Egyenlet és gyökerei: definíciók, példák. Egyenlet gyökere – Bevezető információk

A másodfokú egyenleteket 8. osztályban tanulják, tehát nincs itt semmi bonyolult. Ezek megoldásának képessége feltétlenül szükséges.

A másodfokú egyenlet ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenlet, ahol az a, b és c együtthatók tetszőleges számok, és a ≠ 0.

A konkrét megoldási módszerek tanulmányozása előtt vegye figyelembe, hogy minden másodfokú egyenlet három osztályba osztható:

1. Nincsenek gyökerei;
2. Pontosan egy gyökér legyen;
3. Két különböző gyökerük van.

Ez egy fontos különbség a másodfokú és a lineáris egyenletek között, ahol a gyök mindig létezik és egyedi. Hogyan állapítható meg, hogy egy egyenletnek hány gyöke van? Van ebben egy csodálatos dolog - diszkriminatív.

Megkülönböztető

Legyen adott az ax 2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet. Ekkor a diszkrimináns egyszerűen a D = b 2 − 4ac szám.

Ezt a képletet fejből kell tudni. Az, hogy honnan származik, most nem fontos. Egy másik fontos dolog: a diszkrimináns előjelével meg lehet határozni, hogy hány gyöke van egy másodfokú egyenletnek. Ugyanis:

1. Ha D< 0, корней нет;
2. Ha D = 0, akkor pontosan egy gyök van;
3. Ha D > 0, akkor két gyök lesz.

Kérjük, vegye figyelembe: a diszkrimináns a gyökerek számát jelzi, és egyáltalán nem a jeleiket, ahogyan azt valamilyen okból sokan hiszik. Vessen egy pillantást a példákra, és mindent meg fog érteni:

Feladat. Hány gyöke van a másodfokú egyenleteknek:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Írjuk ki az első egyenlet együtthatóit, és keressük meg a diszkriminánst:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Tehát a diszkrimináns pozitív, tehát az egyenletnek két különböző gyökere van. Hasonló módon elemezzük a második egyenletet:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

A diszkrimináns negatív, nincsenek gyökerei. Az utolsó hátralévő egyenlet:
a = 1; b = -6; c=9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

A diszkrimináns nulla - a gyökér egy lesz.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az együtthatók minden egyenlethez ki lettek írva. Igen, hosszú, igen, unalmas, de nem fogod összekeverni az esélyeket és hülye hibákat elkövetni. Válassz magadnak: sebesség vagy minőség.

Mellesleg, ha rájön a dolog, egy idő után nem kell felírnia az összes együtthatót. Ilyen műveleteket hajt végre a fejében. A legtöbben 50-70 megoldott egyenlet után kezdik ezt megtenni – általában nem annyira.

Másodfokú egyenlet gyökerei

Most térjünk át magára a megoldásra. Ha a diszkrimináns D > 0, akkor a gyökök a következő képletekkel kereshetők:

Másodfokú egyenlet gyökeinek alapképlete

Ha D = 0, bármelyik képletet használhatja - ugyanazt a számot kapja, amely lesz a válasz. Végül, ha D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Első egyenlet:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ az egyenletnek két gyöke van. Keressük meg őket:

Második egyenlet:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ az egyenletnek ismét két gyöke van. Keressük meg őket

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(igazítás)\]

Végül a harmadik egyenlet:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ az egyenletnek egy gyöke van. Bármilyen képlet használható. Például az első:

Amint a példákból látható, minden nagyon egyszerű. Ha ismeri a képleteket és tud számolni, akkor nem lesz probléma. Leggyakrabban akkor fordulnak elő hibák, amikor negatív együtthatókat helyettesítenek a képletben. Itt is segít a fent leírt technika: nézze meg a képletet szó szerint, írjon le minden lépést - és hamarosan megszabadul a hibáktól.

Hiányos másodfokú egyenletek

Előfordul, hogy egy másodfokú egyenlet kissé eltér a definícióban megadottól. Például:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Könnyen észrevehető, hogy ezekből az egyenletekből hiányzik az egyik kifejezés. Az ilyen másodfokú egyenletek még könnyebben megoldhatók, mint a szabványosak: még a diszkrimináns kiszámítását sem igénylik. Tehát vezessünk be egy új koncepciót:

Az ax 2 + bx + c = 0 egyenletet nem teljes másodfokú egyenletnek nevezzük, ha b = 0 vagy c = 0, azaz. az x változó vagy a szabad elem együtthatója nullával egyenlő.

