחד מחלקיו, כך שיחס הזהב עבור כל כמות רציפה ומוגדרת (לא משנה אם היא גדולה או קטנה) הוא זהה, לא ניתן לשינוי ולא ניתן לתפיסה אחרת לְנַמֵק. אלוהים קרא לקיום סגולה שמימית, אחרת נקראת החומר החמישי, בעזרתו ועוד ארבעה גופים פשוטים (ארבעה יסודות - אדמה, מים, אוויר, אש), ועל בסיסם קרא לקיום כל דבר אחר בטבע; כך שהפרופורציה הקדושה שלנו, לפי אפלטון בטימאוס, נותנת קיום פורמלי לשמים עצמם, שכן מיוחסת לו מראה של גוף הנקרא דודקהדרון, שלא ניתן לבנות אותו ללא יחס הזהב. אלו הטיעונים של פאציולי.

לאונרדו דה וינצ'י גם הקדיש תשומת לב רבה לחקר חלוקת הזהב. הוא עשה קטעים של גוף סטריאומטרי שנוצר על ידי מחומשים רגילים, ובכל פעם הוא השיג מלבנים עם יחסי גובה-רוחב בחלוקת הזהב. לכן, הוא נתן לחלוקה זו את השם יחס הזהב. אז זה עדיין נשאר כפופולרי ביותר.

במקביל, בצפון אירופה, בגרמניה, עבד אלברכט דירר על אותן בעיות. הוא משרטט את המבוא לגרסה הראשונה של החיבור על פרופורציות. דירר כותב: "יש צורך שמי שיודע לעשות משהו ילמד אותו לאחרים שזקוקים לו. זה מה שהתכוונתי לעשות".

אם לשפוט לפי אחד ממכתביו של דירר, הוא נפגש עם לוקה פאציולי כשהיה באיטליה. אלברכט דורר מפתח בפירוט את תורת הפרופורציות של גוף האדם. דירר הקצה מקום חשוב במערכת היחסים שלו לחתך הזהב. גובהו של אדם מחולק בפרופורציות זהובות על ידי קו החגורה, כמו גם על ידי קו הנמשך דרך קצות האצבעות האמצעיות של הידיים המונמכות, החלק התחתון של הפנים על ידי הפה וכו'. המצפן הפרופורציונלי של דירר ידוע.

אסטרונום גדול של המאה ה-16. יוהנס קפלר כינה את יחס הזהב אחד מאוצרות הגיאומטריה. הוא היה הראשון שהפנה את תשומת הלב לחשיבות פרופורציית הזהב לבוטניקה (גידול צמחים ומבנהם).

קפלר כינה את פרופורציית הזהב ממשיכה את עצמה "הוא בנוי בצורה כזו", הוא כתב, "ששני האיברים הנמוכים ביותר של הפרופורציה הבלתי נגמרת הזה מסתכמים למונח השלישי, וכל שני איברים אחרונים, אם מוסיפים אותם יחד. , תן את המונח הבא, ואותו פרופורציה נשארת עד אינסוף."

בניית סדרה של מקטעים של פרופורציית הזהב יכולה להיעשות הן בכיוון העלייה (סדרה גדלה) והן בכיוון הירידה (סדרה יורדת).

אם על קו ישר באורך שרירותי, הניחו את הקטע בצד מ , שים את הקטע לידו מ . בהתבסס על שני הקטעים הללו, אנו בונים סולם מקטעים של פרופורציית הזהב של הסדרות העולה והיורד.

בניית סולם של קטעי פרופורציה מוזהבים

במאות שלאחר מכן הפך שלטון פרופורציית הזהב לקאנון אקדמי, וכאשר עם הזמן החל המאבק בשגרה האקדמית באמנות, בלהט המאבק "זרקו את התינוק עם מי האמבטיה". יחס הזהב "התגלה" שוב באמצע המאה ה-19.

בשנת 1855 פרסם החוקר הגרמני של יחס הזהב, פרופסור זייסינג, את עבודתו "מחקרים אסתטיים". מה שקרה לצייסינג היה בדיוק מה שצריך לקרות בהכרח לחוקר המחשיב תופעה ככזו, ללא קשר לתופעות אחרות. הוא אבסול את הפרופורציה של חתך הזהב, והכריז שהוא אוניברסלי לכל תופעות הטבע והאמנות. לצייסינג היו חסידים רבים, אך היו גם מתנגדים שהכריזו על דוקטרינת הפרופורציות שלו כ"אסתטיקה מתמטית".

זייסינג עשה עבודה אדירה. הוא מדד כאלפיים גופות אדם והגיע למסקנה שיחס הזהב מבטא את החוק הסטטיסטי הממוצע. חלוקת הגוף לפי נקודת הטבור היא האינדיקטור החשוב ביותר ליחס הזהב. הפרופורציות של הגוף הגברי נעות בתוך היחס הממוצע של 13:8 = 1.625 וקרובות במידת מה ליחס הזהב מאשר הפרופורציות של הגוף הנשי, שביחס אליהן מתבטא הערך הממוצע של הפרופורציה ביחס של 8 :5 = 1.6. ביילוד, הפרופורציה היא 1:1 עד גיל 13 היא 1.6, ובגיל 21 היא שווה לזו של גבר. הפרופורציות של יחס הזהב מופיעות גם ביחס לשאר חלקי הגוף - אורך הכתף, האמה והיד, היד והאצבעות וכו'.

זייסינג בדק את תקפות התיאוריה שלו על פסלים יווניים. הוא פיתח את הפרופורציות של אפולו בלוודר בצורה המפורטת ביותר. נחקרו אגרטלים יווניים, מבנים ארכיטקטוניים מתקופות שונות, צמחים, בעלי חיים, ביצי ציפורים, גוונים מוזיקליים ומטרים פיוטיים. זייסינג נתן הגדרה ליחס הזהב והראה כיצד הוא מתבטא בקטעי ישרים ובמספרים. כאשר התקבלו המספרים המבטאים את אורכי הקטעים, ראה זייסינג שהם מהווים סדרת פיבונאצ'י, שניתן להמשיך אותה ללא הגבלה בכיוון זה או אחר. ספרו הבא נקרא "חלוקת הזהב כחוק המורפולוגי הבסיסי בטבע ובאמנות". בשנת 1876 פורסם ברוסיה ספר קטן, כמעט חוברת, המתאר את עבודתו של זייזינג. המחבר מצא מקלט תחת ראשי התיבות Yu.F.V. מהדורה זו אינה מזכירה אפילו עבודת ציור אחת.

בסוף המאה ה-19 - ראשית המאה ה-20. תיאוריות פורמליסטיות רבות הופיעו לגבי השימוש ביחס הזהב ביצירות אמנות ואדריכלות. עם התפתחות העיצוב והאסתטיקה הטכנית התרחב חוק יחס הזהב לעיצוב מכוניות, רהיטים וכו'.

יחס זהב וסימטריה

יחס הזהב לא יכול להיחשב בפני עצמו, בנפרד, ללא קשר לסימטריה. הקריסטלוגרף הרוסי הגדול G.V. וולף (1863-1925) החשיב את יחס הזהב כאחד מביטויי הסימטריה.

חלוקת הזהב אינה ביטוי של אסימטריה, משהו מנוגד לסימטריה. לפי תפיסות מודרניות, חלוקת הזהב היא סימטריה א-סימטרית. מדע הסימטריה כולל מושגים כמו סימטריה סטטית ודינמית. סימטריה סטטית מאפיינת שלווה ואיזון, בעוד שסימטריה דינמית מאפיינת תנועה וצמיחה. כך, בטבע, סימטריה סטטית מיוצגת על ידי מבנה הגבישים, ובאמנות היא מאפיינת שלווה, איזון וחוסר תנועה. סימטריה דינמית מבטאת פעילות, מאפיינת תנועה, התפתחות, קצב, היא עדות לחיים. סימטריה סטטית מאופיינת במקטעים שווים ובערכים שווים. סימטריה דינמית מאופיינת בעלייה של מקטעים או ירידה שלהם, והיא מתבטאת בערכי חתך הזהב של סדרה גדלה או יורדת.

סדרת פיבונאצי

שמו של הנזיר המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו מפיזה, הידוע יותר בשם פיבונאצ'י, קשור בעקיפין להיסטוריה של יחס הזהב. הוא טייל רבות במזרח והכניס ספרות ערביות לאירופה. בשנת 1202 התפרסמה יצירתו המתמטית "ספר האבקסיס" (לוח ספירה), שאספה את כל הבעיות הידועות באותה תקופה.

סדרה של מספרים 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 וכו'. המכונה סדרת פיבונאצ'י. הייחודיות של רצף המספרים היא שכל אחד מאיבריו, החל מהשלישי, שווה לסכום השניים הקודמים 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 וכו', ויחס המספרים הסמוכים בסדרה מתקרב ליחס חלוקת הזהב. אז, 21:34 = 0.617, ו-34:55 = 0.618. יחס זה מסומן בסימן F. רק יחס זה - 0.618:0.382 - נותן חלוקה רציפה של קטע ישר בפרופורציה המוזהבת, הגדלתו או הקטנתו לאינסוף, כאשר הקטע הקטן יותר קשור לחלק הגדול יותר. הגדול יותר הוא למכלול.

כפי שמוצג באיור התחתון, אורך כל מפרק אצבע קשור לאורך המפרק הבא בפרופורציה F. אותו קשר מופיע בכל האצבעות והבהונות. החיבור הזה הוא איכשהו יוצא דופן, כי אצבע אחת ארוכה מהשנייה ללא כל תבנית נראית לעין, אבל זה לא מקרי, כמו שכל דבר בגוף האדם אינו מקרי. המרחקים על האצבעות, המסומנים מ-A ל-B עד C ל-D עד E, קשורים כולם זה לזה בפרופורציה F, וכך גם הפלנגות של האצבעות מ-F ל-G עד H.

תסתכל על שלד הצפרדע הזה וראה כיצד כל עצם מתאימה לתבנית פרופורציה F בדיוק כמו בגוף האדם.

יחס זהב כללי

מדענים המשיכו לפתח באופן פעיל את התיאוריה של מספרי פיבונאצ'י ויחס הזהב. יו. Matiyasevich פותר את הבעיה העשירית של הילברט באמצעות מספרי פיבונאצ'י. צצות שיטות לפתרון מספר בעיות קיברנטיות (תורת חיפוש, משחקים, תכנות) באמצעות מספרי פיבונאצ'י ויחס הזהב. בארה"ב אפילו נוצרת אגודת פיבונאצ'י מתמטית, שמפרסמת כתב עת מיוחד מאז 1963.

אחד ההישגים בתחום זה הוא גילוי מספרי פיבונאצ'י מוכללים ויחסי זהב מוכללים.

סדרת פיבונאצ'י (1, 1, 2, 3, 5, 8) והסדרה ה"בינארית" של המשקולות 1, 2, 4, 8, שהתגלו על ידו, הן במבט ראשון שונות לחלוטין. אבל האלגוריתמים לבנייתם ​​דומים מאוד זה לזה: במקרה הראשון, כל מספר הוא סכום המספר הקודם עם עצמו 2=1+1; 4=2+2..., בשני - זה הסכום של שני המספרים הקודמים 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... האם אפשר למצוא מתמטי כללי נוסחה שממנה הסדרה "בינארית" וסדרת פיבונאצ'י? או אולי הנוסחה הזו תיתן לנו סטים מספריים חדשים שיש להם כמה מאפיינים ייחודיים חדשים?

