Adott vektorra merőleges vektor keresése, példák és megoldások. Hogyan keressünk egy vektorra merőleges vektort
ohm Ehhez először bemutatjuk a szegmens fogalmát.
1. definíció
Szakasznak nevezzük az egyenes azon részét, amelyet mindkét oldalon pontok határolnak.
2. definíció
A szakasz végei azok a pontok, amelyek korlátozzák azt.
A vektor definíciójának bemutatásához a szegmens egyik végét a kezdetének nevezzük.
3. definíció
Vektornak (irányított szakasznak) nevezzük azt a szakaszt, amelyben meg van jelölve, hogy melyik határpont a kezdete és melyik a vége.
Jelölés: \overline(AB) egy AB vektor, amely A pontban kezdődik és B pontban ér véget.
Egyébként egy kis betűvel: \overline(a) (1. ábra).
4. definíció
Nulla vektornak nevezünk minden olyan pontot, amely a síkhoz tartozik.
Szimbólum: \overline(0) .
Vezessük most be közvetlenül a kollineáris vektorok definícióját.
Bemutatjuk a skalárszorzat definícióját is, amelyre később szükségünk lesz.
6. definíció
Két adott vektor skaláris szorzata egy skalár (vagy szám), amely megegyezik e két vektor hosszának és a vektorok közötti szög koszinuszának szorzatával.
Matematikailag így nézhet ki:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
A pontszorzat vektorkoordinátákkal is megtalálható az alábbiak szerint
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
A merőlegesség jele az arányosságon keresztül
1. tétel
Ahhoz, hogy a nem nulla vektorok merőlegesek legyenek egymásra, szükséges és elegendő, hogy ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata nullával egyenlő.
Bizonyíték.
Szükségesség: Adjunk \overline(α) és \overline(β) vektorokat, amelyeknek (α_1,α_2,α_3) illetve (β_1,β_2,β_3) koordinátái vannak, és merőlegesek egymásra. Ekkor a következő egyenlőséget kell bizonyítanunk
Mivel az \overline(α) és \overline(β) vektorok merőlegesek, a köztük lévő szög 90^0. Keressük meg ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzatát a 6. definíció képletével.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Elegendőség: Legyen igaz az egyenlőség \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Bizonyítsuk be, hogy a \overline(α) és \overline(β) vektorok merőlegesek lesznek egymásra.
A 6. definíció szerint az egyenlőség igaz lesz
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Ezért az \overline(α) és \overline(β) vektorok merőlegesek lesznek egymásra.
A tétel bebizonyosodott.
1. példa
Bizonyítsuk be, hogy az (1,-5,2) és (2,1,3/2) koordinátájú vektorok merőlegesek.
Bizonyíték.
Keressük meg ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzatát a fenti képlet segítségével
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Ez azt jelenti, hogy az 1. Tétel szerint ezek a vektorok merőlegesek.
Két adott vektorra merőleges vektor keresése a keresztszorzat segítségével
Először mutassuk be a vektorszorzat fogalmát.
7. definíció
Két vektor vektorszorzata egy olyan vektor lesz, amely merőleges lesz mindkét adott vektorra, és a hossza egyenlő lesz ezen vektorok hosszának szorzatával a közöttük lévő szög szinuszával, valamint ez a vektor két vektorral. a kezdetiek ugyanolyan tájolásúak, mint a derékszögű koordinátarendszer.
Kijelölés: \overline(α)х\overline(β) x.
A vektorszorzat megtalálásához a képletet használjuk
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmátrix) x
Mivel két vektor keresztszorzatának vektora merőleges mindkét vektorra, ez lesz a vektor. Vagyis ahhoz, hogy két vektorra merőleges vektort találjunk, csak meg kell találni a vektorszorzatát.
2. példa
Keressen egy olyan vektort, amely merőleges a \overline(α)=(1,2,3) és \overline(β)=(-1,0,3) koordinátákkal rendelkező vektorokra.
