Progresie geometrică a1. Progresie geometrică. Ghid cuprinzător cu exemple (2019)

Matematica este ceea ceoamenii controlează natura și pe ei înșiși.

Matematicianul sovietic, academicianul A.N. Kolmogorov

Progresie geometrică.

Alături de problemele privind progresiile aritmetice, problemele legate de conceptul de progresie geometrică sunt comune și la examenele de admitere la matematică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să cunoașteți proprietățile progresiilor geometrice și să aveți bune abilități în utilizarea lor.

Acest articol este dedicat prezentării proprietăților de bază ale progresiei geometrice. Aici sunt oferite și exemple de rezolvare a problemelor tipice., împrumutat din sarcinile examenelor de admitere la matematică.

Să notăm mai întâi proprietățile de bază ale progresiei geometrice și să ne amintim cele mai importante formule și enunțuri, legate de acest concept.

Definiție. O secvență de numere se numește progresie geometrică dacă fiecare număr, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Numărul se numește numitorul unei progresii geometrice.

Pentru progresie geometricăformulele sunt valabile

, (1)

Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii geometrice, iar formula (2) reprezintă proprietatea principală a unei progresii geometrice: fiecare termen al progresiei coincide cu media geometrică a termenilor săi învecinați și .

Notă, că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia în cauză se numește „geometrică”.

Formulele (1) și (2) de mai sus sunt generalizate după cum urmează:

, (3)

Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii geometricese aplică formula

Dacă notăm , atunci

Unde . Deoarece , formula (6) este o generalizare a formulei (5).

În cazul când și progresie geometricăeste în scădere infinită. Pentru a calcula sumadintre toți termenii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, se folosește formula

. (7)

De exemplu , folosind formula (7) putem arăta, Ce

Unde . Aceste egalități se obțin din formula (7) cu condiția ca , (prima egalitate) și , (a doua egalitate).

Teorema. Daca atunci

Dovada. Daca atunci

Teorema a fost demonstrată.

Să trecem la considerarea exemplelor de rezolvare a problemelor pe tema „Progresiune geometrică”.

Exemplul 1. Având în vedere: , și . Găsi .

Soluţie. Dacă aplicăm formula (5), atunci

Răspuns: .

Exemplul 2. Lăsați-l să fie. Găsi .

Soluţie. Deoarece și , folosim formulele (5), (6) și obținem un sistem de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului (9) este împărțită la prima, apoi sau . De aici rezultă că . Să luăm în considerare două cazuri.

1. Dacă, atunci din prima ecuație a sistemului (9) avem.

2. Dacă , atunci .

Exemplul 3. Să , și . Găsi .

Soluţie. Din formula (2) rezultă că sau . De când , atunci sau .

După condiție. Cu toate acestea, prin urmare. Din moment ce și atunci aici avem un sistem de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului este împărțită la prima, atunci sau .

Deoarece, ecuația are o rădăcină adecvată unică. În acest caz, rezultă din prima ecuație a sistemului.

Ținând cont de formula (7), obținem.

Răspuns: .

Exemplul 4. Având în vedere: și . Găsi .

Soluţie. De atunci.

De când , atunci sau

Conform formulei (2) avem . În acest sens, din egalitatea (10) obținem sau .

Totuși, prin condiție, așadar.

Exemplul 5. Se știe că . Găsi .

Soluţie. Conform teoremei, avem două egalități

De când , atunci sau . Pentru că atunci .

Răspuns: .

Exemplul 6. Având în vedere: și . Găsi .

Soluţie.Ținând cont de formula (5), obținem

De atunci. De când , și , atunci .

Exemplul 7. Lăsați-l să fie. Găsi .

Soluţie. După formula (1) putem scrie

Prin urmare, avem sau . Se știe că și , prin urmare și .

Răspuns: .

Exemplul 8. Aflați numitorul unei progresii geometrice descrescătoare infinite dacă

Și .

Soluţie. Din formula (7) rezultăȘi . De aici și din condițiile problemei obținem un sistem de ecuații

Dacă prima ecuație a sistemului este la pătrat, și apoi împărțiți ecuația rezultată la a doua ecuație, apoi primim

Sau .

Răspuns: .

Exemplul 9. Găsiți toate valorile pentru care șirul , , este o progresie geometrică.

Soluţie. Să , și . Conform formulei (2), care definește proprietatea principală a unei progresii geometrice, putem scrie sau .

De aici obținem ecuația pătratică, ale căror rădăcini suntȘi .

Să verificăm: dacă, apoi , și ; dacă , atunci , și .

În primul caz avemși , iar în al doilea – și .

Răspuns: , .

Exemplul 10.Rezolvați ecuația

, (11)

unde si .