ואכן, הבה נגדיר פרמטר מספרי S, שיכול לקבל כל ערך: 0, 1, 2, 3, 4, 5... קחו סדרת מספרים, S+1, שהאיברים הראשונים שלה הם אחדים, וכל אחד הבאים שווים לסכום של שני איברים של הקודם ומופרדים מהקודם על ידי S שלבים. אם נסמן את האיבר ה-n בסדרה זו ב? S (n), אז נקבל את הנוסחה הכללית? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

ברור שעם S=0 מנוסחה זו נקבל סדרה "בינארית", כאשר S=1 - סדרת פיבונאצ'י, עם S=2, 3, 4. סדרת מספרים חדשה, הנקראת מספרי S-Fibonacci. .

באופן כללי, פרופורציית S הזהב היא השורש החיובי של משוואת חתך S הזהוב x S+1 -x S -1=0.

קל להראות שכאשר S=0 הקטע מחולק לשניים, וכאשר S=1 מתקבל יחס הזהב הקלאסי המוכר.

היחסים של מספרי ה-S של פיבונאצ'י השכנים עולים בקנה אחד עם דיוק מתמטי מוחלט בגבול עם פרופורציות S הזהובות! מתמטיקאים במקרים כאלה אומרים שיחסי ה-S הזהובים הם אינוריאנטים מספריים של מספרי ה-S של פיבונאצ'י.

עובדות המאשרות את קיומם של חתכי S זהובים בטבע ניתנות על ידי המדען הבלארוסי E.M. סורוקו בספר "הרמוניה מבנית של מערכות" (מינסק, "מדע וטכנולוגיה", 1984). מסתבר, למשל, שלסגסוגות בינאריות שנחקרו היטב יש תכונות פונקציונליות מיוחדות ובולטות (יציבות תרמית, קשיחות, עמידות בפני שחיקה, עמידות בפני חמצון וכו') רק אם המשקל הסגולי של הרכיבים המקוריים קשורים זה לזה. על ידי אחד מפרופורציות S זהובות. זה איפשר למחבר להעלות את ההשערה שחתכי ה-S הזהובים הם איוריאנטים מספריים של מערכות מתארגנות עצמית. לאחר אישור ניסוי, השערה זו עשויה להיות בעלת חשיבות מהותית לפיתוח הסינרגטיקה - תחום מדעי חדש החוקר תהליכים במערכות מתארגנות עצמית.

באמצעות קודי פרופורציית S מוזהבים, ניתן לבטא כל מספר ממשי כסכום חזקות של פרופורציות S מוזהבות עם מקדמים שלמים.

ההבדל המהותי בין שיטה זו של קידוד מספרים הוא שהבסיסים של הקודים החדשים, שהם פרופורציות S הזהובות, מתגלים כמספרים אי-רציונליים כאשר S>0. לפיכך, נראה כי מערכות מספרים חדשות עם בסיסים אי-רציונליים מציבות את ההיררכיה המבוססת היסטורית של היחסים בין מספרים רציונליים ואי-רציונליים "מראש ועד רגל". העובדה היא שמספרים טבעיים "התגלו" לראשונה; אז היחסים שלהם הם מספרים רציונליים. ורק מאוחר יותר, לאחר שהפיתגוראים גילו מקטעים בלתי ניתנים להתאמה, נולדו מספרים אי-רציונליים. לדוגמה, במערכות מספרים מיקוםיים עשרוניים, קווינאריים, בינארים ואחרים, נבחרו המספרים הטבעיים כמעין עקרון יסוד: 10, 5, 2, שממנו נבנו כל שאר המספרים הטבעיים, כמו גם המספרים הרציונליים והאי-רציונליים. לפי כללים מסוימים.

מעין אלטרנטיבה לשיטות הסימון הקיימות היא מערכת חדשה, אי-רציונלית, שבה נבחר מספר אי-רציונלי (שכזכור, השורש של משוואת יחס הזהב) כבסיס היסודי לתחילת הסימון; מספרים ממשיים אחרים כבר באים לידי ביטוי באמצעותו.

במערכת מספרים כזו, כל מספר טבעי תמיד יכול להיות מיוצג כסופי – ולא אינסופי, כפי שחשבו בעבר! - סכום החזקות של כל אחת מפרופורציות ה-S הזהובות. זו אחת הסיבות לכך שחשבון "לא רציונלי", בעל פשטות ואלגנטיות מתמטית מדהימה, נראה שספגה את התכונות הטובות ביותר של אריתמטיקה בינארית קלאסית ו"פיבונאצ'י".

עקרונות היווצרות הצורה בטבע

כל מה שלובש צורה כלשהי נוצר, צמח, שאף לתפוס מקום במרחב ולשמר את עצמו. רצון זה מתממש בעיקר בשתי דרכים: צמיחה כלפי מעלה או התפשטות על פני כדור הארץ והתפתלות בספירלה.

הקליפה מעוותת בספירלה. אם תפתחו אותו, תקבלו אורך מעט קצר יותר מאורך הנחש. לקליפה קטנה של עשרה סנטימטרים יש ספירלה באורך 35 ס"מ. ספירלות נפוצות מאוד בטבע. הרעיון של יחס הזהב לא יהיה שלם מבלי לדבר על הספירלה.

צורת הקונכייה המסולסלת הספירלית משכה את תשומת לבו של ארכימדס. הוא למד את זה והסיק את משוואת הספירלה. הספירלה המצוירת לפי משוואה זו נקראת בשמו. העלייה בצעד שלה תמיד אחידה. נכון לעכשיו, ספירלת ארכימדס נמצאת בשימוש נרחב בטכנולוגיה.

גתה הדגיש גם את נטיית הטבע לספירליות. הסידור הסליל והספירלי של עלים על ענפי עצים הובחן לפני זמן רב.

הספירלה נראתה בסידור גרעיני חמניות, אצטרובלים, אננסים, קקטוסים וכו'. העבודה המשותפת של בוטנאים ומתמטיקאים שפכה אור על תופעות הטבע המדהימות הללו. התברר שסדרת פיבונאצ'י מתבטאת בסידור עלים על ענף (פילוטקסיס), גרעיני חמניות ואצטרובלים, ולכן, חוק יחס הזהב בא לידי ביטוי. העכביש טווה את קוריו בצורת ספירלה. הוריקן מסתובב כמו ספירלה. עדר מבוהל של איילים מתפזר בספירלה. מולקולת ה-DNA מעוותת בסליל כפול. גתה כינה את הספירלה "עקומת החיים".

סדרת מנדלברוט

ספירלת הזהב קשורה קשר הדוק למחזוריות. מדע הכאוס המודרני חוקר פעולות מחזוריות פשוטות עם משוב והצורות הפרקטליות שהן מייצרות, שלא היו ידועות בעבר. בתמונה נראה סדרת מנדלברוט המפורסמת - עמוד מתוך המילון חאיברים של דפוסים בודדים הנקראים סדרה ג'וליאנית. כמה מדענים מקשרים את סדרת מנדלברוט עם הקוד הגנטי של גרעיני התא. גידול עקבי בחתכים חושף פרקטלים מדהימים במורכבות האמנותית שלהם. וגם כאן יש ספירלות לוגריתמיות! זה חשוב על אחת כמה וכמה מכיוון שגם סדרת מנדלברוט וגם סדרת ג'וליאן אינן המצאה של המוח האנושי. הם נובעים מאזור אבות הטיפוס של אפלטון. כפי שאמר הרופא ר' פנרוז, "הם כמו הר האוורסט".

בין עשבי התיבול בצדי הדרך צומח צמח לא ראוי לציון - עולש. בואו נסתכל על זה מקרוב. נוצר יורה מהגבעול הראשי. העלה הראשון היה ממוקם ממש שם.

היורה מבצע פליטה חזקה לחלל, עוצר, משחרר עלה, אך הפעם הוא קצר יותר מהראשון, שוב מבצע פליטה לחלל, אך בפחות כוח, משחרר עלה בגודל קטן עוד יותר ונפלט שוב. .

אם הפליטה הראשונה נחשבת ל-100 יחידות, אז השנייה שווה ל-62 יחידות, השלישית היא 38, הרביעית היא 24 וכו'. אורך עלי הכותרת כפוף גם למידת הזהב. בגידול ובכיבוש החלל שמר הצמח על פרופורציות מסוימות. דחפי הצמיחה שלו ירדו בהדרגה ביחס ליחס הזהב.

עוֹלֶשׁ

אצל פרפרים רבים, היחס בין הגדלים של חלקי החזה והבטן בגוף מתאים ליחס הזהב. מקפל את כנפיו, העש יוצר משולש שווה צלעות קבוע. אבל אם תפרשו כנפיים, תראו את אותו עיקרון של חלוקת הגוף ל-2, 3, 5, 8. השפירית נוצרת גם על פי חוקי פרופורציית הזהב: היחס בין אורכי הזנב והגוף שווה ליחס בין האורך הכולל לאורך הזנב.

במבט ראשון, ללטאה פרופורציות נעימות לעינינו - אורך זנבה קשור לאורך שאר הגוף כ-62 עד 38.

לטאה חיה

הן בעולם הצומח והן בעולם החי פורצת דרך מתמדת הנטייה המעצבת של הטבע – סימטריה לגבי כיוון הצמיחה והתנועה. כאן יחס הזהב מופיע בפרופורציות של חלקים בניצב לכיוון הצמיחה.

הטבע ביצע חלוקה לחלקים סימטריים ופרופורציות זהובות. החלקים חושפים חזרה על מבנה השלם.

עניין רב הוא חקר הצורות של ביצי ציפורים. צורותיהם השונות נעות בין שני טיפוסים קיצוניים: ניתן לרשום את אחד מהם במלבן של יחס הזהב, את השני במלבן עם מודולוס 1.272 (שורש יחס הזהב)

צורות כאלה של ביצי ציפורים אינן מקריות, שכן כעת הוכח שצורת הביצים המתוארת על ידי יחס הזהב תואמת למאפייני חוזק גבוהים יותר של קליפת הביצה.

ניבים של פילים וממותות נכחדות, ציפורני אריות ומקורם של תוכים הם לוגריתמיים בצורתם ודומים לצורת ציר הנוטה להפוך לספירלה.

בטבע החי, צורות המבוססות על סימטריה "מחומש" נפוצות (כוכבי ים, קיפודי ים, פרחים).

יחס הזהב קיים במבנה של כל הגבישים, אך רוב הגבישים קטנים מבחינה מיקרוסקופית, כך שאיננו יכולים לראות אותם בעין בלתי מזוינת. עם זאת, פתיתי שלג, שהם גם גבישי מים, נראים למדי לעינינו. כל הדמויות היפות להפליא היוצרות פתיתי שלג, כל הצירים, העיגולים והדמויות הגיאומטריות בפתיתי שלג גם הן תמיד, ללא יוצא מן הכלל, בנויות לפי הנוסחה הברורה והמושלמת של יחס הזהב.

במיקרוקוסמוס, צורות לוגריתמיות תלת מימדיות הבנויות על פי פרופורציות זהב נמצאות בכל מקום. לדוגמה, לנגיפים רבים יש צורה גיאומטרית תלת מימדית של איקוסהדרון. אולי המפורסם מבין הנגיפים הללו הוא וירוס אדנו. מעטפת החלבון של נגיף האדנו נוצרת מ-252 יחידות של תאי חלבון המסודרים ברצף מסוים. בכל פינה של האיקוסהדרון יש 12 יחידות של תאי חלבון בצורת פריזמה מחומשת, ומבנים דמויי עמוד שדרה משתרעים מפינות אלו.