Keressük meg ezeknek a vektoroknak a vektorszorzatát.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x
A kérdésre vonatkozó részben keressen egy vektort, amely merőleges a szerző által megadott két vektorra Anna Afanasjeva a legjobb válasz: Két nem párhuzamos vektorra merőleges vektort találunk xb vektorszorzatként, ennek megtalálásához össze kell állítani egy determinánst, amelynek első sora az I, j, k egységvektorokból áll majd. második az a vektor koordinátáiból, a harmadik a b vektor koordinátáiból. A determináns az első sor menti kiterjesztésnek tekinthető, esetedben akhv=20i-10k, vagy ahv=(20,0,-10) kapod.
Válasz tőle 22 válasz[guru]
Helló! Íme egy válogatás témakörökből a kérdésedre adott válaszokkal: keress két adott vektorra merőleges vektort
Válasz tőle kinyújtom[újonc]
Két nem párhuzamos vektorra merőleges vektor található xb vektorszorzataként, ennek megtalálásához össze kell állítani egy determinánst, amelynek első sora az I, j, k egységvektorokból áll, a második pedig a koordinátákból az a vektorból, a harmadik - a b vektor koordinátáiból. A determináns az első sor menti kiterjesztésnek tekinthető, esetedben akhv=20i-10k, vagy ahv=(20,0,-10) kapod.
Válasz tőle HIKA[guru]
Nagyjából így döntsd el; De előbb olvass el mindent magad!! !
Számítsd ki a d és r vektorok skaláris szorzatát, ha d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Az a vektor modulusa 4, a b vektor modulusa 6. Az a és b vektorok közötti szög 60 fok, a c vektor merőleges az a és b vektorokra.
Az E és F pontok az ABCD paralelogramma AD és BC oldalán helyezkednek el, ahol AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) Fejezzük ki az EF vektort m = AB vektor és n vektor = AD vektorokkal. b) Megfelelhet-e az EF = x egyenlőségvektor a CD vektorral szorozva bármely x értékre? .
Utasítás
Ha a rajzon az eredeti vektor téglalap alakú kétdimenziós koordinátarendszerben van ábrázolva, és ott egy merőlegest kell szerkeszteni, akkor a vektorok síkbeli merőlegességének definíciójából induljunk ki. Kimondja, hogy az ilyen irányított szegmenspárok közötti szögnek 90°-nak kell lennie. Végtelen számú ilyen vektor konstruálható. Ezért rajzoljunk merőlegest az eredeti vektorra a sík tetszőleges helyén, fektessünk rá egy adott rendezett pontpár hosszával megegyező szakaszt, és annak egyik végét rendeljük a merőleges vektor kezdetének. Ezt szögmérő és vonalzó segítségével végezze.
Ha az eredeti vektort kétdimenziós koordinátákkal adjuk meg ā = (X1;Y1), tegyük fel, hogy egy merőleges vektorpár skaláris szorzatának egyenlőnek kell lennie nullával. Ez azt jelenti, hogy a kívánt ō = (X₂,Y₂) vektorhoz olyan koordinátákat kell kiválasztani, amelyekre az (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 egyenlőség érvényes lesz az X2 koordináta nullától eltérő értékét, és számítsa ki az Y2 koordinátát az Y2 = -(X1*X2)/Y1 képlet segítségével. Például az ā = (15;5) vektorhoz lesz egy ō vektor, amelynek az abszcissza eggyel, az ordinátája pedig -(15*1)/5 = -3, azaz. ō = (1;-3).
Egy háromdimenziós és bármely más merőleges koordinátarendszerre ugyanaz a szükséges és elégséges feltétel igaz a vektorok merőlegességére - skaláris szorzatuk nullával egyenlő. Ezért, ha a kezdeti irányított szakaszt ā = (X₁,Y₁,Z₁) koordináták adják meg, akkor a rá merőleges ō = (X₂,Y₂,Z₂) rendezett pontpárhoz válasszon olyan koordinátákat, amelyek teljesítik az (ā,ō) feltételt. ) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. A legegyszerűbb módja az, hogy X2-nek és Y2-nek egyetlen értéket rendelünk, és a Z2-t a Z₂ = -1*(X1*1 + Y1*) egyszerűsített egyenlőségből számítjuk ki. 1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. Például az ā = (3,5,4) vektornál ez a következő alakot ölti: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Ezután vegyük fel az abszcisszáját és az ordinátáját merőleges vektor egy, és ebben az esetben egyenlő lesz a -(3+5)/4 = -2-vel.