Természetesen nagyon nehéz eset lehetséges, ha mindkét együttható nulla: b = c = 0. Ebben az esetben az egyenlet ax 2 = 0 alakot ölt. Nyilvánvalóan egy ilyen egyenletnek egyetlen gyöke van: x = 0.

Nézzük a fennmaradó eseteket. Legyen b = 0, akkor egy ax 2 + c = 0 alakú hiányos másodfokú egyenletet kapunk. Alakítsuk át egy kicsit:

Mivel az aritmetikai négyzetgyök csak egy nem-negatív szám esetében létezik, az utolsó egyenlőségnek csak akkor van értelme, ha (−c /a) ≥ 0. Következtetés:

1. Ha egy ax 2 + c = 0 alakú nem teljes másodfokú egyenletben teljesül a (−c /a) ≥ 0 egyenlőtlenség, akkor két gyöke lesz. A képlet fent van megadva;
2. Ha (-c /a)< 0, корней нет.

Amint látja, nem volt szükség diszkriminánsra – a hiányos másodfokú egyenletekben egyáltalán nincsenek bonyolult számítások. Valójában nem is szükséges megjegyezni az egyenlőtlenséget (−c /a) ≥ 0. Elég, ha kifejezzük az x 2 értéket, és megnézzük, mi van az egyenlőségjel másik oldalán. Ha van pozitív szám, akkor két gyöke lesz. Ha negatív, akkor egyáltalán nem lesznek gyökerei.

Most nézzük meg az ax 2 + bx = 0 alakú egyenleteket, amelyekben a szabad elem egyenlő nullával. Itt minden egyszerű: mindig két gyökér lesz. Elég a polinomot faktorozni:

A szorzat akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Innen erednek a gyökerek. Végezetül nézzünk meg néhány ilyen egyenletet:

Feladat. Másodfokú egyenletek megoldása:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nincsenek gyökerek, mert négyzet nem lehet egyenlő negatív számmal.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

A matematikában többféle egyenlet létezik. Ezeket mindig meg kell oldani, vagyis meg kell keresni mindazokat a számokat, amelyekből valódi egyenlőség lesz. A megoldások megtalálásához vezető utat az egyenlet kezdeti alakja határozza meg. A változó helyes értékeinek száma, amelyeket az egyenlet gyökereként jelölünk meg, szintén attól függ. Ez a szám nullától a végtelenig változhat.

Mit jelent az egyenlet és annak gyöke?

A névből kitűnik, hogy két olyan mennyiséget jelent, amelyek numerikus vagy alfabetikus kifejezésekkel ábrázolhatók. Ráadásul még ismeretlen mennyiségeket tartalmaznak. A legegyszerűbb egyenletnek csak egy van.

Nagyon sokféle egyenlet létezik, de a gyök fogalma mindig ugyanaz. Az egyenlet gyöke egy ismeretlen szám értéke, amelynél az egyenlet valódi egyenlőséggé válik. Vannak helyzetek, amikor több ilyen szám van, akkor az ismeretlent változónak nevezzük.

Az algebrában az egyenletek megoldása során olyan helyzetbe kerülhet, hogy egyáltalán nincsenek gyökök. Aztán azt mondják, hogy megoldhatatlan. És egy ilyen egyenletre adott válaszban le kell írni, hogy nincsenek megoldások.

De néha az ellenkezője történik. Vagyis számos átalakulás során idegen gyökerek jelennek meg. Nem adnak valódi egyenlőséget a helyettesítés során. Ezért a számokat mindig ellenőrizni kell, hogy elkerüljük a szükségtelen gyökerű helyzeteket a válaszban. Ellenkező esetben az egyenlet nem tekinthető megoldottnak.

A lineáris egyenletről

Mindig átalakítható a következő alakú jelöléssé: a * x + b = 0. Ebben az „a” nem mindig egyenlő nullával. Ahhoz, hogy megértsük, hány gyöke van az egyenletnek, általános formában kell megoldani.