וירוס אדנו

יחס הזהב במבנה של וירוסים התגלה לראשונה בשנות החמישים. מדענים ממכללת בירקבק בלונדון א. קלוג וד. קספר. וירוס הפוליו היה הראשון שהציג צורה לוגריתמית. צורתו של נגיף זה נמצאה דומה לזו של נגיף הקרנף.

נשאלת השאלה: איך וירוסים יוצרים צורות תלת מימדיות מורכבות כל כך, שהמבנה שלהן מכיל את יחס הזהב, שדי קשה לבנות אפילו עם המוח האנושי שלנו? מגלה צורות הנגיפים הללו, הוירולוג א' קלוג, נותן את ההערה הבאה: "ד"ר קספר ואני הראינו שעבור הקליפה הכדורית של הנגיף, הצורה האופטימלית ביותר היא סימטריה כמו צורת האיקוסהדרון. סדר זה ממזער את מספר האלמנטים המחברים... רוב הקוביות ההמיספריות הגיאודזיות של באקמינסטר פולר בנויות על עיקרון גיאומטרי דומה. ההתקנה של קוביות כאלה דורשת דיאגרמת הסבר מדויקת ומפורטת ביותר, בעוד שוירוסים לא מודעים בונים בעצמם מעטפת מורכבת כל כך מיחידות תא חלבון אלסטי וגמיש".

ההערה של קלוג שוב מזכירה לנו אמת ברורה ביותר: במבנה אפילו של אורגניזם מיקרוסקופי שהמדענים מגדירים אותו כ"צורת החיים הפרימיטיבית ביותר", במקרה זה וירוס, יש תוכנית ברורה ותכנון מושכל מיושם. פרויקט זה אינו דומה בשלמותו ובדיוק הביצוע שלו לפרויקטים האדריכליים המתקדמים ביותר שנוצרו על ידי אנשים. למשל, פרויקטים שיצר האדריכל המבריק באקמינסטר פולר.

מודלים תלת מימדיים של הדודקהדרון והאיקוסהדרון קיימים גם במבנה השלדים של מיקרואורגניזמים ימיים חד-תאיים רדיולארים (רדיפיש), שהשלד שלהם עשוי סיליקה.

רדיולארים יוצרים את גופם בעל יופי מאוד יוצא דופן. צורתם היא דודקהדרון רגיל, ומכל אחת מפינותיו נובט פסאודו-התארכות-איבר ועוד צורות-גידולים חריגים.

גתה הגדול, משורר, חוקר טבע ואמן (הוא צייר וצייר בצבעי מים), חלם ליצור דוקטרינה מאוחדת של צורה, היווצרות והתמרה של גופים אורגניים. הוא זה שהכניס את המונח מורפולוגיה לשימוש מדעי.

פייר קירי בתחילת המאה הזו ניסח מספר רעיונות מעמיקים על סימטריה. הוא טען שאי אפשר להתחשב בסימטריה של גוף כלשהו מבלי לקחת בחשבון את הסימטריה של הסביבה.

חוקי הסימטריה ה"זהובה" באים לידי ביטוי במעברי אנרגיה של חלקיקים אלמנטריים, במבנה של כמה תרכובות כימיות, במערכות פלנטריות וקוסמיות, במבני גנים של אורגניזמים חיים. דפוסים אלה, כפי שצוין לעיל, קיימים במבנה של איברים אנושיים בודדים ושל הגוף בכללותו, ומתבטאים גם בביוריתמים ובתפקוד המוח ובתפיסה החזותית.

גוף האדם ויחס הזהב

כל עצמות האדם נשמרות ביחס ליחס הזהב. הפרופורציות של חלקי הגוף השונים הם מספר קרוב מאוד ליחס הזהב. אם הפרופורציות הללו עולות בקנה אחד עם נוסחת יחס הזהב, אז המראה או הגוף של האדם נחשבים בפרופורציות אידיאליות.

פרופורציות זהוב בחלקים של גוף האדם

אם ניקח את נקודת הטבור כמרכז גוף האדם, ואת המרחק בין כף רגלו של אדם לנקודת הטבור כיחידת מדידה, אזי גובהו של אדם שווה ערך למספר 1.618.

• המרחק מגובה הכתף לעטרה של הראש וגודל הראש הוא 1:1.618;
• המרחק מנקודת הטבור לכותרת הראש ומגובה הכתף לכותרת הראש הוא 1:1.618;
• המרחק של נקודת הטבור לברכיים ומהברכיים לכפות הרגליים הוא 1:1.618;
• המרחק מקצה הסנטר לקצה השפה העליונה ומקצה השפה העליונה לנחיריים הוא 1:1.618;
• הנוכחות המדויקת בפועל של פרופורציית הזהב בפניו של אדם היא אידיאל היופי עבור המבט האנושי;
• המרחק מקצה הסנטר לקו העליון של הגבות ומהקו העליון של הגבות לכתר הוא 1:1.618;
• גובה הפנים/רוחב הפנים;
• נקודת החיבור המרכזית של השפתיים לבסיס האף/אורך האף;
• גובה הפנים/מרחק מקצה הסנטר לנקודה המרכזית שבה השפתיים נפגשות;
• רוחב הפה/רוחב האף;
• רוחב/מרחק האף בין הנחיריים;
• מרחק בין אישונים/מרחק בין גבות.

מספיק רק לקרב את כף היד אליך ולהסתכל היטב באצבע המורה, ומיד תמצא בה את הנוסחה של יחס הזהב.

כל אצבע ביד שלנו מורכבת משלושה פלנגות. סכום אורכי שני הפלנגות הראשונות של האצבע ביחס לכל אורך האצבע נותן את מספר יחס הזהב (למעט האגודל).

בנוסף, היחס בין האצבע האמצעית והזרת שווה גם הוא ליחס הזהב.

לאדם יש 2 ידיים, האצבעות בכל יד מורכבות מ-3 פלנגות (למעט האגודל). יש 5 אצבעות בכל יד, כלומר 10 בסך הכל, אבל למעט שני אגודלים דו פלנקס נוצרות רק 8 אצבעות לפי עקרון יחס הזהב. ואילו כל המספרים האלה 2, 3, 5 ו-8 הם מספרי רצף של פיבונאצ'י.

ראוי לציין גם את העובדה שעבור רוב האנשים, המרחק בין קצוות הזרועות המושטות שלהם שווה לגובהם.

האמיתות של יחס הזהב נמצאות בתוכנו ובמרחב שלנו. המוזרות של הסמפונות המרכיבות את הריאות האנושיות טמונה באסימטריה שלהן. הסימפונות מורכבים משני דרכי אוויר עיקריות, שאחד מהם (השמאלי) ארוך יותר והשני (הימין) קצר יותר. נמצא שאסימטריה זו נמשכת בענפי הסמפונות, בכל דרכי הנשימה הקטנות יותר. יתרה מכך, היחס בין אורכי הסימפונות הקצרים והארוכים הוא גם יחס הזהב ושווה ל-1:1.618.

באוזן הפנימית האנושית יש איבר בשם שבלול ("שבלול"), שמבצע את הפונקציה של העברת רטט קול. מבנה גרמי זה מלא בנוזל והוא גם בצורת חילזון, המכיל צורת ספירלה לוגריתמית יציבה =73 0 43 אינץ'.

לחץ הדם משתנה ככל שהלב פועל. הוא מגיע לערכו הגדול ביותר בחדר השמאלי של הלב ברגע הדחיסה שלו (סיסטולה). בעורקים, במהלך הסיסטולה של חדרי הלב, לחץ הדם מגיע לערך מרבי השווה ל-115-125 מ"מ כספית באדם צעיר ובריא. ברגע של הרפיה של שריר הלב (דיאסטולה), הלחץ יורד ל-70-80 מ"מ כספית. היחס בין הלחץ המקסימלי (סיסטולי) למינימום (דיאסטולי) הוא בממוצע 1.6, כלומר קרוב ליחס הזהב.

אם ניקח את לחץ הדם הממוצע באבי העורקים כיחידה, אז לחץ הדם הסיסטולי באבי העורקים הוא 0.382, והלחץ הדיאסטולי הוא 0.618, כלומר, היחס שלהם מתאים ליחס הזהב. המשמעות היא שעבודת הלב ביחס למחזורי זמן ושינויים בלחץ הדם מותאמת לפי אותו עיקרון, חוק פרופורציית הזהב.

מולקולת ה-DNA מורכבת משני סלילים השזורים זה בזה אנכית. אורכה של כל אחת מהספירלות הללו הוא 34 אנגסטרים והרוחב הוא 21 אנגסטרים. (אנגסטרם אחד הוא מאה מיליון סנטימטר).

מבנה קטע הסליל של מולקולת ה-DNA

אז, 21 ו-34 הם מספרים העוקבים זה אחר זה ברצף של מספרי פיבונאצ'י, כלומר, היחס בין האורך והרוחב של הספירלה הלוגריתמית של מולקולת ה-DNA נושא את הנוסחה של יחס הזהב 1:1.618.

יחס זהב בפיסול

מבנים ומונומנטים פיסוליים מוקמים כדי להנציח אירועים משמעותיים, לשמר בזכרם של צאצאים את שמותיהם של אנשים מפורסמים, מעלליהם ומעשיהם. ידוע שגם בימי קדם בסיס הפיסול היה תורת הפרופורציות. היחסים בין חלקי גוף האדם היו קשורים לנוסחת יחס הזהב. הפרופורציות של "חתך הזהב" יוצרות רושם של הרמוניה ויופי, וזו הסיבה שהפסלים השתמשו בהן בעבודותיהם. הפסלים טוענים שהמותניים מחלקים את גוף האדם המושלם ביחס ל"יחס הזהב". לדוגמה, הפסל המפורסם של אפולו בלוודר מורכב מחלקים המחולקים לפי יחסי זהב. הפסל היווני הקדום הגדול פידיאס השתמש לעתים קרובות ב"יחס הזהב" בעבודותיו. המפורסמים שבהם היו פסלו של זאוס האולימפי (שנחשב לאחד מפלאי העולם) והפרתנון של אתונה.

פרופורציית הזהב של הפסל של אפולו בלוודר ידועה: גובהו של האדם המתואר מחולק על ידי קו הטבור בחתך הזהב.

יחס הזהב בארכיטקטורה

בספרים על "יחס הזהב" ניתן למצוא את ההערה שבאדריכלות, כמו בציור, הכל תלוי במיקום המתבונן, ואם נראה כי כמה פרופורציות בבניין מצד אחד יוצרות את "יחס הזהב", אז מנקודות מבט אחרות הם ייראו אחרת. "יחס הזהב" נותן את היחס הרגוע ביותר בין הגדלים של אורכים מסוימים.

אחת היצירות היפות ביותר של האדריכלות היוונית העתיקה היא הפרתנון (המאה החמישית לפני הספירה).

הדמויות מציגות מספר דפוסים הקשורים ליחס הזהב. ניתן לבטא את הפרופורציות של הבניין באמצעות כוחות שונים של המספר Ф=0.618...