Források:
- keresse meg a vektort, ha merőleges
Ezeket merőlegesnek nevezik vektor, amelyek között a szög 90°. A merőleges vektorokat rajzeszközökkel szerkesztjük. Ha a koordinátáik ismertek, akkor a vektorok merőlegessége analitikai módszerekkel ellenőrizhető vagy megkereshető.
Szükséged lesz
- - szögmérő;
- - iránytű;
- - vonalzó.
Utasítás
Szerkesszünk egy vektort az adottra merőlegesen! Ehhez a vektor kezdetének pontjában állítson vissza egy merőlegest a vektorra. Ez megtehető egy szögmérővel, 90º-os szög beállításával. Ha nincs szögmérőd, használj iránytűt.
Állítsa be a vektor kezdőpontjára. Rajzolj tetszőleges sugarú kört. Ezután készítsünk kettőt, amelynek középpontjai azokban a pontokban vannak, ahol az első kör metszi azt az egyenest, amelyen a vektor fekszik. E körök sugarainak egyenlőnek kell lenniük egymással és nagyobbaknak kell lenniük, mint az első megszerkesztett kör. A körök metszéspontjaiban készítsünk egy egyenest, amely merőleges lesz az eredeti vektorra annak origójában, és ábrázoljunk rajta egy erre merőleges vektort.
Az egységvektor: , ahol 
– vektor modul.
Válasz: 
.
Jegyzet. Az egységvektor koordinátái nem lehetnek többek egynél.
6.3. Keresse meg egy vektor hosszának és irányának koszinuszát 
. Hasonlítsa össze az előző bekezdés válaszával. Levonni a következtetést.
Egy vektor hossza a modulusa:
Az irány koszinuszokat pedig a vektorok megadásának egyik módjának képletével találhatjuk meg:
Ebből látjuk, hogy az iránykoszinuszok az egységvektor koordinátái.
Válasz: 
,
,
,
.
6.4. megtalálja 
.
El kell végezni egy vektor számmal való szorzását, összeadását és modulusát.
A vektorok koordinátáit tagonként megszorozzuk egy számmal.
A vektorok koordinátáit tagonként összeadjuk.
A vektor modulusának megkeresése.
Válasz: 
6.5. Határozza meg a vektor koordinátáit 
, kollineáris a vektorhoz 
, ennek tudatában 
és a vektorral ellentétes irányba irányul 
.
Vektor 
kollineáris a vektorral 
, ami azt jelenti, hogy egységvektora egyenlő az egységvektorral 
csak mínuszjellel, mert ellenkező irányba irányítják.
Az egységvektor hossza 1, ami azt jelenti, hogy ha megszorozzuk 5-tel, akkor a hossza öttel lesz egyenlő.
Találunk 
Válasz: 
6.6. Számítsa ki a ponttermékeket 
És 
. A vektorok merőlegesek? 
És 
,
És 
egymás között?
Végezzük el a vektorok skaláris szorzatát.
Ha a vektorok merőlegesek, akkor skaláris szorzatuk nulla.
Azt látjuk, hogy esetünkben a vektorok 
És 
merőleges.
Válasz: 
,
, a vektorok nem merőlegesek.
Jegyzet. A skalárszorzat geometriai jelentése a gyakorlatban kevéssé használható, de mégis létezik. Egy ilyen művelet eredménye geometriailag ábrázolható és kiszámítható.
6.7. Keresse meg egy olyan anyagi pont által végzett munkát, amelyre erő hat 
, amikor B pontból C pontba mozgatja.
A skalárszorzat fizikai jelentése a munka. Az erővektor itt van 
, az eltolási vektor az 
. És ezeknek a vektoroknak a szorzata lesz a szükséges munka.
Munkakeresés
6.8. Keresse meg a belső szöget egy csúcsban A és a külső csúcsszög C háromszög ABC .
A vektorok skaláris szorzatának definíciójából megkapjuk a szög megtalálásának képletét: .
BAN BEN 
A belső szöget az egy pontból kiinduló vektorok közötti szögként fogjuk keresni.
A külső szög meghatározásához úgy kell kombinálnia a vektorokat, hogy egy pontból jöjjenek ki. A kép ezt magyarázza.