Átalakítási algoritmus:

• mozgassa a „c” kifejezést az egyenlőség jobb oldalára, és cserélje ki a jelét az ellenkezőjére;
• ossza el a kapott egyenlőség mindkét oldalát az „a” együtthatóval.

x = -v/a.

Ebből világos, hogy a válasz egy szám lesz. Vagyis csak egy gyökér.

Másodfokú egyenlet

Általános megjelenése: a * x 2 + b * x + c = 0. Itt az együtthatók tetszőleges számok, kivéve az elsőt, az „a”-t, amely nem lehet egyenlő nullával. Végül is automatikusan lineárissá válik. A válasz arra a kérdésre, hogy hány gyöke van az egyenletnek, már nem lesz olyan egyértelmű, mint az előző esetben.

Minden a diszkrimináns értékétől függ majd. A képlet alapján számítják ki D = v 2 - 4 a * s. Számítások után kiderülhet, hogy „D” nagyobb, kisebb vagy egyenlő nullával. Az első esetben az egyenletnek két gyöke lesz, a másodikban a válasz „nincs gyök”, a harmadik esetben pedig csak egy értéket ad meg az ismeretlennek.

Képletek, amelyek a másodfokú egyenlet gyökereinek megkeresésére szolgálnak, és diszkriminánst tartalmaznak

Általános esetben, ha a „D” egy pozitív szám, amely nem egyenlő nullával, a következő képletet kell használni:

x 1,2 = (-v ± √D) / (2 * a).

Ha „D” egyenlő nullával, az egyenlet gyöke egyetlen szám. Egyszerűen azért, mert a nulla négyzetgyöke nulla. Ez azt jelenti, hogy nullát kell összeadnia és kivonnia. Ez a szám nem változik. Ezért az egyenlet gyökének képlete felírható a „D” említése nélkül:

x = (-b) / (2 * a).

Ha a diszkrimináns érték negatív, abból nem lehet kinyerni a négyzetgyököt. Ezért egy ilyen egyenletnek nem lesz gyökere.

Megjegyzés. Ez igaz azokra az iskolai tantervekre, amelyek nem tanítanak összetett számokat. Amikor bemutatják őket, kiderül, hogy ebben a helyzetben két válasz lesz.

Képletek egy másodfokú egyenlet gyökeinek kiszámításához, amelyek nem használnak diszkriminánst

Ez Vieta tétele. Akkor érvényes, ha a másodfokú egyenlet kissé eltérő formában van felírva:

x 2 + b * x + c = 0.

Ekkor a másodfokú egyenlet gyökereinek képlete két lineáris egyenlet megoldásához vezet:

x 1 + x 2 = -b
És
x 1 * x 2 = c.

Megoldása úgy történik, hogy az egyik gyökér kifejezését az elsőből származtatjuk. És ezt az értéket be kell cserélni a másodikra. Ily módon a második gyökér található, majd az első.

Ezt az opciót mindig a másodfokú egyenlet általános alakjából lehet elérni.

Elég, ha az összes együtthatót elosztjuk „a”-val.

Mi van, ha meg kell találnia a legkisebb gyökérértéket?

Oldja meg az egyenletet, és keresse meg az összes lehetséges számot, amely megfelel a válasznak. És akkor válassza ki a legkevesebbet. Ez lesz az egyenlet legkisebb gyöke.

Az ilyen kérdések leggyakrabban olyan feladatokban találhatók, amelyeknek 2-nál nagyobb a foka, vagy amelyek trigonometrikus függvényeket tartalmaznak. Egy példa arra, amikor meg kell találni a legkisebb gyöket, a következő egyenlőség:

2 x 5 + 2 x 4 - 3 x 3 - 3 x 2 + x + 1 = 0.

Az "egyenlet gyökerének" nevezhető értékek megtalálásához ezt az egyenlőséget át kell alakítani. Első művelet: csoportosítsd a tagjait párokba: az elsőt a másodikkal és így tovább. Ezután vegye ki a közös tényezőt minden párból.

Minden zárójel megmarad (x + 1). A közös tényező az első párban 2 x 4, a másodikban 3 x 2 lesz. Most ismét ki kell vonni a közös tényezőt, amely ugyanaz a zárójel lesz.

A szorzó (x + 1) után lesz (2 x 4 - 3 x 2 + 1). Két tényező szorzata csak akkor egyenlő nullával, ha az egyik tényező nullával egyenlő értéket vesz fel.