לפרתנון יש 8 עמודים בצדדים הקצרים ו-17 בצדדים הארוכים. ההקרנות עשויות לחלוטין מריבועים של שיש פנטיליאני. האצילות של החומר ממנו נבנה המקדש אפשרה להגביל את השימוש בצביעה, המקובלת באדריכלות היוונית, היא רק מדגישה את הפרטים ויוצרות רקע צבעוני (כחול ואדום) לפסל. היחס בין גובה הבניין לאורכו הוא 0.618. אם נחלק את הפרתנון לפי "חתך הזהב", נקבל בליטות מסוימות של החזית.

בתכנית הקומה של הפרתנון ניתן לראות גם את "מלבני הזהב".

אנו יכולים לראות את יחס הזהב בבניין קתדרלת נוטרדאם (נוטרדאם דה פריז) ובפירמידת צ'אופס.

לא רק הפירמידות המצריות נבנו בהתאם לפרופורציות המושלמות של יחס הזהב; אותה תופעה נמצאה בפירמידות המקסיקניות.

במשך זמן רב האמינו כי האדריכלים של רוסיה העתיקה בנו הכל "בעין", ללא חישובים מתמטיים מיוחדים. עם זאת, המחקר האחרון הראה כי אדריכלים רוסים היו מודעים היטב לפרופורציות מתמטיות, כפי שמעידה ניתוח הגיאומטריה של מקדשים עתיקים.

האדריכל הרוסי המפורסם M. Kazakov השתמש רבות ב"יחס הזהב" בעבודתו. כישרונו היה רב-גוני, אך הוא התגלה במידה רבה יותר בפרויקטים רבים שהושלמו של בנייני מגורים ואחוזות. לדוגמה, ניתן למצוא את "יחס הזהב" בארכיטקטורה של בניין הסנאט בקרמלין. על פי הפרויקט של מ' קזקוב, נבנה בית החולים "גוליצין" במוסקבה, הנקרא כיום בית החולים הקליני הראשון על שם נ.י. פירוגוב.

ארמון פטרובסקי במוסקבה. נבנה לפי התכנון של M.F. קזקובה

יצירת מופת אדריכלית נוספת של מוסקבה - בית פשקוב - היא אחת מיצירות האדריכלות המושלמות ביותר של V. Bazhenov.

בית פשקוב

היצירה הנפלאה של V. Bazhenov נכנסה בחוזקה לאנסמבל מרכז מוסקבה המודרנית והעשירה אותו. החלק החיצוני של הבית נותר כמעט ללא שינוי עד היום, למרות העובדה שהוא נשרף קשות בשנת 1812. במהלך השיקום קיבל הבניין צורות מאסיביות יותר. הפריסה הפנימית של המבנה לא השתמרה, מה שניתן לראות רק בשרטוט הקומה התחתונה.

רבות מהצהרותיו של האדריכל ראויות לתשומת לב היום. על האמנות האהובה עליו אמר V. Bazhenov: "לאדריכלות יש שלושה אובייקטים עיקריים: יופי, שלווה וחוזק של הבניין... כדי להשיג זאת, הידע של פרופורציה, פרספקטיבה, מכניקה או פיזיקה בכלל משמש מדריך, ו המנהיג המשותף של כולם הוא התבונה."

יחס זהב במוזיקה

לכל יצירה מוזיקלית יש הרחבה זמנית והיא מחולקת על ידי "אבני דרך אסתטיות" מסוימות לחלקים נפרדים המושכים תשומת לב ומקלים על התפיסה בכללותה. אבני דרך אלו יכולות להיות שיאי הדינמיות והאינטונציה של יצירה מוזיקלית. מרווחי זמן נפרדים של יצירה מוזיקלית, המחוברים ב"אירוע שיא", ככלל, הם ביחס הזהב.

עוד ב-1925, מבקר האמנות L.L. סבנייב, לאחר שניתח 1,770 יצירות מוזיקליות של 42 מחברים, הראה שניתן לחלק בקלות את רובן המכריע של היצירות הבולטות לחלקים לפי נושא, או לפי מבנה אינטונציה, או לפי מבנה מודאלי, הקשורים זה לזה ביחס לזהב. יַחַס. יתרה מכך, ככל שהמלחין מוכשר יותר, כך מוצאים יותר יחסי זהב ביצירותיו. לדברי סבנייב, יחס הזהב מוביל לרושם של הרמוניה מיוחדת של הרכב מוזיקלי. סבנייב בדק את התוצאה הזו בכל 27 האטיודים של שופן. הוא גילה בהם 178 יחסי זהב. התברר שלא רק חלקים גדולים מהלימודים מחולקים לפי משך ביחס ליחס הזהב, אלא שגם חלקים מהלימודים בפנים מחולקים לרוב באותו יחס.

מלחין ומדען M.A. Marutaev ספר את מספר התיבות בסונטה המפורסמת "Appassionata" ומצא מספר קשרים מספריים מעניינים. בפרט, בפיתוח - היחידה המבנית המרכזית של הסונטה, שבה נושאים מתפתחים באופן אינטנסיבי וטונים מחליפים זה את זה - ישנם שני חלקים עיקריים. בראשון - 43.25 מידות, בשני - 26.75. היחס 43.25:26.75=0.618:0.382=1.618 נותן את יחס הזהב.

המספר הגדול ביותר של יצירות בהן נוכח יחס הזהב הן מאת ארנסקי (95%), בטהובן (97%), היידן (97%), מוצרט (91%), שופן (92%), שוברט (91%).

אם מוזיקה היא הסדר ההרמוני של הצלילים, הרי שירה היא הסדר ההרמוני של הדיבור. קצב ברור, חילופין טבעי של הברות מודגשות ולא מודגשות, מטר מסודר של שירים והעושר הרגשי שלהן הופכים את השירה לאחותן של יצירות מוזיקליות. יחס הזהב בשירה מתבטא קודם כל כנוכחות של רגע מסוים של השיר (שיאו, נקודת מפנה סמנטית, רעיון עיקרי של היצירה) בשורה הנופלת על נקודת החלוקה של מספר השורות הכולל. של השיר בפרופורציית הזהב. לכן, אם שיר מכיל 100 שורות, אז הנקודה הראשונה של יחס הזהב נופלת על השורה ה-62 (62%), השנייה על ה-38 (38%) וכו'. יצירותיו של אלכסנדר סרגייביץ' פושקין, כולל "יוג'ין אונייגין", הן ההתכתבות הטובה ביותר לפרופורציה המוזהבת! יצירות מאת Shota Rustaveli ו-M.Yu. גם לרמונטוב בנויים על פי העיקרון של חתך הזהב.

סטרדיוורי כתב שהוא השתמש ביחס הזהב כדי לקבוע את המיקומים של חריצים בצורת F על גופי הכינורות המפורסמים שלו.

יחס זהב בשירה

המחקר על יצירות פיוטיות מהעמדות הללו רק מתחיל. וצריך להתחיל בשירת א.ש. פושקין. אחרי הכל, יצירותיו הן דוגמה ליצירות הבולטות ביותר של התרבות הרוסית, דוגמה לרמה הגבוהה ביותר של הרמוניה. משירת א.ש. פושקין נתחיל בחיפוש אחר פרופורציית הזהב - מדד ההרמוניה והיופי.

הרבה במבנה של יצירות פיוטיות הופך את צורת האמנות הזו לדומה למוזיקה. קצב ברור, חילופין טבעי של הברות מודגשות ולא מודגשות, מטר מסודר של שירים והעושר הרגשי שלהן הופכים את השירה לאחותן של יצירות מוזיקליות. לכל פסוק יש צורה מוזיקלית משלו, קצב ומנגינה משלו. אפשר לצפות שבמבנה השירים יופיעו כמה מאפיינים של יצירות מוזיקליות, חוקי ההרמוניה המוזיקלית, וכתוצאה מכך, פרופורציית הזהב.

נתחיל מגודל השיר, כלומר מספר השורות שבו. נראה כי פרמטר זה של השיר יכול להשתנות באופן שרירותי. אולם התברר שלא כך היה. לדוגמה, הניתוח של נ' וסיוטינסקי לשירי א.ס. פושקין הראה שהגדלים של השירים מחולקים בצורה מאוד לא אחידה; התברר שפושקין מעדיף בבירור את הגדלים של 5, 8, 13, 21 ו-34 קווים (מספרי פיבונאצ'י).

חוקרים רבים שמו לב ששירים דומים לקטעי מוזיקה; יש להם גם נקודות שיא שמחלקות את השיר ביחס ליחס הזהב. קחו למשל את שירו ​​של א.ש. "סנדלר" של פושקין:

בואו ננתח את המשל הזה. השיר מורכב מ-13 שורות. יש לו שני חלקים סמנטיים: הראשון ב-8 שורות והשני (מוסר המשל) ב-5 שורות (13, 8, 5 הם מספרי פיבונאצ'י).

אחד משיריו האחרונים של פושקין, "אני לא מעריך זכויות קולניות ביוקר..." מורכב מ-21 שורות ויש בו שני חלקים סמנטיים: 13 ו-8 שורות:

אופייני הוא שחלקו הראשון של פסוק זה (13 שורות), לפי תוכנו הסמנטי, מחולק ל-8 ו-5 שורות, כלומר השיר כולו בנוי לפי חוקי פרופורציית הזהב.

הניתוח של הרומן "יוג'ין אונייגין" שנעשה על ידי נ' וסיוטינסקי מעורר עניין ללא ספק. רומן זה מורכב מ-8 פרקים, בכל אחד מהם כ-50 פסוקים בממוצע. הפרק השמיני הוא הכי מושלם, הכי משופשף ועשיר רגשית. יש בו 51 פסוקים. יחד עם המכתב של יוג'ין לטטיאנה (60 שורות), זה בדיוק מתאים למספר פיבונאצ'י 55!

N. Vasyutinsky קובע: "שיאו של הפרק הוא הצהרת האהבה של יבגני לטטיאנה - השורה "להחוויר ולהתפוגג... זה אושר!" שורה זו מחלקת את כל הפרק השמיני לשני חלקים: הראשון כולל 477 שורות, והשני כולל 295 שורות. היחס שלהם הוא 1.617! ההתכתבות הטובה ביותר לערך פרופורציית הזהב! זהו נס גדול של הרמוניה שהושג על ידי הגאון של פושקין!"

E. Rosenov ניתח רבות מיצירותיו הפואטיות של M.Yu. לרמונטוב, שילר, א.ק. טולסטוי וגם גילה את "יחס הזהב" בהם.

שירו המפורסם של לרמונטוב "בורודינו" מחולק לשני חלקים: הקדמה המופנית למספר, התופסת רק בית אחד ("תגיד לי, דוד, זה לא בלי סיבה..."), והחלק העיקרי, המייצג שלם עצמאי, שמתחלק לשני חלקים שווים. הראשון שבהם מתאר, במתח גובר, את הציפייה לקרב, השני מתאר את הקרב עצמו, תוך ירידה הדרגתית במתח לקראת סוף השיר. הגבול בין חלקים אלו הוא נקודת השיא של היצירה ונופל בדיוק בנקודת החלוקה לפי חתך הזהב.

חלקו העיקרי של השיר מורכב מ-13 שורות של שבע שורות, כלומר 91 שורות. לאחר שחילקנו אותו ביחס הזהב (91:1.618=56.238), אנו משוכנעים שנקודת החלוקה נמצאת בתחילת הפסוק ה-57, שם יש משפט קצר: "ובכן, זה היה יום!" הביטוי הזה הוא שמייצג את "נקודת השיא של הציפייה הנרגשת", משלים את החלק הראשון של השיר (ציפייה לקרב) ופותח את חלקו השני (תיאור הקרב).