Érdemes megjegyezni, hogy 
, csak eltérő kezdeti koordinátákkal rendelkezik.
A szükséges vektorok és szögek megkeresése
Válasz: belső szög az A csúcsnál = 
, külső szög a B csúcsnál = 
.
6.9. Keresse meg a vektorok vetületeit: és
Emlékezzünk vissza a vektorvektorokra: 
,
,
.
A vetület a skalárszorzatból is megtalálható
-kivetítés b tovább a.
Korábban kapott vektorok
,
,
A vetület megtalálása
A második vetület megtalálása
Válasz: 
,
Jegyzet. A mínusz jel a vetület megtalálásakor azt jelenti, hogy a vetítés nem magára a vektorra ereszkedik le, hanem az ellenkező irányba, arra az egyenesre, amelyen ez a vektor fekszik.
6.10. Kiszámítja 
.
Végezzük el a vektorok vektorszorzatát
Keressük meg a modult
A vektorok közötti szög szinuszát a vektorok vektorszorzatának definíciójából találjuk meg
Válasz: 
,
,
.
6.11. Keresse meg egy háromszög területét ABC a magasság hossza pedig a C pontból ereszkedett le.
A vektorszorzat modulusának geometriai jelentése az, hogy ez az ezen vektorok által alkotott paralelogramma területe. És a háromszög területe egyenlő a paralelogramma területének felével.
A háromszög területe megtalálható a magasság és az alap kettővel elosztott szorzataként is, amelyből levezethető a magasság megállapításának képlete.
Így megtaláljuk a magasságot
Válasz: 
,
.
6.12. Keresse meg a vektorokra merőleges egységvektort! 
És 
.
A pontszorzat eredménye egy vektor, amely merőleges a két eredetire. Az egységvektor pedig egy vektor, osztva a hosszával.
Korábban a következőket találtuk:
,
Válasz: 
.
6.13. Határozzuk meg az erőnyomaték nagyságának és irányának koszinuszát! 
, alkalmazva A-ra a C ponthoz képest.
A vektorszorzat fizikai jelentése az erőnyomaték. Adjunk egy illusztrációt ehhez a feladathoz.
Az erő pillanatának megtalálása
Válasz: 
.
6.14. Hazudnak a vektorok 
,
És 
ugyanabban a síkban? Ezek a vektorok képezhetik a tér alapját? Miért? Ha tudják, bontsa ki a vektort erre az alapra 
.
Annak ellenőrzésére, hogy a vektorok ugyanabban a síkban fekszenek-e, el kell végezni ezeknek a vektoroknak a vegyes szorzatát.
A vegyes szorzat nem egyenlő nullával, ezért a vektorok nem egy síkban fekszenek (nem egysíkúak), és bázist képezhetnek. Bontsuk le 
ezen az alapon.
Bővítsük bázisonként az egyenlet megoldásával
Válasz: Vektorok 
,
És 
ne feküdj egy síkban. 
.
6.15. megtalálja 
. Mekkora az A, B, C, D csúcsú gúla térfogata és magassága az A pontból a BCD alapba süllyesztve.
G 
A vegyes szorzat geometriai jelentése az, hogy az ezen vektorok által alkotott paralelepipedon térfogata.
A piramis térfogata hatszor kisebb, mint a paralelepipedon térfogata.
A piramis térfogata így is megtalálható:
Megkapjuk a képletet a magasság megállapításához
A magasság megtalálása
Válasz: térfogat = 2,5, magasság = 
.
6.16. Kiszámítja 
És 
.
– Meghívjuk Önt, hogy gondolkodjon el ezen a feladaton.
- Végezzük el a munkát.
Korábban kapott
Válasz: 
.
6.17. Kiszámítja
Végezzük el a lépéseket részenként
3)
A kapott értékeket összegezzük
Válasz: 
.
6.18. Keresse meg a vektort 
, tudva, hogy merőleges a vektorokra 
És 
, és vetülete a vektorra 
egyenlő 5-tel.
Osszuk ezt a feladatot két részfeladatra
1) Keress egy vektort, amely merőleges a vektorokra! 
És 
tetszőleges hosszúságú.