Az első zárójel nulla x = -1-nél. Ez lesz az egyenlet egyik gyökere.

Másokat a nullára állított második zárójel által alkotott egyenletből kapunk. Ez biquadrát. A megoldáshoz be kell írni a jelölést: x 2 = y. Ekkor az egyenlet jelentősen átalakul, és a másodfokú egyenlet szokásos formáját veszi fel.

A diszkriminánsa egyenlő: D = 1. Nagyobb, mint nulla, ami azt jelenti, hogy két gyök lesz. Az első gyökér 1-nek bizonyul, a második 0,5 lesz. De ez az "y" jelentése.

Vissza kell térnie a megadott megnevezéshez. x 1,2 = ± 1, x 3,4 = ± √0,5. Az egyenlet összes gyöke: -1; 1; -√0,5; √0,5. Közülük a legkisebb a -1. Ez a válasz.

Következtetésként

Emlékeztető: Minden egyenletet ellenőrizni kell, hogy a gyökér illeszkedik-e. Talán kívülálló? Érdemes megnézni a javasolt példát.

Ha az eredetileg megadott egyenletben az „x” helyett egyet helyettesítünk, akkor kiderül, hogy 0 = 0. Ez a gyök helyes.

Ha x = -1, akkor ugyanazt az eredményt kapjuk. A gyökér is megfelelő.

Hasonlóképpen, ha az „x” értéke -√0,5 és √0,5, az egyenlőség ismét helyes. Minden gyökér alkalmas.

Ez a példa nem adott semmilyen idegen gyökeret. Ez nem mindig történik meg. Könnyen lehet, hogy a legkisebb érték nem lenne alkalmas tesztelésre. Akkor a többi közül kellene választanunk.

Következtetés: emlékeznie kell arra, hogy alaposan ellenőrizze és közelítse meg a döntést.

A matematikában többféle egyenlet létezik. Ezeket mindig meg kell oldani, vagyis meg kell keresni mindazokat a számokat, amelyekből valódi egyenlőség lesz. A megoldások megtalálásához vezető utat az egyenlet kezdeti alakja határozza meg. A változó helyes értékeinek száma, amelyeket az egyenlet gyökereként jelölünk meg, szintén attól függ. Ez a szám nullától a végtelenig változhat.

Mit jelent az egyenlet és annak gyöke?

A névből kitűnik, hogy két olyan mennyiséget jelent, amelyek numerikus vagy alfabetikus kifejezésekkel ábrázolhatók. Ráadásul még ismeretlen mennyiségeket tartalmaznak. A legegyszerűbb egyenletnek csak egy van.

Nagyon sokféle egyenlet létezik, de a gyök fogalma mindig ugyanaz. Az egyenlet gyöke egy ismeretlen szám értéke, amelynél az egyenlet valódi egyenlőséggé válik. Vannak helyzetek, amikor több ilyen szám van, akkor az ismeretlent változónak nevezzük.

Az algebrában az egyenletek megoldása során olyan helyzetbe kerülhet, hogy egyáltalán nincsenek gyökök. Aztán azt mondják, hogy megoldhatatlan. És egy ilyen egyenletre adott válaszban le kell írni, hogy nincsenek megoldások.

De néha az ellenkezője történik. Vagyis számos átalakulás során idegen gyökerek jelennek meg. Nem adnak valódi egyenlőséget a helyettesítés során. Ezért a számokat mindig ellenőrizni kell, hogy elkerüljük a szükségtelen gyökerű helyzeteket a válaszban. Ellenkező esetben az egyenlet nem tekinthető megoldottnak.

A lineáris egyenletről

Mindig átalakítható a következő alakú jelöléssé: a * x + b = 0. Ebben az „a” nem mindig egyenlő nullával. Ahhoz, hogy megértsük, hány gyöke van az egyenletnek, általános formában kell megoldani.

Átalakítási algoritmus:

• mozgassa a „c” kifejezést az egyenlőség jobb oldalára, és cserélje ki a jelét az ellenkezőjére;
• ossza el a kapott egyenlőség mindkét oldalát az „a” együtthatóval.

x = -v/a.

Ebből világos, hogy a válasz egy szám lesz. Vagyis csak egy gyökér.