לפיכך, יחס הזהב ממלא תפקיד משמעותי מאוד בשירה, ומדגיש את שיאו של השיר.

חוקרים רבים של שירו ​​של שוטה רוסתוולי "האביר בעור נמר" מציינים את ההרמוניה והלחן יוצא הדופן של הפסוק שלו. תכונות אלו של השיר מאת המדען הגאורגי, האקדמיה G.V. צרתי מיוחסת לשימוש המודע של המשורר ביחס הזהב הן בהתהוות צורת השיר והן בבניית פסוקיו.

שירו של רוסתוולי מורכב מ-1587 בתים, שכל אחד מהם מורכב מארבע שורות. כל שורה מורכבת מ-16 הברות ומחולקת לשני חלקים שווים של 8 הברות בכל המיסטיץ'. כל ההמיסטיות מחולקות לשני מקטעים משני סוגים: A - hemistich עם מקטעים שווים ומספר זוגי של הברות (4+4); B הוא המיסטיץ' עם חלוקה אסימטרית לשני חלקים לא שווים (5+3 או 3+5). לפיכך, בהמיסטיך B היחסים הם 3:5:8, המהווה קירוב ליחס הזהב.

נקבע כי בשירו של רוסתוולי, מתוך 1587 בתים, יותר ממחציתם (863) בנויים על פי עקרון יחס הזהב.

בתקופתנו נולד סוג חדש של אמנות - קולנוע, שקלט את הדרמה של האקשן, הציור והמוזיקה. לגיטימי לחפש ביטויים של יחס הזהב ביצירות קולנוע מצטיינות. הראשון שעשה זאת היה היוצר של יצירת המופת של הקולנוע העולמי "ספינת הקרב פוטיומקין", במאי הקולנוע סרגיי אייזנשטיין. בבניית התמונה הזו הוא הצליח לגלם את העיקרון הבסיסי של הרמוניה - יחס הזהב. כפי שמציין אייזנשטיין עצמו, הדגל האדום על התורן של ספינת הקרב המרדנית (שיאו של הסרט) מתנוסס בנקודת יחס הזהב, נספר מסוף הסרט.

יחס זהב בפונטים ובחפצי בית

סוג מיוחד של אמנות יפה של יוון העתיקה צריך להיות מודגש בייצור ובציור של כל מיני כלים. בצורה אלגנטית, ניתן לנחש בקלות את הפרופורציות של יחס הזהב.

בציור ובפיסול של מקדשים, ועל חפצי בית, המצרים הקדמונים תיארו לרוב אלים ופרעונים. נקבעו הקנונים של תיאור אדם עומד, הולך, יושב וכו'. אמנים נדרשו לשנן צורות בודדות ודפוסי תמונה באמצעות טבלאות ודוגמאות. האמנים של יוון העתיקה ערכו טיולים מיוחדים למצרים כדי ללמוד כיצד להשתמש בקאנון.

פרמטרים פיזיים אופטימליים של הסביבה החיצונית

ידוע שהמקסימום עוצמת קול, שגורם לכאב, שווה ל-130 דציבלים. אם נחלק את המרווח הזה ביחס הזהב של 1.618, נקבל 80 דציבלים, האופייניים לעוצמת הצרחה האנושית. אם נחלק כעת 80 דציבלים ביחס הזהב, נקבל 50 דציבלים, המתאימים לעוצמת הדיבור האנושית. לבסוף, אם נחלק 50 דציבלים בריבוע של יחס הזהב 2.618, נקבל 20 דציבלים, המתאימים ללחישה אנושית. לפיכך, כל הפרמטרים האופייניים של עוצמת הקול מחוברים זה לזה באמצעות פרופורציית הזהב.

בטמפרטורה של 18-20 0 C מרווח לַחוּת 40-60% נחשבים לאופטימליים. ניתן לקבל את גבולות טווח הלחות האופטימלי אם הלחות המוחלטת של 100% מחולקת פעמיים ביחס הזהב: 100/2.618 = 38.2% (גבול תחתון); 100/1.618=61.8% (גבול עליון).

בְּ לחץ אוויר 0.5 MPa, אדם חווה תחושות לא נעימות ותפקודו הפיזי והפסיכולוגי מחמיר. בלחץ של 0.3-0.35 מגפ"ס מותרת עבודה קצרת מועד בלבד, ובלחץ של 0.2 מג"פ מותר לעבוד לא יותר מ-8 דקות. כל הפרמטרים האופייניים הללו קשורים זה לזה לפי פרופורציית הזהב: 0.5/1.618 = 0.31 MPa; 0.5/2.618=0.19 MPa.

פרמטרי גבול טמפרטורת האוויר בחוץ, שבתוכו אפשרי קיום נורמלי (והכי חשוב, המקור הפך אפשרי) של אדם הוא טווח הטמפרטורות מ-0 ל-+ (57-58) 0 C. ברור שאין צורך לספק הסברים לראשון לְהַגבִּיל.

הבה נחלק את טווח הטמפרטורות החיוביות המצוין בחתך הזהב. במקרה זה, אנו מקבלים שני גבולות (שני הגבולות הם טמפרטורות אופייניות לגוף האדם): הראשון מתאים לטמפרטורה, הגבול השני מתאים לטמפרטורה המרבית האפשרית של האוויר החיצוני לגוף האדם.

יחס זהב בציור

עוד בתקופת הרנסנס, אמנים גילו שלכל תמונה יש נקודות מסוימות שמושכות את תשומת הלב שלנו באופן לא רצוני, מה שנקרא המרכזים החזותיים. במקרה זה, זה לא משנה איזה פורמט יש לתמונה - אופקי או אנכי. יש רק ארבע נקודות כאלה, והן ממוקמות במרחק של 3/8 ו-5/8 מהקצוות המתאימים של המטוס.

תגלית זו כונתה "יחס הזהב" של הציור על ידי אמנים של אותה תקופה.

אם נעבור לדוגמאות של "יחס הזהב" בציור, אי אפשר שלא להתמקד ביצירתו של ליאונרדו דה וינצ'י. אישיותו היא אחת מתעלומות ההיסטוריה. ליאונרדו דה וינצ'י עצמו אמר: "שלא יעיז מי שאינו מתמטיקאי לקרוא את העבודות שלי".

הוא זכה לתהילה כאמן שאין שני לו, מדען גדול, גאון שצפה המצאות רבות שלא מומשו עד המאה ה-20.

אין ספק שליאונרדו דה וינצ'י היה אמן גדול, זה כבר הוכר על ידי בני דורו, אבל אישיותו ופעילותו יישארו אפופים במסתורין, שכן הוא הותיר לצאצאיו לא הצגה קוהרנטית של רעיונותיו, אלא רק מספר רב של כתבי יד. סקיצות, הערות שאומרות "על כל דבר בעולם".

הוא כתב מימין לשמאל בכתב יד לא קריא וביד שמאל. זוהי הדוגמה המפורסמת ביותר הקיימת לכתיבת מראה.

דיוקן המונה ליזה (לה ג'וקונדה) משך את תשומת לבם של חוקרים במשך שנים רבות, שגילו שהרכב התמונה מבוסס על משולשים זהובים, שהם חלקים מחומש רגיל בצורת כוכב. ישנן גרסאות רבות על ההיסטוריה של דיוקן זה. הנה אחד מהם.

יום אחד, לאונרדו דה וינצ'י קיבל פקודה מהבנקאי פרנצ'סקו דל ג'וקונדו לצייר דיוקן של אישה צעירה, אשתו של הבנקאי, מונה ליזה. האישה לא הייתה יפה, אבל היא נמשכה על ידי הפשטות והטבעיות של הופעתה. לאונרדו הסכים לצייר את הדיוקן. הדוגמנית שלו הייתה עצובה ועצובה, אבל ליאונרדו סיפר לה אגדה, לאחר ששמעה אותה היא הפכה תוססת ומעניינת.

אַגָדָה. פעם גר עני אחד, היו לו ארבעה בנים: שלושה היו חכמים, ואחד מהם זה וזהו. ואז הגיע המוות עבור האב. לפני שאיבד את חייו, קרא אליו את ילדיו ואמר: "בני, בקרוב אמות. ברגע שאתה קובר אותי, נעל את הצריף ולך לקצה העולם כדי למצוא אושר לעצמך. תנו לכל אחד מכם ללמוד משהו כדי שתוכלו להאכיל את עצמכם". האב נפטר, והבנים התפזרו ברחבי העולם, והסכימו לחזור לטיהור חורשת מולדתם שלוש שנים מאוחר יותר. בא האח הראשון, שלמד לנגר, כרת עץ וחצב אותו, עשה ממנו אישה, התרחק מעט והמתין. האח השני חזר, ראה את אשת העץ ומכיוון שהיה חייט, הלביש אותה בדקה אחת: כבעל מלאכה מיומן תפר לה בגדי משי יפים. הבן השלישי עיטר את האישה בזהב ובאבנים יקרות – הרי הוא היה צורף. לבסוף הגיע האח הרביעי. הוא לא ידע לנגר או לתפור, הוא ידע רק להקשיב למה שאומרים האדמה, העצים, הדשא, החיות והציפורים, הכיר את תנועות גרמי השמים וגם ידע לשיר שירים נפלאים. הוא שר שיר שגרם לאחים שהתחבאו מאחורי השיחים לבכות. עם השיר הזה הוא החיה את האישה, היא חייכה ונאנחה. האחים מיהרו אליה וכל אחד מהם צעק אותו הדבר: "את חייבת להיות אשתי". אבל האישה השיבה: "אתה יצרת אותי - תהיה אבי. הלבשתם אותי, וקישטתם אותי - תהיו אחים שלי. ואתה, שנשמת בי את הנשמה שלי ולימדת אותי ליהנות מהחיים, אתה היחיד שאני צריך לשארית חיי".

לאחר שסיים את הסיפור, לאונרדו הביט במונה ליזה, פניה מוארות באור, עיניה נצצו. ואז, כאילו התעוררה מחלום, היא נאנחה, העבירה את ידה על פניה ובלי מילה הלכה למקומה, שילבה את ידיה ותפסה את תנוחתה הרגילה. אבל העבודה בוצעה - האמן העיר את הפסל האדיש; חיוך של אושר, נעלם אט אט מפניה, נשאר בזוויות פיה ורעד, נותן לפניה הבעה מדהימה, מסתורית ומעט ערמומית, כמו של אדם שלמד סוד ושומר אותו בקפידה אינו יכול. להכיל את הניצחון שלו. ליאונרדו עבד בשקט, מפחד להחמיץ את הרגע הזה, את קרן השמש הזו שהאירה את הדגם המשעמם שלו...

קשה לומר מה הבחין ביצירת מופת זו של אמנות, אבל כולם דיברו על הידע העמוק של ליאונרדו על מבנה גוף האדם, שבזכותו הוא הצליח ללכוד את החיוך המסתורי הזה לכאורה. הם דיברו על כושר ההבעה של חלקים בודדים בתמונה ועל הנוף, בן לוויה חסר תקדים לדיוקן. הם דיברו על הטבעיות של ההבעה, הפשטות של התנוחה, היופי של הידיים. האמן עשה משהו חסר תקדים: התמונה מתארת ​​אוויר, היא עוטפת את הדמות בערפל שקוף. למרות ההצלחה, לאונרדו היה קודר בעיני האמן. לא עזרו לו תזכורות על שטף פקודות.