A merőleges vektort a vektorszorzat eredményeként kapjuk meg
Korábban a következőket találtuk:
A kívánt vektor csak hosszában tér el a kapott vektortól
2) Keressük meg 
az egyenleten keresztül
6.19. Keresse meg a vektort 
, megfelel a feltételeknek 
,
,
.
Tekintsük ezeket a feltételeket részletesebben.
Ez egy lineáris egyenletrendszer. Állítsuk össze és oldjuk meg ezt a rendszert.
Válasz: 
6.20. Határozzuk meg egy vektor koordinátáit! 
, egy síkban a vektorokkal 
És 
, és merőleges a vektorra 
.
Ebben a feladatban két feltétel van: a vektorok egysíkúsága és a merőlegesség először teljesítsük az első, majd a második feltételt.
1) Ha a vektorok egysíkúak, akkor vegyes szorzatuk nulla.
Innen megkapjuk a vektor koordinátáinak bizonyos függőségét
Keressük meg a vektort 
.
2) Ha a vektorok merőlegesek, akkor skaláris szorzatuk nulla
Megkaptuk a kívánt vektor koordinátáinak második függését
Bármilyen értékre 
a vektor kielégíti a feltételeket. Cseréljük 
.
Válasz: 
.
Analitikus geometria
Ez a cikk feltárja a háromdimenziós térben lévő két vektor merőlegességének jelentését egy síkon, és megkeresi egy vektor koordinátáit, amelyek merőlegesek egy vagy egy teljes vektorpárra. A téma vonalak és síkok egyenleteivel kapcsolatos problémákra alkalmazható.
Megvizsgáljuk két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltételét, megoldjuk az adott vektorra merőleges vektor keresésének módszerét, és érintjük a két vektorra merőleges vektor megtalálásának helyzeteit.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltétele
Alkalmazzuk a merőleges vektorokra vonatkozó szabályt a síkon és a háromdimenziós térben.
1. definíció
Feltéve, hogy két nem nulla vektor közötti szög egyenlő 90°-kal (π 2 radián), az ún. merőleges.
Mit jelent ez, és milyen helyzetekben kell tudni ezek merőlegességét?
A merőlegesség megállapítása a rajzon keresztül lehetséges. Ha adott pontokból vektort ábrázolunk egy síkon, geometriailag megmérhetjük a köztük lévő szöget. Még ha a vektorok merőlegességét megállapítjuk is, az nem lesz teljesen pontos. Leggyakrabban ezek a feladatok nem teszik lehetővé ezt a szögmérő használatával, ezért ez a módszer csak akkor alkalmazható, ha mást nem tudunk a vektorokról.
A legtöbb esetben két nem nulla vektor merőlegességének bizonyítása síkon vagy térben történik szükséges és elégséges feltétele két vektor merőlegességének.
1. tétel
Két nullától eltérő a → és b → nullával egyenlő skaláris szorzata az a → , b → = 0 egyenlőség teljesüléséhez elegendő a merőlegességükhöz.
Bizonyíték 1
Legyenek az adott a → és b → vektorok merőlegesek, akkor igazoljuk az a ⇀ , b → = 0 egyenlőséget.
A definíciójából vektorok pontszorzata tudjuk, hogy egyenlő adott vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzata. Feltétel szerint a → és b → merőlegesek, ami azt jelenti, hogy a definíció alapján a köztük lévő szög 90°. Ekkor a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
A bizonyítás második része
Feltéve, hogy a ⇀, b → = 0 bizonyítja a → és b → merőlegességét.
Valójában a bizonyíték az előző ellentéte. Ismeretes, hogy a → és b → nem nulla, ami azt jelenti, hogy az a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ egyenlőségből megtaláljuk a koszinust. Ekkor kapjuk cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Mivel a koszinusz nulla, arra a következtetésre juthatunk, hogy az a → és b → vektorok a →, b → ^ szöge 90 °. Értelemszerűen ez egy szükséges és elégséges tulajdonság.