Soluţie. Partea stângă a ecuației (11) este suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite, în care și , sub rezerva: și .

Din formula (7) rezultă, Ce . În acest sens, ecuația (11) ia forma sau . Rădăcină potrivită ecuația pătratică este

Răspuns: .

Exemplul 11. P succesiune de numere pozitiveformează o progresie aritmetică, A – progresie geometrică, ce legatura are cu . Găsi .

Soluţie. Deoarece succesiune aritmetică, Acea (proprietatea principală a progresiei aritmetice). Deoarece, apoi sau . Asta implică , că progresia geometrică are forma. Conform formulei (2), apoi scriem asta .

De când și , atunci . În acest caz, expresia ia forma sau . După condiție, deci din Eq.obținem o soluție unică la problema luată în considerare, adică .

Răspuns: .

Exemplul 12. Calculați Suma

. (12)

Soluţie. Să înmulțim ambele părți ale egalității (12) cu 5 și să obținem

Dacă scădem (12) din expresia rezultată, Acea

sau .

Pentru a calcula, înlocuim valorile în formula (7) și obținem . De atunci.

Răspuns: .

Exemplele de rezolvare a problemelor prezentate aici vor fi utile candidaților atunci când se pregătesc pentru examenele de admitere. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, legate de progresia geometrică, Puteți folosi tutoriale din lista de literatură recomandată.

1. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir și Educația, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Un curs complet de matematică elementară în probleme și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

Mai ai întrebări?

Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Lecție și prezentare pe tema: „Secvențe de numere. Progresie geometrică”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a 9-a
Puteri și rădăcini Funcții și grafice

Băieți, astăzi ne vom familiariza cu un alt tip de progresie.
Tema lecției de astăzi este progresia geometrică.

Progresie geometrică

Exemplu. 1,2,4,8,16... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu unu și $q=2$.

Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu opt,
și $q=1$.

Exemplu. 3,-3,3,-3,3... Progresie geometrică în care primul termen este egal cu trei,
și $q=-1$.

Progresia geometrică are proprietățile monotoniei.
Dacă $b_(1)>0$, $q>1$,
atunci secvența crește.
Dacă $b_(1)>0$, $0 Secvența se notează de obicei sub forma: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

La fel ca într-o progresie aritmetică, dacă într-o progresie geometrică numărul de elemente este finit, atunci progresia se numește progresie geometrică finită.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Rețineți că, dacă o secvență este o progresie geometrică, atunci șirul de pătrate de termeni este, de asemenea, o progresie geometrică. În a doua secvență, primul termen este egal cu $b_(1)^2$, iar numitorul este egal cu $q^2$.

Formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice

Să revenim la exemplele noastre.

Exemplu. 1,2,4,8,16... Progresie geometrică în care primul termen este egal cu unu,
și $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Exemplu. 16,8,4,2,1,1/2... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu șaisprezece și $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu opt și $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Exemplu. 3,-3,3,-3,3... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu trei și $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Exemplu. Având în vedere o progresie geometrică $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Se știe că $b_(1)=6, q=3$. Găsiți $b_(5)$.
b) Se știe că $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Găsiți n.
c) Se știe că $q=-2, b_(6)=96$. Găsiți $b_(1)$.
d) Se știe că $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Găsiți q.

Soluţie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, deoarece $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Exemplu. Diferența dintre termenii al șaptelea și al cincilea al progresiei geometrice este 192, suma celor cinci și al șaselea termeni ale progresiei este 192. Aflați al zecelea termen al acestei progresii.

Soluţie.
Știm că: $b_(7)-b_(5)=192$ și $b_(5)+b_(6)=192$.
Mai știm: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Apoi:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Am primit un sistem de ecuații:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Echivalând ecuațiile noastre obținem:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Avem două soluții q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Înlocuiți succesiv în a doua ecuație:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nicio soluție.
Am obținut că: $b_(1)=4, q=2$.
Să găsim al zecelea termen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Suma unei progresii geometrice finite

Să fie dată o progresie geometrică finită: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Să introducem denumirea pentru suma termenilor săi: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
În cazul în care $q=1$. Toți termenii progresiei geometrice sunt egali cu primul termen, atunci este evident că $S_(n)=n*b_(1)$.
Să luăm acum în considerare cazul $q≠1$.
Să înmulțim suma de mai sus cu q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Notă:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Am obținut formula pentru suma unei progresii geometrice finite.

Soluţie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Exemplu.
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice care este cunoscută: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Soluţie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$ q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Proprietatea caracteristică a progresiei geometrice

O secvență de numere este o progresie geometrică numai atunci când pătratul fiecărui membru este egal cu produsul celor două elemente adiacente ale progresiei. Nu uitați că pentru o progresie finită această condiție nu este îndeplinită pentru primul și ultimul termen.