יחס הזהב בציור של I.I. שישקין "חורשת האורנים". בציור המפורסם הזה של I.I. שישקין מראה בבירור את המניעים של יחס הזהב. עץ אורן מואר בשמש (עומד בחזית) מחלק את אורך התמונה לפי יחס הזהב. מימין לעץ האורן גבעה מוארת בשמש. זה מחלק את הצד הימני של התמונה אופקית לפי יחס הזהב. משמאל לאורן הראשי ישנם אורנים רבים - אם תרצו, תוכלו להמשיך בהצלחה לחלק את התמונה לפי יחס הזהב הלאה.

חורשת האורנים

הנוכחות בתמונה של אנכיים ואופקיים בהירים, המחלקת אותו ביחס ליחס הזהב, מעניקה לו אופי של איזון ורוגע בהתאם לכוונת האמן. כאשר כוונתו של האמן שונה, אם, נניח, הוא יוצר תמונה עם פעולה המתפתחת במהירות, ערכת קומפוזיציה גיאומטרית כזו (עם דומיננטיות של אנכיים ואופקיים) הופכת בלתי מתקבלת על הדעת.

V.I. סוריקוב. "בויארינה מורוזובה"

תפקידה ניתן לחלק האמצעי של התמונה. היא קשורה לנקודת העלייה הגבוהה ביותר ולנקודת הירידה הנמוכה ביותר של עלילת התמונה: עליית ידה של מורוזובה עם סימן הצלב הכפול כנקודה הגבוהה ביותר; יד שהושטה בחוסר אונים לאותה אצילית, אבל הפעם יד של זקנה - נודדת קבצנים, יד שמתחתיה, יחד עם התקווה האחרונה לישועה, קצה המזחלת חומק החוצה.

מה לגבי "הנקודה הגבוהה ביותר"? במבט ראשון יש לנו סתירה לכאורה: אחרי הכל, סעיף A 1 B 1, ברווח של 0.618... מהקצה הימני של התמונה, אינו עובר דרך היד, אפילו לא דרך הראש או העין של האצילה, אבל מסתיים איפשהו מול פיה של האצילה.

יחס הזהב באמת חותך לדבר הכי חשוב כאן. בו, ודווקא בו, כוחה הגדול ביותר של מורוזובה.

אין ציור פיוטי יותר מזה של בוטיצ'לי סנדרו, ולסנדרו הגדול אין ציור מפורסם יותר מ"ונוס" שלו. עבור בוטיצ'לי, ונוס שלו היא התגלמות הרעיון של הרמוניה אוניברסלית של "חתך הזהב" השולט בטבע. הניתוח הפרופורציונלי של נוגה משכנע אותנו בכך.

וֵנוּס

רפאל "בית הספר של אתונה". רפאל לא היה מתמטיקאי, אבל, כמו הרבה אמנים של אותה תקופה, היה לו ידע רב בגיאומטריה. בפרסקו המפורסם "בית הספר לאתונה", שבו במקדש המדע יש חברה של הפילוסופים הגדולים של העת העתיקה, תשומת הלב שלנו מופנית לקבוצת אוקלידס, המתמטיקאי היווני הקדום הגדול ביותר, המנתח ציור מורכב.

גם השילוב הגאוני של שני משולשים בנוי בהתאם לפרופורציה של יחס הזהב: ניתן לרשום אותו במלבן ביחס רוחב-גובה של 5/8. ציור זה קל להפתיע להכנס לחלק העליון של הארכיטקטורה. הפינה העליונה של המשולש מונחת על אבן היסוד של הקשת באזור הקרוב לצופה, הפינה התחתונה נוגעת בנקודת ההיעלמות של הפרספקטיבות, וחתך הצד מציין את פרופורציות הפער המרחבי בין שני חלקי הקשתות. .

ספירלת זהב בציורו של רפאל "טבח התמימים". בניגוד ליחס הזהב, תחושת הדינמיקה וההתרגשות באה לידי ביטוי, אולי, בצורה החזקה ביותר בדמות גיאומטרית פשוטה אחרת - ספירלה. הקומפוזיציה מרובת הדמויות, שבוצעה בשנים 1509 - 1510 על ידי רפאל, כאשר הצייר המפורסם יצר את ציורי הקיר שלו בוותיקן, נבדלת בדיוק בדינמיות ובדרמה של העלילה. רפאל מעולם לא הביא את תוכניתו להשלמתו, אך הסקיצה שלו נחרטה על ידי הגרפיקאי האיטלקי האלמוני מרקנטיניו ריימונדי, אשר, על סמך סקיצה זו, יצר את התחריט "טבח התמימים".

טבח בחפים מפשע

אם בסקיצת ההכנה של רפאל נשרטט קווים מנטלית מהמרכז הסמנטי של הקומפוזיציה - הנקודה שבה אצבעותיו של הלוחם נסגרו סביב קרסול הילד, לאורך דמויות הילד, האישה המחזיקה אותו קרוב, הלוחם עם גב מוגבה. חרב, ולאחר מכן לאורך הדמויות של אותה קבוצה בצד ימין שרטוט (בדמות הקווים הללו מצוירים באדום), ולאחר מכן מחברים את החלקים הללו עם קו מנוקד מעוקל, ואז בדיוק רב מאוד מתקבלת ספירלת זהב. ניתן לבדוק זאת על ידי מדידת היחס בין אורכי הקטעים הנחתכים באמצעות ספירלה על קווים ישרים העוברים בתחילת העקומה.

יחס זהב ותפיסת תמונה

היכולת של המנתח החזותי האנושי לזהות אובייקטים שנבנו באמצעות אלגוריתם יחס הזהב כיפים, מושכים והרמוניים ידועה כבר זמן רב. יחס הזהב נותן תחושה של השלם המושלם ביותר. הפורמט של ספרים רבים עוקב אחר יחס הזהב. הוא נבחר עבור חלונות, ציורים ומעטפות, בולים, כרטיסי ביקור. אדם אולי לא יודע כלום על המספר F, אבל במבנה של אובייקטים, כמו גם ברצף האירועים, הוא מוצא באופן לא מודע אלמנטים של פרופורציית הזהב.

נערכו מחקרים שבהם התבקשו הנבדקים לבחור ולהעתיק מלבנים בפרופורציות שונות. היו שלושה מלבנים לבחירה: ריבוע (40:40 מ"מ), מלבן "יחס זהב" ביחס גובה-רוחב של 1:1.62 (31:50 מ"מ) ומלבן בעל פרופורציות מוארכות 1:2.31 (26:60) מ"מ).

בבחירת מלבנים במצב רגיל, ב-1/2 מהמקרים ניתנת עדיפות לריבוע. ההמיספרה הימנית מעדיפה את יחס הזהב ודוחה את המלבן המוארך. להיפך, ההמיספרה השמאלית נמשכת לכיוון פרופורציות מוארכות ודוחה את יחס הזהב.

בעת העתקת מלבנים אלו, נצפו הדברים הבאים: כאשר ההמיספרה הימנית הייתה פעילה, הפרופורציות בעותקים נשמרו בצורה המדויקת ביותר; כאשר ההמיספרה השמאלית הייתה פעילה, הפרופורציות של כל המלבנים היו מעוותות, המלבנים היו מוארכים (הריבוע צויר כמלבן עם יחס רוחב-גובה של 1:1.2; הפרופורציות של המלבן המוארך גדלו בחדות והגיעו ל-1:2.8) . הפרופורציות של מלבן "הזהוב" היו מעוותות ביותר; הפרופורציות שלו בהעתקים הפכו לפרופורציות של מלבן 1:2.08.

כאשר מציירים את התמונות שלך, פרופורציות קרובות ליחס הזהב ומוארכות גוברים. בממוצע, הפרופורציות הן 1:2, כאשר ההמיספרה הימנית נותנת עדיפות לפרופורציות של חתך הזהב, ההמיספרה השמאלית מתרחקת מהפרופורציות של חתך הזהב ומשרטטת את התבנית.

כעת צייר כמה מלבנים, מדדו את הצדדים שלהם ומצאו את יחס הרוחב-גובה. איזה חצי כדור דומיננטי עבורך?

יחס זהב בצילום

דוגמה לשימוש ביחס הזהב בצילום היא הצבת רכיבים מרכזיים של הפריים בנקודות הממוקמות 3/8 ו-5/8 מקצוות הפריים. ניתן להמחיש זאת בדוגמה הבאה: צילום של חתול, שנמצא במקום שרירותי בפריים.

עכשיו בואו נחלק את המסגרת באופן מותנה למקטעים, ביחס ל-1.62 אורכים הכוללים מכל צד של המסגרת. בצומת המקטעים יהיו "המרכזים החזותיים" העיקריים שבהם כדאי למקם את מרכיבי המפתח הדרושים של התמונה. בואו נעביר את החתול שלנו לנקודות של "מרכזי הראייה".

יחס זהב וחלל

מתולדות האסטרונומיה ידוע כי א. טיטיוס, אסטרונום גרמני מהמאה ה-18, מצא בעזרת סדרה זו תבנית וסדר במרחקים בין כוכבי הלכת של מערכת השמש.

עם זאת, מקרה אחד שנראה היה סותר את החוק: לא היה כוכב לכת בין מאדים לצדק. תצפית ממוקדת בחלק זה של השמים הובילה לגילוי חגורת האסטרואידים. זה קרה לאחר מותו של טיציוס בתחילת המאה ה-19. סדרת פיבונאצ'י נמצאת בשימוש נרחב: היא משמשת לייצוג האדריכלות של יצורים חיים, מבנים מעשה ידי אדם ומבנה הגלקסיות. עובדות אלו הן עדות לעצמאותה של סדרת המספרים מתנאי ביטויה, שהוא אחד מסימני האוניברסליות שלה.

שתי ספירלות הזהב של הגלקסיה תואמות את מגן דוד.

שימו לב לכוכבים היוצאים מהגלקסיה בספירלה לבנה. בדיוק 180 0 מאחת הספירלות מתגלה עוד ספירלה מתגלגלת... במשך זמן רב, אסטרונומים פשוט האמינו שכל מה שיש הוא מה שאנחנו רואים; אם משהו גלוי, אז הוא קיים. או שהם לא היו מודעים לחלוטין לחלק הבלתי נראה של המציאות, או שהם לא ראו בו חשיבות. אבל הצד הבלתי נראה של המציאות שלנו הוא למעשה הרבה יותר גדול מהצד הגלוי והוא כנראה חשוב יותר... במילים אחרות, החלק הגלוי של המציאות הוא הרבה פחות מאחוז אחד מהשלם - כמעט כלום. למעשה, הבית האמיתי שלנו הוא היקום הבלתי נראה...

ביקום, כל הגלקסיות המוכרות לאנושות וכל הגופים בהן קיימות בצורה של ספירלה, התואמת את הנוסחה של יחס הזהב. יחס הזהב נמצא בספירלה של הגלקסיה שלנו

מַסְקָנָה

הטבע, המובן ככל העולם במגוון צורותיו, מורכב, כביכול, משני חלקים: טבע חי ודומם. יצירות של טבע דומם מאופיינות ביציבות גבוהה ושונות נמוכה, אם לשפוט על קנה המידה של חיי האדם. אדם נולד, חי, מזדקן, מת, אבל הרי הגרניט נשארים אותו הדבר וכוכבי הלכת מסתובבים סביב השמש באותו אופן כמו בתקופת פיתגורס.