Merőlegességi feltétel a koordinátasíkon
Fejezet skaláris szorzat koordinátákban bemutatja az (a → , b →) = a x · b x + a y · b y egyenlőtlenséget, amely a → = (a x , a y) és b → = (b x , b y) koordinátájú vektorokra érvényes, a síkon és (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y az a → = (a x, a y, a z) és a b → = (b x, b y, b z) vektorokra a térben. Két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltétele a koordinátasíkban a x · b x + a y · b y = 0, háromdimenziós tér esetén a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Alkalmazzuk a gyakorlatba, és nézzünk példákat.
1. példa
Ellenőrizzük két vektor a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4) merőlegességi tulajdonságát!
Megoldás
A probléma megoldásához meg kell találnia a skalárszorzatot. Ha a feltétel szerint egyenlő nullával, akkor merőlegesek.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . A feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy az adott vektorok merőlegesek a síkra.
Válasz: igen, a megadott a → és b → vektorok merőlegesek.
2. példa
Az i → , j → , k → koordinátavektorok adottak. Ellenőrizzük, hogy az i → - j → és az i → + 2 · j → + 2 · k → vektorok merőlegesek lehetnek-e.
Megoldás
Annak érdekében, hogy emlékezzen a vektorkoordináták meghatározására, el kell olvasnia a cikket vektor koordináták téglalap alakú koordinátarendszerben.Így azt találjuk, hogy az adott i → - j → és i → + 2 · j → + 2 · k → vektoroknak megfelelő koordinátái (1, - 1, 0) és (1, 2, 2) vannak. A számértékeket behelyettesítjük, és a következőt kapjuk: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
A kifejezés nem egyenlő nullával, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, ami azt jelenti, hogy az i → - j → és i → + 2 j → + 2 k → vektorok nem merőlegesek, mivel a feltétel nem teljesül.
Válasz: nem, az i → - j → és az i → + 2 · j → + 2 · k → vektorok nem merőlegesek.
3. példa
Adott a → = (1, 0, - 2) és b → = (λ, 5, 1) vektorok. Határozzuk meg λ azon értékét, amelyre ezek a vektorok merőlegesek.
Megoldás
Két térbeli vektor merőlegességének feltételét használjuk négyzet alakban, akkor kapjuk
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Válasz: a vektorok merőlegesek a λ = 2 értékre.
Vannak esetek, amikor a merőlegesség kérdése még szükséges és elégséges feltétel mellett sem lehetséges. A háromszög három oldalának ismert adatai alapján két vektoron meg lehet találni vektorok közötti szögés nézd meg.
4. példa
Adott egy A B C háromszög, amelynek oldalai A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Ellenőrizzük az A B → és A C → vektorok merőlegességét.
Megoldás
Ha az A B → és az A C → vektorok merőlegesek, az A B C háromszöget téglalap alakúnak tekintjük. Ezután alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt, ahol B C a háromszög befogója. A B C 2 = A B 2 + A C 2 egyenlőségnek igaznak kell lennie. Ebből következik, hogy 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Ez azt jelenti, hogy A B és A C az A B C háromszög szárai, ezért A B → és A C → merőlegesek.
Fontos megtanulni, hogyan kell megtalálni egy adott vektorra merőleges koordinátákat. Ez síkon és térben is lehetséges, feltéve, hogy a vektorok merőlegesek.
Egy adott vektorra merőleges vektor keresése egy síkban.
Egy a → nem nulla vektornak végtelen számú merőleges vektora lehet a síkon. Ábrázoljuk ezt a koordináta egyenesen.
Adott egy nem nulla vektor a →, amely az a egyenesen fekszik. Ekkor egy adott b →, amely bármely, az a egyenesre merőleges egyenesen található, merőleges lesz a →-re. Ha az i → vektor merőleges a j → vektorra vagy a λ · j → vektorok bármelyikére, ahol λ egyenlő bármely nullától eltérő valós számmal, akkor a b → vektor a → =-re merőleges koordinátáit keressük (a x , a y ) megoldások végtelen halmazára redukálódik. De meg kell találni az a → =-re merőleges vektor koordinátáit (a x , a y) . Ehhez fel kell írni a vektorok merőlegességének feltételét a következő formában: a x · b x + a y · b y = 0. Van b x és b y, amelyek a merőleges vektor kívánt koordinátái. Ha a x ≠ 0, b y értéke nem nulla, és b x az a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x egyenlőtlenségből számítható ki. Ha a x = 0 és a y ≠ 0, b x-nek nullától eltérő értéket rendelünk, és b y-t a b y = - a x · b x a y kifejezésből találjuk meg.