Másodfokú egyenlet

Általános megjelenése: a * x 2 + b * x + c = 0. Itt az együtthatók tetszőleges számok, kivéve az elsőt, az „a”-t, amely nem lehet egyenlő nullával. Végül is automatikusan lineárissá válik. A válasz arra a kérdésre, hogy hány gyöke van az egyenletnek, már nem lesz olyan egyértelmű, mint az előző esetben.

Minden a diszkrimináns értékétől függ majd. A képlet alapján számítják ki D = v 2 - 4 a * s. Számítások után kiderülhet, hogy „D” nagyobb, kisebb vagy egyenlő nullával. Az első esetben az egyenletnek két gyöke lesz, a másodikban a válasz „nincs gyök”, a harmadik esetben pedig csak egy értéket ad meg az ismeretlennek.

Képletek, amelyek a másodfokú egyenlet gyökereinek megkeresésére szolgálnak, és diszkriminánst tartalmaznak

Általános esetben, ha a „D” egy pozitív szám, amely nem egyenlő nullával, a következő képletet kell használni:

x 1,2 = (-v ± √D) / (2 * a).

Ha „D” egyenlő nullával, az egyenlet gyöke egyetlen szám. Egyszerűen azért, mert a nulla négyzetgyöke nulla. Ez azt jelenti, hogy nullát kell összeadnia és kivonnia. Ez a szám nem változik. Ezért az egyenlet gyökének képlete felírható a „D” említése nélkül:

x = (-b) / (2 * a).

Ha a diszkrimináns érték negatív, abból nem lehet kinyerni a négyzetgyököt. Ezért egy ilyen egyenletnek nem lesz gyökere.

Megjegyzés. Ez igaz azokra az iskolai tantervekre, amelyek nem tanítanak összetett számokat. Amikor bemutatják őket, kiderül, hogy ebben a helyzetben két válasz lesz.

Képletek egy másodfokú egyenlet gyökeinek kiszámításához, amelyek nem használnak diszkriminánst

Ez Vieta tétele. Akkor érvényes, ha a másodfokú egyenlet kissé eltérő formában van felírva:

x 2 + b * x + c = 0.

Ekkor a másodfokú egyenlet gyökereinek képlete két lineáris egyenlet megoldásához vezet:

x 1 + x 2 = -b
És
x 1 * x 2 = c.

Megoldása úgy történik, hogy az egyik gyökér kifejezését az elsőből származtatjuk. És ezt az értéket be kell cserélni a másodikra. Ily módon a második gyökér található, majd az első.

Ezt az opciót mindig a másodfokú egyenlet általános alakjából lehet elérni.

Elég, ha az összes együtthatót elosztjuk „a”-val.

Mi van, ha meg kell találnia a legkisebb gyökérértéket?

Oldja meg az egyenletet, és keresse meg az összes lehetséges számot, amely megfelel a válasznak. És akkor válassza ki a legkevesebbet. Ez lesz az egyenlet legkisebb gyöke.

Az ilyen kérdések leggyakrabban olyan feladatokban találhatók, amelyeknek 2-nál nagyobb a foka, vagy amelyek trigonometrikus függvényeket tartalmaznak. Egy példa arra, amikor meg kell találni a legkisebb gyöket, a következő egyenlőség:

2 x 5 + 2 x 4 - 3 x 3 - 3 x 2 + x + 1 = 0.

Az "egyenlet gyökerének" nevezhető értékek megtalálásához ezt az egyenlőséget át kell alakítani. Első művelet: csoportosítsd a tagjait párokba: az elsőt a másodikkal és így tovább. Ezután vegye ki a közös tényezőt minden párból.

Minden zárójel megmarad (x + 1). A közös tényező az első párban 2 x 4, a másodikban 3 x 2 lesz. Most ismét ki kell vonni a közös tényezőt, amely ugyanaz a zárójel lesz.

A szorzó (x + 1) után lesz (2 x 4 - 3 x 2 + 1). Két tényező szorzata csak akkor egyenlő nullával, ha az egyik tényező nullával egyenlő értéket vesz fel.

Az első zárójel nulla x = -1-nél. Ez lesz az egyenlet egyik gyökere.

Másokat a nullára állított második zárójel által alkotott egyenletből kapunk. Ez biquadrát. A megoldáshoz be kell írni a jelölést: x 2 = y. Ekkor az egyenlet jelentősen átalakul, és a másodfokú egyenlet szokásos formáját veszi fel.

A diszkriminánsa egyenlő: D = 1. Nagyobb, mint nulla, ami azt jelenti, hogy két gyök lesz. Az első gyökér 1-nek bizonyul, a második 0,5 lesz. De ez az "y" jelentése.

Vissza kell térnie a megadott megnevezéshez. x 1,2 = ± 1, x 3,4 = ± √0,5. Az egyenlet összes gyöke: -1; 1; -√0,5; √0,5. Közülük a legkisebb a -1. Ez a válasz.

Következtetésként

Emlékeztető: Minden egyenletet ellenőrizni kell, hogy a gyökér illeszkedik-e. Talán kívülálló? Érdemes megnézni a javasolt példát.

Ha az eredetileg megadott egyenletben az „x” helyett egyet helyettesítünk, akkor kiderül, hogy 0 = 0. Ez a gyök helyes.

Ha x = -1, akkor ugyanazt az eredményt kapjuk. A gyökér is megfelelő.

Hasonlóképpen, ha az „x” értéke -√0,5 és √0,5, az egyenlőség ismét helyes. Minden gyökér alkalmas.

Ez a példa nem adott semmilyen idegen gyökeret. Ez nem mindig történik meg. Könnyen lehet, hogy a legkisebb érték nem lenne alkalmas tesztelésre. Akkor a többi közül kellene választanunk.

Következtetés: emlékeznie kell arra, hogy alaposan ellenőrizze és közelítse meg a döntést.

Ha két mennyiség van, és van köztük egyenlőségjel, akkor ez egy példa, amelyet egyenletnek neveznek. Az ismeretlen kiszámításával megtudjuk a gyökeret. Ennek az ismeretlennek a titkosításának feloldásához keményen kell dolgoznia a számításon.

Ennyi a bölcsesség. Nincs semmi bonyolult, de hogy nagyon egyszerű legyen, használhat egy online számológépet.

Miután megkapta az egyenlőségek általános elképzelését, és megismerte egyik típusát - a numerikus egyenlőségeket, akkor elkezdhet beszélni egy másik típusú egyenlőségről, amely gyakorlati szempontból nagyon fontos - az egyenletekről. Ebben a cikkben megvizsgáljuk mi az egyenlet, és amit az egyenlet gyökének nevezünk. Itt megadjuk a megfelelő definíciókat, valamint különféle példákat adunk az egyenletekre és azok gyökereire.

Oldalnavigáció.

Mi az egyenlet?

Az egyenletek célzott megismertetése általában a 2. osztályban kezdődik a matematika órákon. Ekkor a következőket adjuk egyenlet meghatározása:

Meghatározás.

Az egyenlet egy egyenlőség, amely egy ismeretlen számot tartalmaz, amelyet meg kell találni.

Az egyenletekben az ismeretlen számokat általában kis latin betűkkel jelölik, például p, t, u stb., de leggyakrabban az x, y és z betűket használják.

Így az egyenletet az írásforma szempontjából határozzuk meg. Más szóval, az egyenlőség egy egyenlet, ha engedelmeskedik a megadott írási szabályoknak - tartalmaz egy betűt, amelynek értékét meg kell találni.

Adjunk példákat a legelső és legegyszerűbb egyenletekre. Kezdjük az x=8, y=3 stb. alakú egyenletekkel. Azok az egyenletek, amelyek számtani előjeleket, valamint számokat és betűket tartalmaznak, kicsit bonyolultabbnak tűnnek, például x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Az egyenletek sokfélesége növekszik, miután megismertük a következőt: - kezdenek megjelenni a zárójeles egyenletek, például 2·(x−1)=18 és x+3·(x+2·(x−2))=3. Egy egyenletben egy ismeretlen betű többször is előfordulhat, például x+3+3·x−2−x=9, de lehetnek betűk az egyenlet bal oldalán, jobb oldalán vagy mindkét oldalán. az egyenlet például x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 vagy 3·x−4=2·(x+12) .

Továbbá a természetes számok tanulmányozása után egész, racionális, valós számokkal ismerkedünk, új matematikai objektumokat tanulmányozunk: hatványokat, gyököket, logaritmusokat stb., miközben egyre több új, ezeket tartalmazó egyenlettípus jelenik meg. Példák ezekre a cikkben találhatók az egyenletek alapvető típusai iskolában tanulni.

A 7. osztályban a betűkkel együtt, amelyek bizonyos számokat jelentenek, elkezdik figyelembe venni azokat a betűket, amelyek különböző értéket vehetnek fel, ezeket változóknak nevezik (lásd a cikket). Ugyanakkor a „változó” szó bekerül az egyenlet definíciójába, és így alakul:

Meghatározás.

Egyenlet Egyenlőségnek nevezzük, amely egy olyan változót tartalmaz, amelynek értékét meg kell találni.

Például az x+3=6·x+7 egyenlet egyenlet az x változóval, és a 3·z−1+z=0 egyenlet a z változóval.

Ugyanebben a 7. osztályban az algebra órákon nem egy, hanem két különböző ismeretlen változót tartalmazó egyenletekkel találkozunk. Ezeket két változós egyenleteknek nevezzük. A jövőben három vagy több változó jelenléte megengedett az egyenletekben.

Meghatározás.

Egyenletek egy, kettő, három stb. változók– ezek egy, kettő, három, ... ismeretlen változót tartalmazó egyenletek.

Például a 3.2 x+0.5=1 egyenlet egy x változót tartalmazó egyenlet, az x−y=3 formájú egyenlet pedig két x és y változót tartalmazó egyenlet. És még egy példa: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen egyenlet három ismeretlen változóból álló x, y és z egyenlet.

Mi az egyenlet gyöke?

Egy egyenlet definíciója közvetlenül kapcsolódik az egyenlet gyökének meghatározásához. Végezzünk el néhány érvelést, amely segít megérteni, mi az egyenlet gyökere.

Tegyük fel, hogy van egy egyenletünk egy betűből (változóból). Ha az egyenletben szereplő betű helyett egy bizonyos számot helyettesítünk, akkor az egyenlet numerikus egyenlőséggé alakul. Sőt, a kapott egyenlőség lehet igaz vagy hamis. Például, ha az a+1=5 egyenletben az a betű helyett a 2-es számot cseréljük ki, akkor a 2+1=5 hibás numerikus egyenlőséget kapjuk. Ha ebben az egyenletben a helyett a 4-es számot helyettesítjük, akkor a helyes 4+1=5 egyenlőséget kapjuk.

A gyakorlatban az esetek túlnyomó többségében a változó azon értékei érdeklik, amelyeknek az egyenletbe való behelyettesítése a helyes egyenlőséget adja, ezeket az értékeket az egyenlet gyökeinek vagy megoldásainak nevezzük.

Meghatározás.

Az egyenlet gyökere- ez annak a betűnek (változónak) az értéke, amelynek behelyettesítésekor az egyenlet helyes numerikus egyenlőséggé változik.

Vegyük észre, hogy az egyenlet gyökerét egy változóban az egyenlet megoldásának is nevezik. Más szóval, egy egyenlet megoldása és az egyenlet gyökere ugyanaz.

Magyarázzuk meg ezt a definíciót egy példával. Ehhez térjünk vissza az a+1=5 fölé írt egyenlethez. Az egyenlet gyökének megfogalmazott definíciója szerint a 4-es szám ennek az egyenletnek a gyöke, mivel az a betű helyett ezt a számot behelyettesítve a helyes 4+1=5 egyenlőséget kapjuk, és a 2-es szám nem az egyenlet gyöke. gyök, mivel egy hibás 2+1= 5 alakú egyenlőségnek felel meg.

Ezen a ponton számos természetes kérdés merül fel: „Van-e bármilyen egyenletnek gyöke, és hány gyöke van egy adott egyenletnek?” Válaszolni fogunk nekik.

Vannak olyan egyenletek, amelyeknek vannak gyökerei, és vannak olyan egyenletek is, amelyeknek nincs gyökerük. Például az x+1=5 egyenletnek 4 gyöke van, de a 0 x=5 egyenletnek nincs gyöke, mivel akármilyen számot is helyettesítünk ebben az egyenletben az x változó helyett, a 0=5 hibás egyenlőséget kapjuk. .

Ami egy egyenlet gyökeinek számát illeti, vannak olyan egyenletek, amelyeknek van egy bizonyos véges számú gyökük (egy, kettő, három stb.), és vannak olyan egyenletek, amelyeknek végtelen sok gyökük van. Például az x−2=4 egyenletnek egyetlen gyöke 6, az x 2 =9 egyenlet gyöke két szám –3 és 3, az egyenlet x·(x−1)·(x−2)=0 három gyöke van 0, 1 és 2, és az x=x egyenlet megoldása tetszőleges szám, azaz végtelen sok gyöke van.

Néhány szót kell ejteni az egyenlet gyökereinek elfogadott jelöléséről. Ha egy egyenletnek nincsenek gyökerei, akkor általában azt írják, hogy „az egyenletnek nincsenek gyökerei”, vagy a ∅ üres halmazjelet használják. Ha az egyenletnek vannak gyökei, akkor azokat vesszővel elválasztva, vagy így írjuk a készlet elemei göndör zárójelben. Például, ha az egyenlet gyökerei a −1, 2 és 4 számok, akkor írjuk be a −1, 2, 4 vagy (−1, 2, 4) számokat. Az is megengedett, hogy az egyenlet gyökereit egyszerű egyenlőségek formájában írjuk le. Például, ha az egyenlet tartalmazza az x betűt, és ennek az egyenletnek a gyökerei a 3 és 5 számok, akkor x=3, x=5 írható, és gyakran hozzáadódnak az x 1 =3, x 2 =5 alsó indexek. a változóhoz, mintha az egyenlet számgyökeit jelölné. Egy egyenlet gyökeinek végtelen halmazát általában alakban írják fel, és ha lehetséges, az N természetes számok, Z egész számok és R valós számok halmazának jelölését használják. Például, ha egy x változójú egyenlet gyöke tetszőleges egész szám, akkor írja be, és ha egy y változójú egyenlet gyökere tetszőleges valós szám 1 és 9 között, akkor írja be a következőt: .

A két, három vagy több változót tartalmazó egyenleteknél általában nem használják az „egyenlet gyökere” kifejezést, ezekben az esetekben „az egyenlet megoldása”. Mit nevezünk többváltozós egyenletek megoldásának? Adjuk meg a megfelelő definíciót.

Meghatározás.

Egyenlet megoldása kettővel, hárommal stb. változók párnak, hármasnak stb. a változók értékeit, ezt az egyenletet helyes numerikus egyenlőséggé alakítva.

Mutassunk magyarázó példákat. Tekintsünk egy egyenletet, amelynek két változója x+y=7. Helyettesítsük x helyett 1-et, y helyett 2-t, és az 1+2=7 egyenlőséget kapjuk. Nyilvánvalóan hibás, ezért az x=1, y=2 értékpár nem megoldása a felírt egyenletre. Ha felveszünk egy x=4, y=3 értékpárt, akkor az egyenletbe való behelyettesítés után a helyes 4+3=7 egyenlőséghez jutunk, tehát ez a változó értékpár értelemszerűen megoldás az x+y=7 egyenlethez.

A többváltozós egyenleteknek, mint az egyváltozós egyenleteknek, lehetnek gyöktelenek, véges sok gyökük vagy végtelen sok gyökük lehet.

Párok, hármasikrek, négyesek stb. A változók értékeit gyakran röviden írják, zárójelben vesszővel elválasztva. Ebben az esetben a zárójelbe írt számok ábécé sorrendben megfelelnek a változóknak. Tisztázzuk ezt a pontot úgy, hogy visszatérünk az előző x+y=7 egyenlethez. Ennek az x=4, y=3 egyenletnek a megoldása röviden (4, 3) írható fel.

A matematika, algebra és az elemzés kezdetei iskolai kurzusban a legnagyobb figyelmet az egyváltozós egyenletek gyökereinek megtalálása kapja. Ennek a folyamatnak a szabályait részletesen tárgyaljuk a cikkben. egyenletek megoldása.

Bibliográfia.

• Matematika. 2 osztály Tankönyv általános műveltségre intézmények adj. elektrononként hordozó. 14 órakor 1. rész / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova stb.] - 3. kiadás. - M.: Oktatás, 2012. - 96 p.: ill. - (Oroszországi Iskola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: tankönyv 7. osztály számára Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 17. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 240 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.