עולם הטבע החי נראה לנו שונה לחלוטין – נייד, משתנה ומגוון באופן מפתיע. החיים מראים לנו קרנבל פנטסטי של גיוון וייחודיות של שילובים יצירתיים! עולם הטבע הדומם הוא קודם כל עולם של סימטריה, המעניק ליצירותיו יציבות ויופי. עולם הטבע הוא, קודם כל, עולם של הרמוניה, שבו פועל "חוק יחס הזהב".

בעולם המודרני, למדע יש חשיבות מיוחדת בשל ההשפעה הגוברת של בני האדם על הטבע. משימות חשובות בשלב הנוכחי הן חיפוש אחר דרכים חדשות לדו קיום בין האדם לטבע, חקר בעיות פילוסופיות, חברתיות, כלכליות, חינוכיות ואחרות העומדות בפני החברה.

עבודה זו בחנה את השפעת המאפיינים של "חתך הזהב" על הטבע החי והלא חי, על מהלך ההתפתחות ההיסטורי של ההיסטוריה של האנושות והכוכב כולו. בניתוח כל האמור לעיל, אתה יכול שוב להתפעל מגודלו של תהליך הבנת העולם, מגילוי החוקים החדשים שלו ולהסיק: עקרון חתך הזהב הוא הביטוי הגבוה ביותר לשלמות המבנית והתפקודית של השלם וחלקיו באמנות, מדע, טכנולוגיה וטבע. ניתן לצפות כי חוקי ההתפתחות של מערכות טבעיות שונות, חוקי הצמיחה, אינם מגוונים במיוחד וניתן להתחקות אחריהם במגוון רחב של תצורות. כאן באה לידי ביטוי אחדות הטבע. הרעיון של אחדות כזו, המבוסס על ביטוי של אותם דפוסים בתופעות טבע הטרוגניות, שמר על הרלוונטיות שלו מפיתגורס ועד היום.

ההרמוניה הזו בולטת בקנה המידה שלה...

שלום חברים!

שמעת משהו על הרמוניה אלוהית או יחס הזהב? חשבתם פעם למה משהו נראה לנו אידיאלי ויפה, אבל משהו דוחה אותנו?

אם לא, אז הגעתם בהצלחה למאמר הזה, כי בו נדון ביחס הזהב, נגלה מה זה, איך זה נראה בטבע ובבני אדם. בואו נדבר על העקרונות שלה, נגלה מהי סדרת פיבונאצ'י ועוד הרבה יותר, כולל הרעיון של מלבן הזהב וספירלת הזהב.

כן, יש במאמר הרבה תמונות, נוסחאות, הרי יחס הזהב הוא גם מתמטיקה. אבל הכל מתואר בשפה פשוטה למדי, ברור. ובסוף הכתבה תגלו למה כולם כל כך אוהבים חתולים =)

מהו יחס הזהב?

בפשטות, יחס הזהב הוא כלל מסוים של פרופורציה שיוצר הרמוניה?. כלומר, אם אנחנו לא מפרים את כללי הפרופורציות האלה, אז אנחנו מקבלים הרכב הרמוני מאוד.

ההגדרה המקיפה ביותר של יחס הזהב קובעת שהחלק הקטן יותר קשור לגדול יותר, כפי שהחלק הגדול יותר קשור למכלול.

אבל חוץ מזה, יחס הזהב הוא מתמטיקה: יש לו נוסחה ספציפית ומספר מסוים. מתמטיקאים רבים, באופן כללי, רואים בה את הנוסחה של ההרמוניה האלוהית, ומכנים אותה "סימטריה א-סימטרית".

יחס הזהב הגיע לבני דורנו עוד מימי יוון העתיקה, אולם ישנה דעה כי היוונים עצמם כבר ריגלו את יחס הזהב בקרב המצרים. כי יצירות אמנות רבות של מצרים העתיקה בנויות בבירור על פי הקנונים של פרופורציה זו.

מאמינים שפיתגורס היה הראשון שהציג את הרעיון של יחס הזהב. יצירותיו של אוקלידס שרדו עד היום (הוא השתמש ביחס הזהב לבניית מחומשים רגילים, ולכן מחומש כזה נקרא "זהב"), ומספרו של יחס הזהב נקרא על שם האדריכל היווני הקדום פידיאס. כלומר, זהו המספר שלנו "פי" (מסומן באות היוונית φ), והוא שווה ל-1.6180339887498948482... מטבע הדברים, ערך זה מעוגל: φ = 1.618 או φ = 1.62, ובמונחי אחוזים יחס הזהב נראה כמו 62% ו-38%.

מה ייחודי בפרופורציה הזו (ותאמינו לי שהיא קיימת)? תחילה ננסה להבין זאת באמצעות דוגמה של קטע. אז, אנחנו לוקחים קטע ומחלקים אותו לחלקים לא שווים באופן שהחלק הקטן שלו מתייחס לגדול יותר, כפי שהחלק הגדול יותר מתייחס לשלם. אני מבין, עדיין לא מאוד ברור מה זה מה, אני אנסה להמחיש את זה בצורה ברורה יותר באמצעות הדוגמה של קטעים:

אז, אנחנו לוקחים קטע ומחלקים אותו לשניים אחרים, כך שהקטע a הקטן יותר מתייחס לקטע b הגדול יותר, בדיוק כמו שהקטע b מתייחס לכלל, כלומר לכל הישר (a+b). מבחינה מתמטית זה נראה כך:

כלל זה פועל ללא הגבלה, אתה יכול לחלק קטעים כל עוד אתה רוצה. ותראה כמה זה פשוט. העיקר להבין פעם אחת וזהו.

אבל עכשיו בואו נסתכל על דוגמה מורכבת יותר, שנתקלת לעתים קרובות מאוד, שכן יחס הזהב מיוצג גם בצורה של מלבן זהב (יחס הרוחב-גובה שלו הוא φ = 1.62). זהו מלבן מאוד מעניין: אם "נחתוך" ממנו ריבוע, נקבל שוב מלבן זהוב. וכך הלאה בלי סוף. לִרְאוֹת:

אבל מתמטיקה לא הייתה מתמטיקה אם לא היו לה נוסחאות. אז חברים, עכשיו זה "יכאב" קצת. החבאתי את הפתרון ליחס הזהב מתחת לספוילר יש הרבה נוסחאות, אבל אני לא רוצה להשאיר את הכתבה בלעדיהם.

סדרת פיבונאצ'י ויחס הזהב

אנו ממשיכים ליצור ולהתבונן בקסם של המתמטיקה וביחס הזהב. בימי הביניים היה חבר כזה - פיבונאצ'י (או פיבונאצ'י, מאייתים את זה אחרת בכל מקום). הוא אהב מתמטיקה ובעיות, הייתה לו גם בעיה מעניינת עם רבייה של ארנבות =) אבל זה לא העניין. הוא גילה רצף מספרים, המספרים שבו נקראים "מספרי פיבונאצ'י".

הרצף עצמו נראה כך:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... וכן הלאה עד אינסוף.

במילים אחרות, רצף פיבונאצ'י הוא רצף של מספרים שבו כל מספר עוקב שווה לסכום של השניים הקודמים.

מה הקשר לזה של יחס הזהב? אתה תראה עכשיו.

ספירלת פיבונאצ'י

כדי לראות ולהרגיש את כל הקשר בין סדרת המספרים של פיבונאצ'י ליחס הזהב, צריך להסתכל שוב על הנוסחאות.

במילים אחרות, מהמונח ה-9 של רצף פיבונאצ'י אנו מתחילים לקבל את ערכי יחס הזהב. ואם נדמיין את כל התמונה הזו, נראה כיצד רצף פיבונאצ'י יוצר מלבנים קרובים יותר ויותר למלבן הזהב. זה החיבור.

עכשיו בואו נדבר על ספירלת פיבונאצ'י, היא נקראת גם "ספירלת הזהב".

ספירלת הזהב היא ספירלה לוגריתמית שמקדם הגדילה שלה שווה ל-φ4, כאשר φ הוא יחס הזהב.

באופן כללי, מנקודת מבט מתמטית, יחס הזהב הוא פרופורציה אידיאלית. אבל זו רק ההתחלה של הניסים שלה. כמעט כל העולם כפוף לעקרונות יחס הזהב הטבע עצמו יצר את הפרופורציה הזו. אפילו אזוטריקים רואים בו כוח מספרי. אבל בהחלט לא נדבר על זה במאמר זה, אז כדי לא לפספס שום דבר, אתה יכול להירשם לעדכוני האתר.

יחס זהב בטבע, באדם, באמנות

לפני שנתחיל, ברצוני להבהיר מספר אי דיוקים. ראשית, עצם ההגדרה של יחס הזהב בהקשר זה אינה נכונה לחלוטין. העובדה היא שעצם המושג "חתך" הוא מונח גיאומטרי, המציין תמיד מישור, אך לא רצף של מספרי פיבונאצ'י.

ושנית, סדרת המספרים והיחס בין אחד לשני, כמובן, הפכו למעין שבלונה שאפשר ליישם על כל מה שנראה חשוד, ואפשר לשמוח מאוד כשיש צירופי מקרים, אבל עדיין , השכל הישר לא צריך ללכת לאיבוד.

עם זאת, "הכל היה מעורבב בממלכתנו" ואחד הפך לשם נרדף לשני. אז, באופן כללי, המשמעות לא אבדה מזה. עכשיו בואו ניגש לעניינים.

תתפלאו, אבל את יחס הזהב, או יותר נכון את הפרופורציות הקרובות אליו ככל האפשר, אפשר לראות כמעט בכל מקום, אפילו במראה. לא מאמין לי? נתחיל בזה.

אתה יודע, כשלמדתי לצייר, הסבירו לנו כמה קל יותר לבנות את הפנים של האדם, הגוף שלו וכו'. הכל חייב להיות מחושב ביחס למשהו אחר.

הכל, לגמרי הכל פרופורציונלי: עצמות, האצבעות שלנו, כפות הידיים, מרחקים על הפנים, מרחק הזרועות המושטות ביחס לגוף וכו'. אבל גם זה לא הכל, המבנה הפנימי של הגוף שלנו, גם זה, שווה או כמעט שווה לנוסחת חתך הזהב. להלן המרחקים והפרופורציות:

מכתפיים לכתר ועד גודל ראש = 1:1.618

מהטבור אל הכתר אל הקטע מהכתפיים אל הכתר = 1:1.618

מהטבור לברכיים ומהברכיים לרגליים = 1:1.618

מהסנטר לנקודה הקיצונית של השפה העליונה וממנה לאף = 1:1.618

זה לא מדהים!? הרמוניה בצורתה הטהורה, הן מבפנים והן מבחוץ. ובגלל זה, ברמה תת-מודעת כלשהי, יש אנשים שלא נראים לנו יפים, גם אם יש להם גוף חזק וגוון, עור קטיפתי, שיער יפה, עיניים וכו' וכל השאר. אבל, בכל זאת, ההפרה הקלה ביותר של הפרופורציות של הגוף, והמראה כבר מעט "כואב בעיניים".

בקיצור, ככל שאדם נראה לנו יפה יותר, כך הפרופורציות שלו קרובות יותר לאידיאליות. ואת זה, אגב, אפשר לייחס לא רק לגוף האדם.