Modulul oricărui termen al unei progresii geometrice este egal cu media geometrică a celor doi termeni adiacenți ai săi.

Soluţie.
Să folosim proprietatea caracteristică:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ și $x_(2)=-1$.
Să substituim succesiv soluțiile noastre în expresia originală:
Cu $x=2$ am obtinut sirul: 4;6;9 – o progresie geometrica cu $q=1.5$.
Pentru $x=-1$, obținem succesiunea: 1;0;0.
Răspuns: $x=2.$

Probleme de rezolvat independent

Progresie geometrică nu mai puțin important în matematică în comparație cu aritmetică. O progresie geometrică este o succesiune de numere b1, b2,..., b[n], al căror termen următor se obține prin înmulțirea celui precedent cu un număr constant. Acest număr, care caracterizează și rata de creștere sau scădere a progresiei, se numește numitorul progresiei geometrice si denota

Pentru a specifica complet o progresie geometrică, pe lângă numitor, este necesar să se cunoască sau să se determine primul termen al acesteia. Pentru o valoare pozitivă a numitorului, progresia este o succesiune monotonă, iar dacă această succesiune de numere este monoton descrescătoare și dacă este monoton crescătoare. Cazul în care numitorul este egal cu unu nu este luat în considerare în practică, deoarece avem o succesiune de numere identice, iar însumarea lor nu prezintă interes practic.

Termen general al progresiei geometrice calculate prin formula

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice determinat de formula

Să ne uităm la soluțiile problemelor clasice de progresie geometrică. Să începem cu cele mai simple de înțeles.

Exemplul 1. Primul termen al unei progresii geometrice este 27, iar numitorul său este 1/3. Găsiți primii șase termeni ai progresiei geometrice.

Soluție: Să scriem condiția problemei în formular

Pentru calcule folosim formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice

Pe baza acestuia, găsim termenii necunoscuți ai progresiei

După cum puteți vedea, calcularea termenilor unei progresii geometrice nu este dificilă. Progresia în sine va arăta astfel

Exemplul 2. Se dau primii trei termeni ai progresiei geometrice: 6; -12; 24. Aflați numitorul și al șaptelea termen al acestuia.

Rezolvare: Calculăm numitorul progresiei geomitrice pe baza definiției acesteia

Am obținut o progresie geometrică alternativă al cărei numitor este egal cu -2. Al șaptelea termen se calculează folosind formula

Aceasta rezolvă problema.

Exemplul 3. O progresie geometrică este dată de doi dintre termenii săi . Găsiți al zecelea termen al progresiei.

Soluţie:

Să scriem valorile date folosind formule

Conform regulilor, ar trebui să găsim numitorul și apoi să căutăm valoarea dorită, dar pentru al zecelea termen avem

Aceeași formulă poate fi obținută pe baza unor manipulări simple cu datele de intrare. Împărțiți al șaselea termen al seriei cu altul și, ca rezultat, obținem

Dacă valoarea rezultată este înmulțită cu al șaselea termen, obținem al zecelea

Astfel, pentru astfel de probleme, folosind transformări simple într-un mod rapid, puteți găsi soluția corectă.

Exemplul 4. Progresia geometrică este dată de formule recurente

Aflați numitorul progresiei geometrice și suma primilor șase termeni.

Soluţie:

Să scriem datele date sub forma unui sistem de ecuații

Exprimați numitorul împărțind a doua ecuație la prima

Să găsim primul termen al progresiei din prima ecuație

Să calculăm următorii cinci termeni pentru a găsi suma progresiei geometrice

Instrucțiuni

10, 30, 90, 270...

Trebuie să găsiți numitorul unei progresii geometrice.
Soluţie:

Opțiunea 1. Să luăm un termen arbitrar al progresiei (de exemplu, 90) și să-l împărțim la cel anterior (30): 90/30=3.

Dacă se cunoaște suma mai multor termeni ai unei progresii geometrice sau suma tuturor termenilor unei progresii geometrice descrescătoare, atunci pentru a găsi numitorul progresiei, utilizați formulele adecvate:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), unde Sn este suma primilor n termeni ai progresiei geometrice și
S = b1/(1-q), unde S este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare (suma tuturor termenilor progresiei cu un numitor mai mic de unu).
Exemplu.

Primul termen al unei progresii geometrice descrescătoare este egal cu unu, iar suma tuturor termenilor săi este egală cu doi.

Este necesar să se determine numitorul acestei progresii.
Soluţie:

Înlocuiți datele din problemă în formulă. Se va dovedi:
2=1/(1-q), de unde – q=1/2.