5. példa
Adott a → = (- 2 , 2) koordinátájú vektor. Keress egy erre merőleges vektort.
Megoldás
Jelöljük a kívánt vektort b → (b x , b y) alakban. Koordinátái abból a feltételből kereshetők, hogy az a → és b → vektorok merőlegesek. Ekkor kapjuk: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Adjunk hozzá b y = 1-et, és helyettesítsük be: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Így a képletből azt kapjuk, hogy b x = - 2 - 2 = 1 2. Ez azt jelenti, hogy a b → = (1 2 , 1) vektor a → -re merőleges vektor.
Válasz: b → = (1 2 , 1) .
Ha a kérdés a háromdimenziós térre vonatkozik, a probléma megoldása ugyanazon elv szerint történik. Adott a → = (a x, a y, a z) vektorhoz végtelen sok merőleges vektor létezik. Ezt egy háromdimenziós koordinátasíkon rögzíti. Adott egy → az a vonalon fekvő. Az a egyenesre merőleges síkot α-val jelöljük. Ebben az esetben bármely b → nem nulla vektor az α síkból merőleges a →-re.
Meg kell találni az a → = (a x, a y, a z) nem nulla vektorra merőleges b → koordinátákat.
Legyen b → adott b x, b y és b z koordinátákkal. Megtalálásukhoz két vektor merőlegességi feltételének definícióját kell alkalmazni. Az a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 egyenlőségnek teljesülnie kell. A feltételből a → nem nulla, ami azt jelenti, hogy az egyik koordináta értéke nem egyenlő nullával. Tegyük fel, hogy a x ≠ 0, (a y ≠ 0 vagy a z ≠ 0). Ezért jogunk van a teljes a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 egyenlőtlenséget elosztani ezzel a koordinátával, így a b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y kifejezést kapjuk. + a z · b z a x . A b y és b x koordinátákhoz tetszőleges értéket rendelünk, b x értékét a képlet alapján számítjuk ki, b x = - a y · b y + a z · b z a x. A kívánt merőleges vektor értéke a → = (a x, a y, a z).
Nézzük a bizonyítást egy példa segítségével.
6. példa
Adott a → = (1, 2, 3) koordinátájú vektor. Keress egy, az adott vektorra merőleges vektort!
Megoldás
Jelöljük a kívánt vektort b → = (b x , b y , b z) -vel. Abból a feltételből kiindulva, hogy a vektorok merőlegesek, a skaláris szorzatnak nullával kell egyenlőnek lennie.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Ha b y értéke 1, b z = 1, akkor b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Ebből következik, hogy a b → (- 5 , 1 , 1) vektor koordinátái. A b → vektor az adottra merőleges vektorok egyike.
Válasz: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Két adott vektorra merőleges vektor koordinátáinak megkeresése
Meg kell találnunk a vektor koordinátáit a háromdimenziós térben. Ez merőleges az a → (a x, a y, a z) és a b → = (b x, b y, b z) nem kollineáris vektorokra. Feltéve, hogy az a → és a b → vektorok kollineárisak, elegendő egy a → vagy b →-re merőleges vektort találni a feladatban.
Megoldáskor a vektorok vektorszorzatának fogalmát használjuk.
Vektor vektor szorzata a → és b → olyan vektor, amely egyszerre merőleges a → és b →-re. A probléma megoldására az a → × b → vektorszorzatot használjuk. A háromdimenziós tér alakja a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Nézzük meg részletesebben a vektorszorzatot egy példaprobléma segítségével.
7. példa
A b → = (0, 2, 3) és a → = (2, 1, 0) vektorok adottak. Keresse meg egyidejűleg bármely, az adatokra merőleges vektor koordinátáit.
Megoldás
A megoldáshoz meg kell találni a vektorok vektorszorzatát. (Lásd a bekezdést mátrix determinánsának kiszámítása hogy megtaláljuk a vektort). Kapunk:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Válasz: (3 , - 6 , 4) - egy vektor koordinátái, amely egyidejűleg merőleges az adott a → és b → -re.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