יחס הזהב בטבע ובתופעות שלו

דוגמה קלאסית ליחס הזהב בטבע היא קונכיית הרכיכה Nautilus pompilius והאמוניט. אבל זה לא הכל, יש עוד הרבה דוגמאות:

בתלתלי האוזן האנושית נוכל לראות ספירלת זהב;

זהה (או קרוב אליו) בספירלות שלאורכן מתפתלות גלקסיות;

ובמולקולת ה-DNA;

לפי סדרת פיבונאצ'י, מרכז החמנייה מסודר, קונוסים גדלים, אמצע פרחים, אננס ועוד הרבה פירות.

חברים, יש כל כך הרבה דוגמאות שאני פשוט אשאיר את הסרטון כאן (זה ממש למטה) כדי לא להעמיס את המאמר בטקסט. כי אם תחפור בנושא הזה, תוכל להתעמק בג'ונגל כזה: אפילו היוונים הקדמונים הוכיחו שהיקום ובכלל כל החלל מתוכננים על פי עקרון יחס הזהב.

תתפלאו, אבל את הכללים האלה אפשר למצוא אפילו בסאונד. לִרְאוֹת:

נקודת הקול הגבוהה ביותר שגורמת לכאב ואי נוחות באוזניים שלנו היא 130 דציבלים.

נחלק את הפרופורציה 130 במספר יחס הזהב φ = 1.62 ונקבל 80 דציבלים - קול צרחה אנושית.

אנו ממשיכים לחלק באופן פרופורציונלי ומקבלים, נניח, את עוצמת הקול הרגילה של הדיבור האנושי: 80 / φ = 50 דציבלים.

ובכן, הצליל האחרון שאנו מקבלים בזכות הנוסחה הוא צליל לחישה נעים = 2.618.

באמצעות עיקרון זה, ניתן לקבוע את המספר האופטימלי-נוח, המינימלי והמקסימלי של טמפרטורה, לחץ ולחות. לא בדקתי את זה, ואני לא יודע עד כמה התיאוריה הזו נכונה, אבל אתה חייב להסכים, זה נשמע מרשים.

אפשר לקרוא את היופי וההרמוניה הגבוהים ביותר בכל דבר חי ולא חי.

העיקר לא להיסחף עם זה, כי אם אנחנו רוצים לראות משהו במשהו, אנחנו נראה אותו, גם אם הוא לא שם. למשל, שמתי לב לעיצוב של ה-PS4 וראיתי שם את יחס הזהב =) עם זאת, הקונסולה הזו כל כך מגניבה שלא אתפלא אם המעצב באמת עשה שם משהו חכם.

יחס הזהב באמנות

גם זה נושא גדול ונרחב מאוד שכדאי לשקול בנפרד. כאן אציין רק כמה נקודות בסיסיות. הדבר המדהים ביותר הוא שיצירות אמנות רבות ויצירות מופת אדריכליות של העת העתיקה (ולא רק) נעשו על פי עקרונות יחס הזהב.

פירמידות מצריות ומאיה, נוטרדאם דה פריז, הפרתנון היווני וכן הלאה.

ביצירות המוזיקליות של מוצרט, שופן, שוברט, באך ואחרים.

בציור (זה נראה בבירור): כל הציורים המפורסמים ביותר של אמנים מפורסמים נעשים תוך התחשבות בכללי יחס הזהב.

ניתן למצוא עקרונות אלה בשיריו של פושקין ובחזה של נפרטיטי היפה.

כבר עכשיו משתמשים בכללי יחס הזהב, למשל, בצילום. ובכן, וכמובן, בכל האמנויות האחרות, כולל צילום ועיצוב.

חתולי פיבונאצ'י הזהובים

ולבסוף, על חתולים! האם אי פעם תהיתם למה כולם כל כך אוהבים חתולים? הם השתלטו על האינטרנט! חתולים יש בכל מקום וזה נפלא =)

וכל העניין הוא שחתולים הם מושלמים! לא מאמין לי? עכשיו אני אוכיח לך את זה מתמטית!

אתה רואה? הסוד נחשף! חתולים הם אידיאליים מנקודת המבט של המתמטיקה, הטבע והיקום =)

*אני צוחק, כמובן. לא, חתולים הם באמת אידיאליים) אבל אף אחד לא מדד אותם מתמטית, כנראה.

זה בעצם זה, חברים! נתראה במאמרים הבאים. בהצלחה לך!

נ.ב.תמונות שצולמו מ-medium.com.

מה משותף לפירמידות המצריות, למונה ליזה של ליאונרדו דה וינצ'י ולסמלים של טוויטר ופפסי?

בואו לא נעכב את התשובה - כולם נוצרו באמצעות כלל יחס הזהב. יחס הזהב הוא היחס של שתי כמויות a ו-b, שאינן שוות זו לזו. פרופורציה זו נמצאת לעתים קרובות בטבע, וכלל יחס הזהב משמש באופן פעיל גם באמנויות ועיצוב - קומפוזיציות שנוצרו באמצעות "הפרופורציה האלוהית" מאוזנות היטב וכמו שאומרים נעימות לעין. אבל מהו בעצם יחס הזהב והאם ניתן להשתמש בו בדיסציפלינות מודרניות, למשל, בעיצוב אתרים? בואו נבין את זה.

קצת מתמטיקה

נניח שיש לנו קטע מסוים AB, מחולק לשניים בנקודה C. היחס בין אורכי הקטעים הוא: AC/BC = BC/AB. כלומר, קטע מחולק לחלקים לא שווים באופן שהחלק הגדול יותר של הקטע מהווה את אותו חלק במקטע השלם, הבלתי מחולק, כפי שהמקטע הקטן יותר מרכיב בחלק הגדול יותר.

החלוקה הלא שוויונית הזו נקראת יחס הזהב. יחס הזהב מסומן על ידי הסמל φ. הערך של φ הוא 1.618 או 1.62. באופן כללי, בפשטות רבה, מדובר בחלוקה של פלח או כל ערך אחר ביחס של 62% ו-38%.

"פרופורציה אלוהית" ידועה לאנשים מאז ימי קדם כלל זה שימש בבניית הפירמידות המצריות והפרתנון ניתן למצוא בציור של הקפלה הסיסטינית ובציורים של ואן גוך. יחס הזהב נמצא בשימוש נרחב גם היום – דוגמאות שנמצאות כל הזמן לנגד עינינו הן הלוגו של טוויטר ופפסי.

המוח האנושי מעוצב בצורה כזו שהוא מחשיב את אותן תמונות או אובייקטים יפים שבהם ניתן לזהות שיעור לא שווה של חלקים. כשאנחנו אומרים על מישהו ש"הוא פרופורציונלי טוב", אנחנו מתכוונים ללא ידיעתו ליחס הזהב.

ניתן ליישם את יחס הזהב על צורות גיאומטריות שונות. אם ניקח ריבוע ונכפיל צד אחד ב-1.618, נקבל מלבן.

כעת, אם נניח ריבוע על המלבן הזה, נוכל לראות את קו יחס הזהב:

אם נמשיך להשתמש בפרופורציה הזו ונשבור את המלבן לחלקים קטנים יותר, נקבל את התמונה הזו:

עדיין לא ברור לאן יוביל אותנו הפיצול הזה של דמויות גיאומטריות. עוד קצת והכל יתבהר. אם נצייר קו חלק השווה לרבע מעגל בכל אחד מהריבועים של התרשים, נקבל ספירלת זהב.

זוהי ספירלה יוצאת דופן. היא נקראת לפעמים גם ספירלת פיבונאצ'י, לכבוד המדען שחקר את הרצף שבו כל מספר מוקדם לסכום של שני הקודמים. העניין הוא שהקשר המתמטי הזה, שאנו תופסים חזותית כספירלה, נמצא ממש בכל מקום - חמניות, קונכיות ים, גלקסיות ספירליות וטייפונים - יש ספירלת זהב בכל מקום.

כיצד ניתן להשתמש ביחס הזהב בעיצוב?

אז, החלק התיאורטי הסתיים, בואו נעבור לתרגול. האם באמת אפשר להשתמש ביחס הזהב בעיצוב? כן, אתה יכול. למשל בעיצוב אתרים. אם ניקח בחשבון כלל זה, אתה יכול לקבל את היחס הנכון בין מרכיבי ההרכב של הפריסה. כתוצאה מכך, כל חלקי העיצוב, עד הקטנים ביותר, ישולבו בהרמוניה זה עם זה.

אם ניקח פריסה טיפוסית ברוחב של 960 פיקסלים ונחיל עליה את יחס הזהב, נקבל את התמונה הזו. היחס בין החלקים הוא 1:1.618 הידוע כבר. התוצאה היא פריסה של שני עמודים, עם שילוב הרמוני של שני אלמנטים.

אתרים עם שתי עמודות נפוצים מאוד וזה רחוק מלהיות מקרי. הנה, למשל, אתר נשיונל ג'יאוגרפיק. שני עמודים, כלל יחס הזהב. עיצוב טוב מסודר, מאוזן ומכבד את דרישות ההיררכיה החזותית.

דוגמא נוספת. סטודיו העיצוב Moodley פיתח זהות תאגידית עבור פסטיבל אמנויות הבמה ברגנץ. כאשר המעצבים עבדו על כרזת האירוע, הם השתמשו בבירור בכלל יחס הזהב על מנת לקבוע נכון את הגודל והמיקום של כל האלמנטים וכתוצאה מכך, להשיג את הקומפוזיציה האידיאלית.

Lemon Graphic, שיצרה את הזהות החזותית עבור Terkaya Wealth Management, השתמשה גם ביחס 1:1.618 ובספירלת זהב. שלושת האלמנטים של עיצוב כרטיס הביקור מתאימים בצורה מושלמת לתכנית, וכתוצאה מכך כל החלקים מתאחדים היטב

הנה עוד שימוש מעניין בספירלת הזהב. לפנינו שוב אתר נשיונל ג'יאוגרפיק. אם מסתכלים יותר על העיצוב, אפשר לראות שיש עוד לוגו של NG בעמוד, רק אחד קטן יותר, שנמצא קרוב יותר למרכז הספירלה.

כמובן שזה לא מקרי – המעצבים ידעו היטב מה הם עושים. זהו מקום מצוין לשכפל לוגו, שכן העין שלנו נעה באופן טבעי לכיוון מרכז הקומפוזיציה בעת צפייה באתר. כך עובד התת מודע ויש לקחת זאת בחשבון כשעובדים על עיצוב.

עיגולי זהב

ניתן להחיל "פרופורציה אלוהית" על כל צורות גיאומטריות, כולל עיגולים. אם נרשום עיגול בריבועים, שהיחס ביניהם הוא 1:1.618, אז נקבל עיגולים זהובים.

הנה הלוגו של פפסי. הכל ברור ללא מילים. גם היחס וגם האופן שבו הושגה הקשת החלקה של אלמנט הלוגו הלבן.

עם הלוגו של טוויטר העניינים קצת יותר מסובכים, אבל כאן אפשר לראות שהעיצוב שלו מבוסס על שימוש בעיגולי זהב. הוא לא נוהג לפי כלל "הפרופורציה האלוהית", אבל לרוב כל המרכיבים שלו מתאימים לתכנית.

מַסְקָנָה

כפי שניתן לראות, למרות שכלל יחס הזהב ידוע מאז ומעולם, הוא כלל לא מיושן. לכן, זה יכול לשמש בעיצוב. אין צורך לנסות כמיטב יכולתך להשתלב בתוכנית - עיצוב הוא דיסציפלינה לא מדויקת. אבל אם אתה צריך להשיג שילוב הרמוני של אלמנטים, אז זה לא יזיק לנסות ליישם את העקרונות של יחס הזהב.