O progresie este o succesiune de numere. Într-o progresie geometrică, fiecare termen ulterior se obține prin înmulțirea celui precedent cu un anumit număr q, numit numitor al progresiei.

Instrucțiuni

Dacă se cunosc doi termeni geometrici adiacenți b(n+1) și b(n), pentru a obține numitorul, trebuie să împărțiți numărul cu cel mai mare la cel care îl precede: q=b(n+1)/b (n). Aceasta rezultă din definiția progresiei și numitorul acesteia. O condiție importantă este ca primul termen și numitorul progresiei să nu fie egale cu zero, altfel este considerat nedefinit.

Astfel, între termenii progresiei se stabilesc următoarele relații: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Folosind formula b(n)=b1 q^(n-1), poate fi calculat orice termen al progresiei geometrice în care numitorul q și termenul b1 sunt cunoscuți. De asemenea, fiecare progresie este egală ca modul cu media membrilor săi vecini: |b(n)|=√, de unde progresia și-a luat .

Un analog al unei progresii geometrice este cea mai simplă funcție exponențială y=a^x, unde x este un exponent, a este un anumit număr. În acest caz, numitorul progresiei coincide cu primul termen și este egal cu numărul a. Valoarea funcției y poate fi înțeleasă ca al n-lea termen al progresiei dacă argumentul x este considerat un număr natural n (contor).

Există pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Această formulă este valabilă pentru q≠1. Dacă q=1, atunci suma primilor n termeni se calculează prin formula S(n)=n b1. Apropo, progresia se va numi crescătoare când q este mai mare decât unu și b1 este pozitiv. Dacă numitorul progresiei nu depășește unul în valoare absolută, progresia se va numi descrescătoare.

Un caz special al unei progresii geometrice este o progresie geometrică infinit descrescătoare (progresie geometrică infinit descrescătoare). Faptul este că termenii unei progresii geometrice descrescătoare vor scădea din nou și din nou, dar nu vor ajunge niciodată la zero. În ciuda acestui fapt, este posibil să se găsească suma tuturor termenilor unei astfel de progresii. Se determină prin formula S=b1/(1-q). Numărul total de termeni n este infinit.

Pentru a vizualiza cum puteți adăuga un număr infinit de numere fără a obține infinit, coaceți o prăjitură. Tăiați jumătate din ea. Apoi tăiați 1/2 jumătate și așa mai departe. Piesele pe care le veți obține nu sunt altceva decât membri ai unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu un numitor de 1/2. Dacă adunați toate aceste bucăți, obțineți tortul original.

Problemele de geometrie sunt un tip special de exercițiu care necesită gândire spațială. Dacă nu poți rezolva un geometric sarcină, încercați să urmați regulile de mai jos.

Instrucțiuni

Citiți cu atenție condițiile sarcinii dacă nu vă amintiți sau nu înțelegeți ceva, recitiți-l din nou.

Încercați să determinați ce tip de probleme geometrice este vorba, de exemplu: cele de calcul, când trebuie să aflați o valoare, probleme care implică , care necesită un lanț logic de raționament, probleme care implică construcția folosind o busolă și o riglă. Mai multe sarcini de tip mixt. Odată ce v-ați dat seama de tipul de problemă, încercați să gândiți logic.

Aplicați teorema necesară pentru o anumită sarcină, dar dacă aveți îndoieli sau nu există deloc opțiuni, atunci încercați să vă amintiți teoria pe care ați studiat-o pe tema relevantă.

De asemenea, notați soluția problemei într-o formă de schiță. Încercați să utilizați metode cunoscute pentru a verifica corectitudinea soluției dvs.

Completați cu atenție soluția problemei în caiet, fără a șterge sau a tăia și, cel mai important, poate fi nevoie de timp și efort pentru a rezolva primele probleme geometrice. Cu toate acestea, de îndată ce stăpâniți acest proces, veți începe să faceți clic pe sarcini precum nuci, bucurându-vă de el!

O progresie geometrică este o succesiune de numere b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) astfel încât b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Cu alte cuvinte, fiecare termen al progresiei se obține din cel anterior înmulțindu-l cu vreun numitor diferit de zero al progresiei q.

Instrucțiuni

Problemele de progresie se rezolvă cel mai adesea prin întocmirea și apoi urmărirea unui sistem în raport cu primul termen al progresiei b1 și numitorul progresiei q. Pentru a crea ecuații, este util să ne amintim câteva formule.

Cum se exprimă al n-lea termen al progresiei prin primul termen al progresiei și numitorul progresiei: b(n)=b1*q^(n-1).

Să considerăm separat cazul |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии