1 egészből ki kell vonni a törtet. Egyenletrendszer felállítása

Ahhoz, hogy egy egész számot a törthez adjunk, elegendő műveletek sorozatát végrehajtani, vagy inkább számításokat végezni.

Például 7 - egy egész szám, hozzá kell adni az 1/2 törthez.

A következőképpen járunk el:

• Megszorozzuk a 7-et a (2) nevezővel, 14-et kapunk,
• Adja hozzá a felső részt (1) 14-hez, 15-öt kap,
• és cserélje ki a nevezőt.
• az eredmény 15/2.

Ezzel az egyszerű módon egész számokat adhat a törtekhez.

És egy egész szám törttől való elkülönítéséhez el kell osztania a számlálót a nevezővel, a maradékkal pedig tört lesz.

Az egész szám megfelelő közönséges törthez való hozzáadásának művelete nem bonyolult, és néha egyszerűen egy vegyes tört létrehozását jelenti, amelyben az egész rész a tört rész bal oldalán helyezkedik el, például egy ilyen tört keveredik:

Ha azonban egész számot adunk egy törthez, akkor gyakran olyan helytelen tört keletkezik, amelyben a számláló nagyobb, mint a nevező. Ezt a műveletet a következőképpen hajtjuk végre: az egész szám hibás törtként jelenik meg, ugyanazzal a nevezővel, mint az összeadandó tört, majd mindkét tört számlálóját egyszerűen összeadjuk. Egy példában így fog kinézni:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

Szerintem nagyon egyszerű.

Például megvan a tört 1/4 (ez megegyezik 0,25-tel, vagyis az egész szám negyede).

És ehhez a negyedhez tetszőleges egész számot adhatunk, például 3-at három és negyed:

3.25. Vagy törtben így fejezik ki: 3 1/4

A példa alapján tetszőleges egész számmal rendelkező törteket hozzáadhat.

Egy egész számot törtté kell emelnie 10-es (6/10) nevezőjével. Ezután hozza a meglévő törtet 10-es közös nevezőre (35=610). Nos, hajtsa végre a műveletet a 610+610=1210 közönséges törtekkel, összesen 12-vel.

Ennek két módja van.

1). Egy tört egész számmá alakítható, és összeadás végezhető. Például 1/2 értéke 0,5; 1/4 egyenlő 0,25-tel; 2/5 az 0,4 stb.

Vegyük az 5-ös egész számot, amelyhez hozzá kell adni a 4/5 törtet. Alakítsuk át a törtet: 4/5 4 osztva 5-tel, és 0,8-at kapunk. 0,8-at hozzáadunk 5-höz, és 5,8 vagy 5 4/5-öt kapunk.

2). Második módszer: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

A törtek összeadása egy egyszerű matematikai művelet, például hozzá kell adni az egész számot 3 és a tört 1/7-et. A két szám összeadásához azonos nevezővel kell rendelkeznie, tehát meg kell szoroznia a hármat héttel, és el kell osztania ezzel a számmal, majd 21/7+1/7-et kap, nevező egyet, összeadja a 21-et és az 1-et, a választ kapja: 22/ 7.

Vegyünk és adjunk hozzá egy egész számot ehhez a törthez. Tegyük fel, hogy 6 + 1/2 = 6 1/2 kell. Nos, ha ez egy tizedes tört, akkor ezt a következőképpen teheti meg: 6+1,2=7,2.

Tört és egész összeadásához hozzá kell adni a törtet az egészhez, és fel kell írni őket komplex számként, például egy közönséges tört egész számmal való összeadásakor a következőt kapjuk: 1/2 +3 = 3 1/ 2; tizedes tört összeadásakor: 0,5 +3 =3,5.

A tört önmagában nem egész szám, mert a mennyisége nem éri el, és ezért nem kell az egész számot átváltani ebbe a törtbe. Ezért az egész szám egész szám marad, és teljesen bemutatja a teljes értéket, a tört pedig hozzáadódik hozzá, és megmutatja, hogy ez az egész szám mennyi hiányzik a következő teljes pont hozzáadása előtt.

Akadémiai példa.

10 + 7/3 = 10 egész és 7/3.

Ha természetesen vannak egész számok, akkor ezeket egész számokkal összegezzük.

12 + 5 7/9 = 17 és 7/9.

Attól függ, melyik egész és melyik tört.

Ha mindkét kifejezés pozitív, ezt a törtet hozzá kell adni az egész számhoz. Az eredmény vegyes szám lesz. Ráadásul 2 eset is előfordulhat.

1. eset.

• A tört helyes, i.e. a számláló kisebb, mint a nevező. Ekkor a feladat után kapott vegyes szám lesz a válasz.

4/9 + 10 = 10 4/9 (tízpontos négy kilenced).



2. eset.

• A tört nem megfelelő, pl. a számláló nagyobb, mint a nevező. Ezután egy kis átalakításra van szükség. A nem megfelelő törtet vegyes számmá kell alakítani, vagyis az egész részt el kell választani. Ez így történik:



Ezt követően hozzá kell adni a nem megfelelő tört teljes részét az egész számhoz, és hozzá kell adni a tört részét a kapott mennyiséghez. Ugyanígy a vegyes számhoz egy egészet adunk.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 pont háromnegyed).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 pont egy).

Ha a feltételek egyike vagy mindkettő negatív, akkor az összeadást a különböző vagy azonos előjelű számok összeadásának szabályai szerint hajtjuk végre. Egy egész számot ennek a számnak és 1-nek az arányaként ábrázolunk, majd a számlálót és a nevezőt is megszorozzuk annak a törtnek a nevezőjével, amelyhez az egész számot hozzáadjuk.

3) 1/5 + (-2) = 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (mínusz 1 pont négy ötöd).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (mínusz 8 pont egyharmad).

Megjegyzés.

Miután megismerkedtek a negatív számokkal, a műveletek tanulmányozása során a 6. osztályos tanulóknak meg kell érteniük, hogy pozitív egész számot negatív törthez hozzáadni ugyanaz, mint törtet kivonni egy természetes számból. Ezt a műveletet a következőképpen hajtják végre:



Valójában egy tört és egy egész szám hozzáadásához egyszerűen a meglévő egész számot törtté kell konvertálnia, és ez olyan egyszerű, mint a körte héja. Csak ki kell vennie egy tört nevezőjét (a példában), és egy egész szám nevezőjévé kell tennie úgy, hogy megszorozza a nevezővel és elosztja, íme egy példa:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

Keresse meg a számlálót és a nevezőt. A tört két számot tartalmaz: a vonal felett található számot számlálónak, a vonal alatt található számot nevezőnek nevezzük. A nevező azon részek teljes számát jelöli, amelyekre egy egész fel van osztva, a számláló pedig a figyelembe vett részek számát.

• Például a ½ törtben a számláló 1, a nevező pedig 2.

Határozza meg a nevezőt. Ha két vagy több törtnek van közös nevezője, akkor az ilyen törtek sora alatt azonos számmal szerepelnek, vagyis ebben az esetben egy bizonyos egészet ugyanannyi részre osztanak. A közös nevezővel rendelkező törtek összeadása nagyon egyszerű, mivel az összegzett tört nevezője megegyezik az összeadandó törtekkel. Például:

• A 3/5 és 2/5 törtek közös nevezője 5.
• A 3/8, 5/8, 17/8 törtek közös nevezője 8.

Online számológép.
Értékeljen egy kifejezést numerikus törtekkel.
Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása, kivonása, osztása, összeadása és kicsinyítése.

Ezzel az online számológéppel megteheti szorozni, kivonni, osztani, összeadni és csökkenteni törteket különböző nevezőkkel.

A program szabályos, helytelen és vegyes számtörtekkel működik.

Ez a program (online számológép) képes:
- vegyes törtek összeadása különböző nevezőkkel
- vegyes törtek kivonását különböző nevezőkkel
- vegyes törteket osztani különböző nevezőkkel
- vegyes törtek szorzása különböző nevezőkkel
- a törteket közös nevezőre redukálni
- kevert frakciókat nem megfelelő törtté alakítani
- csökkenti a frakciókat

Megadhat olyan kifejezést is, amelyben nem tört, hanem egyetlen tört.
Ebben az esetben a tört csökken, és a teljes rész elválik az eredménytől.

A numerikus törteket tartalmazó kifejezések számítására szolgáló online számológép nem csupán a problémára ad választ, hanem részletes megoldást ad magyarázatokkal, pl. megjeleníti a megoldás keresésének folyamatát.

Ez a program hasznos lehet az általános iskolákban tanuló középiskolásoknak a vizsgákra, vizsgákra való felkészüléskor, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzéskor, a szülőknek pedig számos matematikai és algebrai feladat megoldásának kézben tartásához. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a matematikai vagy algebrai házi feladatot szeretné a lehető leggyorsabban elvégezni? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Így Ön saját képzést és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén a képzettség növekszik.

Ha nem ismeri a numerikus törteket tartalmazó kifejezések bevitelére vonatkozó szabályokat, javasoljuk, hogy ismerkedjen meg velük.

A numerikus törteket tartalmazó kifejezések bevitelének szabályai

Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.

A nevező nem lehet negatív.

Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
Bemenet: -2/3 + 7/5
Eredmény: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

A teljes részt az és jel választja el a törttől: &
Bemenet: -1&2/3 * 5&8/3
Eredmény: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

A törtek felosztását a kettőspont jel vezeti be: :
Bemenet: -9&37/12: -3&5/14
Eredmény: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Ne feledje, hogy nem oszthat nullával!

Használhat zárójelet, amikor numerikus törteket tartalmazó kifejezéseket ír be.
Bemenet: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Eredmény: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki, és frissítse az oldalt.

Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérlek várj mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Közönséges törtek. Osztani a maradékkal

Ha a 497-et el kell osztanunk 4-gyel, akkor az elosztásnál látni fogjuk, hogy a 497 nem osztható egyenletesen 4-gyel, azaz. a hadosztály többi része marad. Ilyenkor azt mondják, hogy kész osztás maradékkal, és a megoldást a következőképpen írjuk:
497:4 = 124 (1 maradék).

Az egyenlőség bal oldalán lévő osztási komponenseket ugyanúgy nevezzük, mint a maradék nélküli osztásnál: 497 - osztalék, 4 - osztó. Az osztás eredményét maradékkal osztva nevezzük hiányos privát. Esetünkben ez a 124-es szám. És végül az utolsó komponens, amely nem szokásos felosztásban van, maradék. Azokban az esetekben, amikor nincs maradék, azt mondjuk, hogy egy szám osztva van egy másikkal nyom nélkül, vagy teljesen. Úgy gondolják, hogy ilyen felosztás esetén a maradék nulla. Esetünkben a maradék 1.

A maradék mindig kisebb, mint az osztó.

Az osztás szorzással ellenőrizhető. Ha például van egy egyenlőség 64: 32 = 2, akkor az ellenőrzést így lehet elvégezni: 64 = 32 * 2.

Gyakran olyan esetekben, amikor a maradékkal való osztást hajtják végre, kényelmes az egyenlőség használata
a = b * n + r,
ahol a az osztó, b az osztó, n a parciális hányados, r a maradék.

A természetes számok hányadosa felírható törtként.

A tört számlálója az osztó, a nevezője pedig az osztó.

Mivel a tört számlálója az osztó, a nevezője pedig az osztó, higgyük el, hogy a tört vonala az osztás műveletét jelenti. Néha célszerű az osztást törtként írni a ":" jel használata nélkül.

Az m és n természetes számok osztásának hányadosa felírható törtként \(\frac(m)(n)\), ahol az m számláló az osztó, az n nevező pedig az osztó:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

A következő szabályok igazak:

A \(\frac(m)(n)\ tört meghatározásához az egységet n egyenlő részre (részvényre) kell osztani, és m ilyen részt kell venni.

A \(\frac(m)(n)\ tört meghatározásához el kell osztani az m számot az n számmal.

Az egész egy részének megtalálásához az egésznek megfelelő számot el kell osztani a nevezővel, és az eredményt meg kell szorozni az ezt a részt kifejező tört számlálójával.

Ahhoz, hogy a részéből egy egészet találjon, el kell osztania az ennek a résznek megfelelő számot a számlálóval, és meg kell szoroznia az eredményt annak a törtnek a nevezőjével, amely ezt a részt fejezi ki.

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét is megszorozzuk ugyanazzal a számmal (nulla kivételével), a tört értéke nem változik:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét is ugyanazzal a számmal osztjuk (nulla kivételével), a tört értéke nem változik:
\(\nagy \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ezt a tulajdonságot ún tört fő tulajdonsága.

Az utolsó két transzformációt ún töredékének csökkentése.

Ha a törteket azonos nevezőjű törtként kell ábrázolni, akkor ezt a műveletet meg kell hívni törtek közös nevezőre hozása.

Helyes és helytelen törtek. Vegyes számok

Azt már tudod, hogy törtet kaphatunk, ha egy egészet egyenlő részekre osztunk, és több ilyen részt veszünk. Például a \(\frac(3)(4)\) tört háromnegyed egyet jelent. Az előző bekezdésben szereplő problémák közül sok esetben a törteket egy egész részeinek ábrázolására használták. A józan ész azt diktálja, hogy a résznek mindig kisebbnek kell lennie, mint az egésznek, de mi a helyzet az olyan törtekkel, mint a \(\frac(5)(5)\) vagy a \(\frac(8)(5)\)? Nyilvánvaló, hogy ez már nem része az egységnek. Valószínűleg ezért nevezzük azokat a törteket, amelyek számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező helytelen törtek. A maradék törteket, vagyis azokat a törteket, amelyek számlálója kisebb, mint a nevező, az ún. helyes törtek.

Mint tudják, bármely közös tört, legyen az igazi és helytelen is, a számlálónak a nevezővel való elosztásának eredményeként fogható fel. Ezért a matematikában a hétköznapi nyelvtől eltérően a „nem megfelelő tört” kifejezés nem azt jelenti, hogy valamit rosszul csináltunk, hanem csak azt, hogy ennek a törtnek a számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező.

Ha egy szám egész részből és törtből áll, akkor a törteket vegyesnek nevezzük.

Például:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 az egész rész, a \(\frac(2)(3) \) pedig a tört rész.

Ha a \(\frac(a)(b)\) tört számlálója osztható egy n természetes számmal, akkor ahhoz, hogy ezt a törtet n-nel osztjuk, a számlálóját el kell osztani ezzel a számmal:
\(\nagy \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ha a \(\frac(a)(b)\) tört számlálója nem osztható n természetes számmal, akkor ennek a törtnek az n-nel való osztásához meg kell szoroznia a nevezőt ezzel a számmal:
\(\nagy \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Figyeljük meg, hogy a második szabály akkor is igaz, ha a számláló osztható n-nel. Ezért akkor használhatjuk, ha első pillantásra nehéz megállapítani, hogy egy tört számlálója osztható-e n-nel vagy sem.

Műveletek törtekkel. Törtek hozzáadása.

Törtszámokkal is végezhet aritmetikai műveleteket, akárcsak a természetes számokkal. Először nézzük meg a törtek összeadását. Könnyen hozzáadható a hasonló nevezőkkel rendelkező tört. Keressük meg például a \(\frac(2)(7)\) és \(\frac(3)(7)\ összegét. Könnyen érthető, hogy \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.

Betűk használatával a hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadásának szabálya a következőképpen írható fel:
\(\nagy \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ha különböző nevezőjű törteket kell összeadnia, akkor azokat először közös nevezőre kell redukálni. Például:
\(\nagy \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Törtekre, akárcsak a természetes számokra, az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságai érvényesek.

Vegyes frakciók hozzáadása

Az olyan jelöléseket, mint a \(2\frac(2)(3)\) hívják meg vegyes frakciók. Ebben az esetben a 2-es számot hívják egész rész vegyes tört, és a \(\frac(2)(3)\) szám az törtrész. A \(2\frac(2)(3)\) bejegyzés a következőképpen szól: „két és kétharmad”.

Ha elosztja a 8-as számot 3-mal, két választ kaphat: \(\frac(8)(3)\) és \(2\frac(2)(3)\). Ugyanazt a törtszámot fejezik ki, azaz \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Így a \(\frac(8)(3)\) nem megfelelő tört \(2\frac(2)(3)\) vegyes törtként jelenik meg. Ilyenkor azt mondják, hogy nem megfelelő törtből kiemelte az egész részt.

Törtek kivonása (törtszámok)

A törtszámok kivonása a természetes számokhoz hasonlóan az összeadás művelete alapján történik: egy másik számból kivonni azt jelenti, hogy olyan számot találunk, amelyet a másodikhoz hozzáadva az elsőt kapjuk. Például:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) mivel \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

A hasonló nevezőt tartalmazó törtek kivonásának szabálya hasonló az ilyen törtek összeadásának szabályához:
Az azonos nevezőjű törtek közötti különbség megállapításához ki kell vonni a második számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.

Betűket használva ez a szabály így van írva:
\(\nagy \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Törtek szorzása

Egy tört törttel való szorzásához meg kell szorozni a számlálóikat és nevezőiket, és az első szorzatot számlálóként, a másodikat nevezőként kell írni.

Betűk használatával a törtek szorzásának szabálya a következőképpen írható fel:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

A megfogalmazott szabály segítségével megszorozhat egy törtet természetes számmal, vegyes törttel, valamint vegyes törteket is szorozhat. Ehhez egy természetes számot 1-es nevezőjű törtként, egy vegyes törtet pedig helytelen törtként kell felírni.

A szorzás eredményét (ha lehetséges) egyszerűsíteni kell a tört csökkentésével és a nem megfelelő tört teljes részének elkülönítésével.

Törtekre, akárcsak a természetes számokra, a szorzás kommutatív és kombinatív tulajdonságai, valamint a szorzás összeadáshoz viszonyított eloszlási tulajdonságai érvényesek.

Törtek felosztása

Vegyük a \(\frac(2)(3)\) törtet, és „fordítsuk meg”, cseréljük fel a számlálót és a nevezőt. A \(\frac(3)(2)\ törtet kapjuk. Ezt a törtet nevezzük fordított törtek \(\frac(2)(3)\).

Ha most „megfordítjuk” a \(\frac(3)(2)\ törtet, akkor az eredeti \(\frac(2)(3)\ törtet kapjuk. Ezért az olyan törteket, mint a \(\frac(2)(3)\) és \(\frac(3)(2)\) hívjuk. kölcsönösen inverz.

Például a \(\frac(6)(5) \) és \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) és \(\frac (18) )(7)\).

Betűk használatával a reciprok törtek a következőképpen írhatók: \(\frac(a)(b) \) és \(\frac(b)(a) \)

Egyértelmű, hogy a reciprok törtek szorzata egyenlő 1-gyel. Például: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

A reciprok törtek használatával a törtek osztását szorzásra csökkentheti.

A tört törttel való osztásának szabálya a következő:
Egy tört egy másikkal való osztásához meg kell szorozni az osztalékot az osztó reciprokával.

A számláló, és amivel el van osztva, az a nevező.

Tört írásához először írja be a számlálót, majd húzzon egy vízszintes vonalat a szám alá, és írja be a nevezőt a vonal alá. A számlálót és a nevezőt elválasztó vízszintes vonalat törtvonalnak nevezzük. Néha ferde „/” vagy „∕”-ként ábrázolják. Ebben az esetben a számlálót a sor bal oldalára, a nevezőt a jobbra írjuk. Így például a „kétharmad” tört 2/3-nak lesz írva. Az érthetőség kedvéért a számlálót általában a sor tetejére, a nevezőt pedig az aljára írjuk, vagyis a 2/3 helyett a következőt találjuk: ⅔.

A törtek szorzatának kiszámításához először meg kell szorozni az egyes számlálóját törtek a számlálóhoz más. Az eredményt írja be az új számlálójába törtek. Ezt követően szorozza meg a nevezőket. Írja be a teljes értéket az újba törtek. Például 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Egy tört egy másikkal való osztásához először szorozza meg az első számlálóját a második nevezőjével. Tegye ugyanezt a második törttel (osztóval). Vagy az összes művelet végrehajtása előtt először „fordítsa meg” az osztót, ha kényelmesebb az Ön számára: a nevezőnek a számláló helyén kell lennie. Ezután szorozza meg az osztalék nevezőjét az osztó új nevezőjével, és szorozza meg a számlálókat. Például 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Források:

• Alapvető törtfeladatok

A törtszámok lehetővé teszik egy mennyiség pontos értékének különböző formákban történő kifejezését. Ugyanazokat a matematikai műveleteket végezheti el törtekkel, mint egész számokkal: kivonás, összeadás, szorzás és osztás. Megtanulni dönteni törtek, emlékeznünk kell néhány jellemzőjükre. Típustól függenek törtek, egy egész rész jelenléte, egy közös nevező. Egyes aritmetikai műveletek végrehajtása után az eredmény töredékét csökkenteni kell.

Szükséged lesz

• - számológép

Utasítás

Nézze meg alaposan a számokat. Ha a törtek között vannak tizedesek és szabálytalanok, néha kényelmesebb először tizedesjegyekkel végrehajtani a műveleteket, majd átalakítani őket szabálytalan alakra. Le tudod fordítani törtek ebben a formában először a tizedesvessző utáni értéket írva a számlálóba, és a nevezőbe 10-et. Ha szükséges, csökkentse a törtet úgy, hogy a fenti és alatti számokat elosztja egy osztóval. Azokat a törteket, amelyekben a teljes rész izolált, rossz alakra kell konvertálni úgy, hogy megszorozzuk a nevezővel, és hozzáadjuk a számlálót az eredményhez. Ez az érték lesz az új számláló törtek. Egy egész alkatrész kiválasztása egy kezdetben hibás rész közül törtek, el kell osztani a számlálót a nevezővel. Írd le a teljes eredményt innen törtek. A felosztás fennmaradó része pedig az új számláló, nevező lesz törtek nem változik. Az egész résszel rendelkező törteknél lehetőség van külön-külön is végrehajtani a műveleteket, először az egész számra, majd a tört részekre. Például 1 2/3 és 2 ¾ összege kiszámítható:
- Törtek átalakítása rossz formára:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- A tagok külön-külön egész és tört részeinek összegzése:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Írja át őket a „:” elválasztó segítségével, és folytassa a normál felosztással.

A végeredmény eléréséhez csökkentse a kapott törtet úgy, hogy a számlálót és a nevezőt elosztja egy egész számmal, amely ebben az esetben a lehető legnagyobb. Ebben az esetben a vonal felett és alatt egész számoknak kell lenniük.

jegyzet

Ne végezzen számtani olyan törtekkel, amelyeknek a nevezője eltérő. Válasszon olyan számot, hogy ha minden tört számlálóját és nevezőjét megszorozza vele, akkor mindkét tört nevezője egyenlő legyen.

Hasznos tanács

Törtszámok írásakor az osztalékot a sor fölé írjuk. Ez a mennyiség a tört számlálója. A tört osztóját vagy nevezőjét a sor alá írjuk. Például másfél kilogramm rizs töredékét a következőképpen írjuk: 1 ½ kg rizs. Ha egy tört nevezője 10, a törtet tizedesnek nevezzük. Ebben az esetben a számlálót (osztalék) a teljes rész jobb oldalára írjuk, vesszővel elválasztva: 1,5 kg rizs. A könnyebb számítás érdekében egy ilyen tört mindig rossz formában írható: 1 2/10 kg burgonya. Az egyszerűsítés kedvéért csökkentheti a számláló és a nevező értékeit úgy, hogy elosztja őket egy egész számmal. Ebben a példában oszthat 2-vel. Az eredmény 1 1/5 kg burgonya lesz. Győződjön meg arról, hogy a számokat, amelyekkel aritmetikát fog végezni, ugyanabban a formában jelenítse meg.

87. § Törtek összeadása.

A törtek összeadása sok hasonlóságot mutat az egész számok összeadásával. A törtek összeadása olyan művelet, amely abból áll, hogy több megadott számot (tagot) egy számmá (összeggé) vonnak össze, amely tartalmazza a kifejezések egységeinek összes egységét és törtrészét.

Három esetet vizsgálunk meg egymás után:

1. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadása.
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.
3. Vegyes számok összeadása.

1. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadása.

Vegyünk egy példát: 1/5 + 2/5.

Vegyük az AB szakaszt (17. ábra), vegyük egynek és osszuk 5 egyenlő részre, ekkor ennek a szakasznak az AC része egyenlő lesz az AB szegmens 1/5-ével, és a CD szakasz egy része egyenlő lesz 2/5 AB.

A rajzból látható, hogy ha az AD szakaszt vesszük, akkor az egyenlő lesz 3/5 AB-vel; de az AD szegmens pontosan az AC és CD szegmensek összege. Tehát írhatjuk:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Ezeket a tagokat és a kapott összeget figyelembe véve azt látjuk, hogy az összeg számlálóját a tagok számlálóinak összeadásával kaptuk meg, és a nevező változatlan maradt.

Ebből a következő szabályt kapjuk: Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és meg kell hagyni ugyanazt a nevezőt.

Nézzünk egy példát:

2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.

Adjuk össze a törteket: 3 / 4 + 3 / 8 Először le kell redukálni őket a legkisebb közös nevezőre:

A köztes linket 6/8 + 3/8 nem lehetett írni; az érthetőség kedvéért ide írtuk.

Így a különböző nevezőjű törtek összeadásához először a legkisebb közös nevezőre kell csökkenteni őket, hozzá kell adni a számlálóikat, és fel kell címkézni a közös nevezőt.

Tekintsünk egy példát (a megfelelő törtek fölé további tényezőket írunk):

3. Vegyes számok összeadása.

Adjuk össze a számokat: 2 3/8 + 3 5/6.

Először hozzuk közös nevezőre a számaink tört részeit, és írjuk át újra:

Most egymás után összeadjuk az egész és a tört részeket:

88. § Törtek kivonása.

A törtek kivonása ugyanúgy definiálható, mint az egész számok kivonása. Ez egy olyan művelet, amelynek segítségével két tag és az egyik tag összegéből egy másik tagot találunk. Nézzünk meg három esetet egymás után:

1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása.
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.
3. Vegyes számok kivonása.

1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása.

Nézzünk egy példát:

13 / 15 - 4 / 15

Vegyük az AB szakaszt (18. ábra), vegyük egységnek, és osszuk fel 15 egyenlő részre; akkor ennek a szegmensnek az AC része az AB 1/15-ét, és ugyanennek a szakasznak az AD része az AB 13/15-ének felel meg. Tegyünk félre egy másik ED szakaszt, amely egyenlő 4/15 AB-vel.

A 13/15-ből ki kell vonnunk a 4/15 törtet. A rajzon ez azt jelenti, hogy az ED szakaszt ki kell vonni az AD szegmensből. Ennek eredményeként az AE szegmens megmarad, ami az AB szegmens 9/15-e. Tehát írhatjuk:

Az általunk készített példa azt mutatja, hogy a különbség számlálóját a számlálók kivonásával kaptuk meg, de a nevező változatlan maradt.

Ezért a hasonló nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonnia a részrész számlálóját a minuend számlálójából, és meg kell hagynia ugyanazt a nevezőt.

2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.

Példa. 3/4 - 5/8

Először is csökkentsük ezeket a törteket a legkisebb közös nevezőre:

A közbülső hivatkozás 6 / 8 - 5 / 8 ide van írva az érthetőség kedvéért, de később átugorható.

Így ahhoz, hogy törtből törtet lehessen levonni, először le kell redukálni a legkisebb közös nevezőre, majd ki kell vonni a minuend számlálóját a tört számlálójából, és a közös nevezőt a különbségük alá kell írni.

Nézzünk egy példát:

3. Vegyes számok kivonása.

Példa. 10 3/4 - 7 2/3.

Csökkentsük a minuend és a részfej tört részeit a legkisebb közös nevezőre:

Az egészből kivontunk egy egészet, a töredékből pedig egy törtet. De vannak esetek, amikor a kivonandónak a töredéke nagyobb, mint a redukáltnak a töredéke. Ilyen esetekben ki kell venni egy egységet a minuend teljes részéből, fel kell osztani azokra a részekre, amelyekben a törtrész kifejeződik, és hozzá kell adni a minuend tört részéhez. Ezután a kivonás ugyanúgy történik, mint az előző példában:

89. § Törtek szorzása.

A tört szorzás tanulmányozásakor a következő kérdéseket vesszük figyelembe:

1. Tört szorzása egész számmal.
2. Adott szám törtrészének megkeresése.
3. Egész szám szorzása törttel.
4. Tört szorzása törttel.
5. Vegyes számok szorzása.
6. Az érdeklődés fogalma.
7. Adott szám százalékos arányának meghatározása. Tekintsük őket egymás után.

1. Tört szorzása egész számmal.

Egy tört egész számmal való szorzása ugyanazt jelenti, mint egy egész szám egész számmal való szorzata. Egy tört (szorzó) egész számmal (tényezővel) való szorzása azt jelenti, hogy azonos tagok összegét hozzuk létre, amelyben minden tag egyenlő a szorzóval, a tagok száma pedig a szorzóval.

Ez azt jelenti, hogy ha meg kell szoroznia 1/9-et 7-tel, akkor ezt a következőképpen teheti meg:

Könnyen megkaptuk az eredményt, mivel a műveletet az azonos nevezőjű törtek összeadására redukáltuk. Ennélfogva,

Ennek a műveletnek a figyelembevétele azt mutatja, hogy egy tört egész számmal való megszorzása egyenértékű azzal, hogy ezt a törtet annyiszorosára növeljük, ahány egységet tartalmaz az egész szám. És mivel a tört növelése vagy a számlálójának növelésével érhető el

vagy nevezőjének csökkentésével , akkor vagy megszorozhatjuk a számlálót egy egész számmal, vagy eloszthatjuk vele a nevezőt, ha ez lehetséges.

Innen kapjuk a szabályt:

Egy tört egész számmal való szorzásához meg kell szorozni a számlálót az egész számmal, és a nevezőt meg kell hagyni, vagy ha lehetséges, el kell osztani a nevezőt ezzel a számmal, a számlálót változatlanul hagyva.

Szorzáskor rövidítések is lehetségesek, például:

2. Adott szám törtrészének megkeresése. Sok olyan probléma van, amelyben meg kell találni vagy ki kell számítani egy adott szám egy részét. A különbség ezek és a többi között az, hogy bizonyos objektumok vagy mértékegységek számát adják meg, és ennek a számnak egy részét meg kell találni, amit itt is egy bizonyos tört jelzi. A megértés megkönnyítése érdekében először példákat adunk az ilyen problémákra, majd bemutatunk egy módszert a megoldásukra.

1. feladat. 60 rubelem volt; Ennek a pénznek az 1/3-át könyvvásárlásra költöttem. Mennyibe kerültek a könyvek?

2. feladat. A vonatnak 300 km-es távolságot kell megtennie A és B városok között. Ennek a távnak a 2/3-át már megtette. Hány kilométer ez?

3. feladat. A faluban 400 ház található, 3/4-e tégla, a többi fa. Hány téglaház van összesen?

Ez néhány a sok probléma közül, amelyekkel egy adott szám egy részének megtalálása során találkozunk. Ezeket általában feladatnak nevezik, hogy megtalálják egy adott szám törtrészét.

Az 1. probléma megoldása. 60 dörzsöléstől. 1/3-át költöttem könyvekre; Ez azt jelenti, hogy a könyvek árának meghatározásához el kell osztani a 60-as számot 3-mal:

2. feladat megoldása. A probléma lényege, hogy meg kell találni a 300 km 2/3-át. Először számoljuk ki a 300 1/3-át; ezt úgy érjük el, hogy 300 km-t elosztunk 3-mal:

300: 3 = 100 (ez a 300 1/3-a).

A 300 kétharmadának meghatározásához meg kell dupláznia a kapott hányadost, azaz meg kell szoroznia 2-vel:

100 x 2 = 200 (ez a 300 2/3-a).

3. feladat megoldása. Itt meg kell határoznia azoknak a téglaházaknak a számát, amelyek a 400 3/4-ét teszik ki. Először keressük meg a 400 1/4-ét,

400: 4 = 100 (ez a 400 1/4-e).

A 400 háromnegyedének kiszámításához a kapott hányadost meg kell háromszorozni, azaz meg kell szorozni 3-mal:

100 x 3 = 300 (ez a 400 3/4-e).

A problémák megoldása alapján a következő szabályt vezethetjük le:

Ahhoz, hogy egy adott számból megtudja egy tört értékét, el kell osztania ezt a számot a tört nevezőjével, és meg kell szoroznia a kapott hányadost a számlálójával.

3. Egész szám szorzása törttel.

Korábban (26. §) megállapították, hogy az egész számok szorzása alatt azonos tagok összeadását kell érteni (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Ebben a bekezdésben (1. pont) megállapították, hogy egy tört egész számmal való szorzata azt jelenti, hogy azonos tagok összegét találjuk meg ezzel a törttel.

A szorzás mindkét esetben az azonos tagok összegének megállapításából állt.

Most továbblépünk egy egész szám törttel való szorzására. Itt találkozunk például a szorzással: 9 2/3. Nyilvánvaló, hogy a szorzás előző definíciója erre az esetre nem vonatkozik. Ez nyilvánvaló abból a tényből, hogy az ilyen szorzást nem helyettesíthetjük egyenlő számok összeadásával.

Emiatt új definíciót kell adnunk a szorzásnak, vagyis meg kell válaszolnunk azt a kérdést, hogy mit kell érteni törttel való szorzás alatt, hogyan kell érteni ezt a cselekvést.

Az egész szám törttel való szorzásának jelentése világos a következő definícióból: egy egész szám (szorzó) szorzata törttel (multiplicand) azt jelenti, hogy megtaláljuk a szorzószámnak ezt a törtrészét.

Ugyanis a 9-et 2/3-mal megszorozni azt jelenti, hogy a kilenc egység 2/3-át megtaláljuk. Az előző bekezdésben az ilyen problémákat megoldottuk; így könnyű kitalálni, hogy végül 6 lesz.

De most felvetődik egy érdekes és fontos kérdés: miért nevezik az aritmetikában ugyanazt a „szorzás” szót az olyan látszólag különböző műveleteket, mint például az egyenlő számok összegének és egy szám törtrészének megállapítása?

Ez azért van így, mert az előző művelet (egy szám többszöri megismétlése kifejezésekkel) és az új művelet (a szám törtrészének megtalálása) homogén kérdésekre ad választ. Ez azt jelenti, hogy itt abból a megfontolásból indulunk ki, hogy homogén kérdéseket vagy feladatokat ugyanaz a cselekvés old meg.

Ennek megértéséhez vegye figyelembe a következő problémát: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 4 m ilyen ruha?

Ezt a problémát úgy oldjuk meg, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (4), azaz 50 x 4 = 200 (rubel).

Vegyük ugyanazt a problémát, de benne a ruha mennyisége töredékben lesz kifejezve: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 3/4 m ilyen ruha?”

Ezt a problémát úgy is meg kell oldani, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (3/4).

A benne lévő számokat még többször megváltoztathatja anélkül, hogy a feladat jelentését megváltoztatná, például vegyen 9/10 m-t vagy 2 3/10 m-t stb.

Mivel ezek a feladatok azonos tartalmúak és csak számokban térnek el egymástól, a megoldásukhoz használt cselekvéseket ugyanazzal a szóval - szorzásnak nevezzük.

Hogyan szorozunk meg egy egész számot törttel?

Vegyük az utolsó feladatban talált számokat:

A definíció szerint az 50-nek 3/4-ét kell megtalálnunk. Keressük először az 50-ből az 1/4-ét, majd a 3/4-ét.

50-ből 1/4 az 50/4;

Az 50-es szám 3/4-e .

Ennélfogva.

Nézzünk egy másik példát: 12 5 / 8 =?

a 12-es szám 1/8-a 12/8,

A 12-es szám 5/8-a .

Ennélfogva,

Innen kapjuk a szabályt:

Egy egész szám törttel való szorzásához meg kell szoroznia az egész számot a tört számlálójával, és ezt a szorzatot kell számlálóvá tennie, és ennek a törtnek a nevezőjét kell aláírnia nevezőként.

Írjuk fel ezt a szabályt betűkkel:

Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való szorzásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek.

Fontos megjegyezni, hogy a szorzás végrehajtása előtt meg kell tennie (ha lehetséges) csökkentések, Például:

4. Tört szorzása törttel. A tört törttel való szorzása ugyanazt jelenti, mint az egész szám törttel való szorzása, vagyis ha tört törttel szorozunk, meg kell találni azt a törtet, amely az első tört faktorában van (a szorzót).

Ugyanis a 3/4-et 1/2-vel (fele) megszorozni azt jelenti, hogy megtaláljuk a 3/4 felét.

Hogyan szorozunk meg egy törtet törttel?

Vegyünk egy példát: 3/4 szorozva 5/7-tel. Ez azt jelenti, hogy meg kell találnia a 3/4 5/7-ét. Először keressük meg a 3/4 1/7-ét, majd az 5/7-ét

A 3/4 szám 1/7-e a következőképpen lesz kifejezve:

5/7 számok 3/4 a következőképpen lesz kifejezve:

És így,

Egy másik példa: 5/8 szorozva 4/9-cel.

5/8 1/9 része ,

Az 5/8-as szám 4/9-e .

És így,

Ezekből a példákból a következő szabály vezethető le:

A tört törttel való szorzásához meg kell szorozni a számlálót a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel, és az első szorzatot számlálónak, a második szorzatot pedig a szorzat nevezőjévé kell tenni.

Ez a szabály általános formában a következőképpen írható fel:

A szorzásnál (ha lehetséges) csökkentéseket kell végezni. Nézzünk példákat:

5. Vegyes számok szorzása. Mivel a vegyes számok könnyen helyettesíthetők helytelen törtekkel, ezt a körülményt általában vegyes számok szorzásakor alkalmazzák. Ez azt jelenti, hogy azokban az esetekben, amikor a szorzót, vagy a szorzót, vagy mindkét tényezőt vegyes számként fejezzük ki, akkor helytelen törtekkel helyettesítjük őket. Szorozzuk meg például a vegyes számokat: 2 1/2 és 3 1/5. Fordítsuk mindegyiket nem megfelelő törtté, majd szorozzuk meg a kapott törteket a tört törttel való szorzásának szabálya szerint:

Szabály. A vegyes számok szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtekké, majd meg kell szorozni őket a törtek törtekkel való szorzására vonatkozó szabály szerint.

Jegyzet. Ha az egyik tényező egész szám, akkor a szorzás az eloszlási törvény alapján a következőképpen hajtható végre:

6. Az érdeklődés fogalma. Feladatok megoldásakor, különféle gyakorlati számítások végzésekor mindenféle törtet használunk. De szem előtt kell tartani, hogy sok mennyiség nem akármilyen, hanem természetes felosztást tesz lehetővé számukra. Például vehet egy rubel egy századrészét (1/100), ez egy kopeck lesz, két század 2 kopecka, három század 3 kopecka. Vehetsz 1/10 rubelt, ez lesz "10 kopejk, vagy egy tízkopejkás darab. Vehetsz negyed rubelt, azaz 25 kopecket, fél rubelt, azaz 50 kopeket (ötven kopecket). De gyakorlatilag nem veszik el, például a rubel 2/7-ét, mert a rubelt nem osztják hetedekre.

A súlyegység, azaz a kilogramm elsősorban tizedes osztást tesz lehetővé, például 1/10 kg vagy 100 g, és a kilogramm olyan töredékei, mint az 1/6, 1/11, 1/13, nem gyakoriak.

Általában a (metrikus) mérőszámaink decimálisak, és lehetővé teszik a tizedes osztást.

Meg kell azonban jegyezni, hogy rendkívül hasznos és kényelmes a legkülönbözőbb esetekben ugyanazt az (egységes) módszert alkalmazni a mennyiségek felosztására. Sok éves tapasztalat azt mutatja, hogy egy ilyen jól indokolt felosztás a „századik” felosztás. Lássunk néhány példát az emberi gyakorlat legkülönfélébb területeire vonatkozóan.

1. A könyvek ára a korábbi ár 12/100-ával csökkent.

Példa. A könyv korábbi ára 10 rubel volt. 1 rubellel csökkent. 20 kopejkát

2. A takarékpénztárak az év közben megtakarításra elhelyezett összeg 2/100-át fizetik ki a betéteseknek.

Példa. 500 rubelt helyeznek el a pénztárgépben, ebből az összegből az év bevétele 10 rubel.

3. Az egy iskolát végzettek száma az összes tanulólétszám 5/100-a volt.

PÉLDA Az iskolában mindössze 1200 diák tanult, ebből 60 végzett.

A szám századik részét százaléknak nevezzük.

A "százalék" szó a latinból származik, és a "cent" gyöke százat jelent. Az elöljárószóval (pro centum) együtt ez a szó azt jelenti, hogy „százért”. Ennek a kifejezésnek a jelentése abból a tényből következik, hogy eredetileg az ókori Rómában a kamatot nevezték el annak a pénznek, amelyet az adós „minden száz után” fizetett a hitelezőnek. A „cent” szót ilyen ismerős szavakkal hallják: centner (száz kilogramm), centiméter (mondjuk centiméter).

Például ahelyett, hogy azt mondanánk, hogy az elmúlt hónapban az üzem az általa gyártott összes termék 1/100-át hibás volt, inkább ezt mondjuk: az elmúlt hónapban az üzem a hibák egy százalékát produkálta. Ahelyett, hogy azt mondanánk: az üzem 4/100-zal több terméket állított elő, mint a megállapított terv, azt mondjuk: az üzem 4 százalékkal haladta meg a tervet.

A fenti példák különbözőképpen fejezhetők ki:

1. A könyvek ára a korábbi árhoz képest 12 százalékkal csökkent.

2. A takarékpénztárak a betéteseknek évente 2 százalékot fizetnek a megtakarításban elhelyezett összeg után.

3. Egy iskolát végzettek száma az összes iskolai tanuló 5 százaléka volt.

A betű rövidítéséhez a „százalék” szó helyett a % szimbólumot szokás írni.

Ne feledje azonban, hogy a számításoknál a % jel általában nem írható be a problémafelvetésbe és a végeredménybe. Számítások végzésekor ezzel a szimbólummal egész szám helyett 100-as nevezőjű törtet kell írni.

Le kell tudnia cserélni egy egész számot a jelzett ikonnal egy 100-as nevezőjű törtre:

Ezzel szemben meg kell szoknia, hogy a 100-as nevezőjű tört helyett egész számot írjon a jelzett szimbólummal:

7. Adott szám százalékos arányának meghatározása.

1. feladat. Az iskola 200 köbmétert kapott. m tűzifa, 30%-a nyírfa tűzifa. Mennyi nyírfa tűzifa volt?

Ennek a problémának az a jelentése, hogy a nyírfa tűzifa az iskolába szállított tűzifának csak egy részét tette ki, és ez a rész a 30/100 törtrészben van kifejezve. Ez azt jelenti, hogy feladatunk van megkeresni egy szám törtrészét. A megoldáshoz meg kell szoroznunk a 200-at 30/100-zal (a szám törtjének megtalálásának problémáit úgy oldjuk meg, hogy a számot megszorozzuk a törttel.).

Ez azt jelenti, hogy 200 30%-a 60-nak felel meg.

A 30/100-as töredék ebben a problémában 10-zel csökkenthető. Ezt a csökkentést már a kezdetektől meg lehetne tenni; a probléma megoldása nem változott volna.

2. feladat. A táborban 300 különböző korú gyerek vett részt. A 11 évesek 21%-ot, a 12 évesek 61%-ot, végül a 13 évesek 18%-ot tettek ki. Hány gyerek volt minden korosztályból a táborban?

Ebben a feladatban három számítást kell végrehajtania, azaz egymás után meg kell keresnie a 11 éves, majd a 12 éves és végül a 13 éves gyermekek számát.

Ez azt jelenti, hogy itt háromszor kell megtalálnia a szám törtrészét. Csináljuk:

1) Hány 11 éves gyerek volt?

2) Hány 12 éves gyerek volt?

3) Hány 13 éves gyerek volt?

A feladat megoldása után célszerű összeadni a talált számokat; az összegük 300 legyen:

63 + 183 + 54 = 300

Azt is meg kell jegyezni, hogy a problémafelvetésben megadott százalékok összege 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ez arra utal, hogy a táborban 100%-os gyermeklétszámot vettek.

3 a d a h a 3. A munkás havi 1200 rubelt kapott. Ennek 65%-át élelmiszerre, 6%-át lakásra és fűtésre, 4%-át gázra, villanyra és rádióra, 10%-át kulturális szükségletekre, 15%-át megtakarításra fordította. Mennyi pénzt költöttek a feladatban megjelölt igényekre?

A probléma megoldásához meg kell találni az 1200-nak a töredékét 5-ször.

1) Mennyi pénzt költöttek élelmiszerre? A probléma azt mondja, hogy ez a kiadás a teljes kereset 65%-a, azaz az 1200-as szám 65/100-a.

2) Mennyi pénzt fizetett egy fűtéses lakásért? Az előzőhöz hasonlóan okoskodva a következő számításhoz jutunk:

3) Mennyi pénzt fizetett a gázért, villanyért és rádióért?

4) Mennyi pénzt költöttek kulturális szükségletekre?

5) Mennyi pénzt takarított meg a dolgozó?

Az ellenőrzéshez hasznos összeadni az ebben az 5 kérdésben található számokat. Az összegnek 1200 rubelnek kell lennie. Minden bevétel 100%-nak számít, ami könnyen ellenőrizhető a problémafelvetésben megadott százalékos számok összeadásával.

Három problémát oldottunk meg. Annak ellenére, hogy ezek a problémák különböző dolgokkal foglalkoztak (az iskola tűzifa szállítása, a különböző korú gyerekek száma, a dolgozó kiadásai), ugyanúgy megoldódtak. Ez azért történt, mert minden feladatban a megadott számok több százalékát kellett megtalálni.

90. § Törtosztás.

A törtek felosztásának tanulmányozása során a következő kérdéseket vizsgáljuk meg:

1. Egy egész számot ossz el egy egész számmal.
2. Tört elosztása egész számmal
3. Egész szám elosztása törttel.
4. Tört elosztása törttel.
5. Vegyes számok felosztása.
6. Szám keresése adott törtéből.
7. Szám keresése százalékos aránya alapján.

Tekintsük őket egymás után.

1. Egy egész számot ossz el egy egész számmal.

Ahogy az egész számok osztályában jeleztük, az osztás az a művelet, amely abból áll, hogy két tényező (osztalék) és ezen tényezők egyikének (osztó) szorzata esetén egy másik tényezőt találunk.

Az egész számokról szóló részben megvizsgáltuk egy egész szám egész számmal való osztását. Az osztásnak két esetével találkoztunk ott: maradék nélkül, vagy „egészen” (150: 10 = 15), illetve maradékkal (100: 9 = 11 és 1 maradék). Azt mondhatjuk tehát, hogy az egész számok területén a pontos osztás nem mindig lehetséges, mivel az osztó nem mindig az osztó egész számmal való szorzata. A törttel való szorzás bevezetése után az egész számok bármely osztási esetét lehetségesnek tekinthetjük (csak a nullával való osztás kizárt).

Például 7 elosztása 12-vel azt jelenti, hogy olyan számot találunk, amelynek 12-vel való szorzata 7 lenne. Ilyen szám a 7/12 tört, mert 7/12 12 = 7. Egy másik példa: 14: 25 = 14 / 25, mert 14 / 25 25 = 14.

Így egy egész szám egész számmal való osztásához létre kell hozni egy törtet, amelynek számlálója egyenlő az osztóval, a nevező pedig az osztóval.

2. Tört elosztása egész számmal.

A 6/7 törtet osszuk el 3-mal. Az osztás fenti definíciója szerint itt van a szorzat (6/7) és az egyik tényező (3); meg kell találni egy második tényezőt, amelyet 3-mal megszorozva az adott szorzat 6/7-et adna. Nyilvánvalóan háromszor kisebbnek kell lennie, mint ez a termék. Ez azt jelenti, hogy az előttünk álló feladat az volt, hogy a tört 6/7-ét 3-szorosára csökkentsük.

Azt már tudjuk, hogy a tört csökkentése történhet a számláló csökkentésével vagy a nevező növelésével. Ezért írhatod:

Ebben az esetben a 6 számláló osztható 3-mal, ezért a számlálót 3-szor kell csökkenteni.

Vegyünk egy másik példát: 5 / 8 osztva 2-vel. Itt az 5 számláló nem osztható 2-vel, ami azt jelenti, hogy a nevezőt meg kell szorozni ezzel a számmal:

Ez alapján egy szabályt lehet alkotni: Egy tört egész számmal való osztásához el kell osztani a tört számlálóját az egész számmal.(ha lehetséges), ugyanazt a nevezőt hagyja meg, vagy szorozza meg a tört nevezőjét ezzel a számmal, és hagyja meg ugyanazt a számlálót.

3. Egész szám elosztása törttel.

Legyen szükséges az 5-öt elosztani 1/2-vel, azaz találni egy olyan számot, amelyet 1/2-vel megszorozva 5-öt kapunk. Nyilván ennek a számnak nagyobbnak kell lennie 5-nél, mivel az 1/2 megfelelő tört , és egy szám szorzásakor a megfelelő tört szorzatának kisebbnek kell lennie a szorzandó szorzatnál. Hogy ez érthetőbb legyen, írjuk le cselekvéseinket a következőképpen: 5: 1 / 2 = x , ami azt jelenti, hogy x 1/2 = 5.

Meg kell találnunk egy ilyen számot x , amit ha megszorozunk 1/2-vel, akkor 5-öt adunk. Mivel egy bizonyos szám 1/2-vel való szorzata azt jelenti, hogy ennek a számnak az 1/2-ét megtaláljuk, ezért az ismeretlen szám 1/2-ét x egyenlő 5-tel és az egész számmal x kétszer annyi, azaz 5 2 = 10.

Tehát 5: 1/2 = 5 2 = 10

Ellenőrizzük:

Nézzünk egy másik példát. Tegyük fel, hogy 6-ot el kell osztanunk 2/3-dal. Először próbáljuk meg megtalálni a kívánt eredményt a rajz segítségével (19. ábra).

19. ábra

Rajzoljunk egy 6 egységnek megfelelő AB szakaszt, és osszuk fel az egységeket 3 egyenlő részre. Mindegyik egységben a teljes AB szegmens háromharmada (3/3) hatszor nagyobb, azaz. e. 18/3. Kis zárójelekkel összekötjük a 18 kapott szegmenst, mindegyik 2-t; Csak 9 szegmens lesz. Ez azt jelenti, hogy a 2/3-as tört 9-szer 6 egységben található, vagy más szóval a 2/3-os tört 9-szer kisebb, mint 6 egész egység. Ennélfogva,

Hogyan lehet elérni ezt az eredményt rajz nélkül, pusztán számításokkal? Indokoljunk így: el kell osztanunk 6-ot 2/3-mal, azaz arra a kérdésre kell válaszolnunk, hogy a 6 hányszor tartalmazza a 2/3-ot. Először nézzük meg: hányszor van 6-ban 1/3? Egy egész egységben 3 harmada van, 6 egységben pedig 6-szor több, azaz 18 harmad; ennek a számnak a meghatározásához meg kell szorozni a 6-ot 3-mal. Ez azt jelenti, hogy az 1/3 b egységben 18-szor, a 2/3-ban pedig nem 18-szor, hanem feleannyiszor van benne, azaz 18: 2 = 9 Ezért a 6-ot 2/3-mal osztva a következőket tettük:

Innen kapjuk meg az egész szám törttel való osztásának szabályát. Egy egész szám törttel való osztásához ezt az egész számot meg kell szorozni az adott tört nevezőjével, és ezt a szorzatot számlálóvá téve elosztani az adott tört számlálójával.

Írjuk fel a szabályt betűkkel:

Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való osztásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ott ugyanazt a képletet kapták.

Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:

4. Tört elosztása törttel.

Tegyük fel, hogy el kell osztanunk a 3/4-et 3/8-cal. Mit jelent az osztásból származó szám? Megválaszolja a kérdést, hogy a 3/8-as tört hányszor szerepel a 3/4-ben. A probléma megértéséhez készítsünk rajzot (20. ábra).

Vegyünk egy AB szakaszt, vegyük egynek, osszuk 4 egyenlő részre és jelöljünk be 3 ilyen részt. Az AC szegmens az AB szegmens 3/4-e lesz. Osszuk most fel mind a négy eredeti szakaszt, ekkor az AB szakaszt 8 egyenlő részre osztjuk, és mindegyik ilyen rész egyenlő lesz az AB szakasz 1/8-ával. Kössünk össze 3 ilyen szakaszt ívekkel, akkor az AD és a DC szegmensek mindegyike egyenlő lesz az AB szakasz 3/8-ával. A rajz azt mutatja, hogy egy 3/8-al egyenlő szegmens pontosan 2-szer szerepel egy 3/4-nek megfelelő szegmensben; Ez azt jelenti, hogy az osztás eredménye a következőképpen írható fel:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Nézzünk egy másik példát. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk 15/16-ot 3/32-vel:

Így érvelhetünk: meg kell találnunk egy számot, amelyet 3/32-vel megszorozva 15/16 szorzatot kapunk. Írjuk fel a számításokat így:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 ismeretlen szám x a 15/16

1/32 egy ismeretlen szám x van,

32/32 számok x smink .

Ennélfogva,

Így egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az első tört számlálóját a második nevezőjével, és meg kell szorozni az első tört nevezőjét a második számlálójával, és az első szorzatot kell számlálóvá tenni, a második pedig a nevezőt.

Írjuk fel a szabályt betűkkel:

Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:

5. Vegyes számok felosztása.

A vegyes számok osztásakor először hibás törtekké kell alakítani, majd a kapott törteket a törtosztás szabályai szerint fel kell osztani. Nézzünk egy példát:

Váltsuk át a vegyes számokat helytelen törtekké:

Most osszuk el:

Így a vegyes számok felosztásához hibás törtekké kell konvertálnia őket, majd osztani kell a törtosztás szabályával.

6. Szám keresése adott törtéből.

A különféle törtfeladatok között néha vannak olyanok, amelyekben egy ismeretlen szám törtrészének értéke van megadva, és ezt a számot kell megtalálni. Ez a fajta probléma az adott szám törtrészének megállapításának a fordítottja lesz; ott egy számot adtak, és meg kellett találni ennek a számnak egy töredékét, itt egy szám törtrészét és magát ezt a számot kellett megtalálni. Ez a gondolat még világosabbá válik, ha az ilyen típusú problémák megoldása felé fordulunk.

1. feladat. Az első napon 50 ablakot üvegeztek be az üvegezők, ami az épített ház összes ablakának 1/3-a. Hány ablak van a házban?

Megoldás. A probléma azt mondja, hogy 50 üvegezett ablak teszi ki a ház összes ablakának 1/3-át, ami azt jelenti, hogy összesen 3-szor több ablak van, pl.

A háznak 150 ablaka volt.

2. feladat. Az üzlet 1500 kg lisztet adott el, ami az üzlet teljes lisztkészletének 3/8-a. Mennyi volt a bolt kezdeti lisztkészlete?

Megoldás. A probléma körülményeiből kitűnik, hogy 1500 kg eladott liszt a teljes készlet 3/8-át teszi ki; Ez azt jelenti, hogy ennek a tartaléknak az 1/8-a 3-szor kevesebb lesz, azaz kiszámításához 1500-at kell háromszorosára csökkenteni:

1500: 3 = 500 (ez a tartalék 1/8-a).

Nyilvánvalóan a teljes kínálat nyolcszor nagyobb lesz. Ennélfogva,

500 8 = 4000 (kg).

A kezdeti liszt készlet a boltban 4000 kg volt.

Ennek a problémának a figyelembevételével a következő szabályra lehet következtetni.

Ahhoz, hogy a tört adott értékéből számot találjunk, elegendő ezt az értéket elosztani a tört számlálójával, és az eredményt megszorozni a tört nevezőjével.

Két feladatot oldottunk meg a törtszám alapján. Az ilyen problémákat, amint az az utolsóból különösen világos, két művelettel oldják meg: osztással (amikor egy részt találunk) és szorzással (ha az egész számot megtaláljuk).

Miután azonban megtanultuk a törtek osztását, a fenti problémák egy művelettel megoldhatók, nevezetesen: törtosztással.

Például az utolsó feladat egy művelettel megoldható:

A jövőben egy művelettel - osztással - megoldjuk a szám törtéből való megtalálásának problémáit.

7. Szám keresése százalékos aránya alapján.

Ezekben a feladatokban meg kell találnia egy számot, amely ismeri ennek a számnak néhány százalékát.

1. feladat. Ez év elején 60 rubelt kaptam a takarékpénztártól. bevétel abból az összegből, amit egy éve megtakarításba tettem. Mennyi pénzt tettem a takarékpénztárba? (A pénztárak évi 2%-os hozamot adnak a betéteseknek.)

A probléma lényege, hogy betettem egy bizonyos összeget egy takarékpénztárba, és ott maradtam egy évig. Egy év után 60 rubelt kaptam tőle. bevétel, ami az általam elhelyezett pénz 2/100-a. Mennyi pénzt tettem bele?

Következésképpen ennek a pénznek egy részét ismerve, kétféleképpen (rubelben és töredékben) kifejezve, meg kell találnunk a teljes, egyelőre ismeretlen összeget. Ez egy közönséges probléma egy szám megtalálásának törtrésze alapján. A következő problémákat osztással oldjuk meg:

Ez azt jelenti, hogy 3000 rubelt helyeztek el a takarékpénztárban.

2. feladat. A halászok két hét alatt 64%-kal teljesítették a havi tervet, 512 tonna halat zsákmányoltak ki. Mi volt a tervük?

A probléma körülményeiből ismert, hogy a halászok befejezték a terv egy részét. Ez a rész 512 tonnának felel meg, ami a terv 64%-a. Nem tudjuk, hány tonna halat kell elkészíteni a terv szerint. Ennek a számnak a megtalálása lesz a megoldás a problémára.

Az ilyen problémákat felosztással oldják meg:

Ez azt jelenti, hogy a terv szerint 800 tonna halat kell előkészíteni.

3. feladat. A vonat Rigából Moszkvába ment. Amikor áthaladt a 276. kilométeren, az egyik utas megkérdezte egy arra haladó kalauztól, hogy mennyit tettek meg már az útból. A karmester erre azt válaszolta: „A teljes út 30%-át már megtettük.” Mi a távolság Riga és Moszkva között?

A problémakörülményekből egyértelműen kiderül, hogy a Riga és Moszkva közötti útvonal 30%-a 276 km. Meg kell találnunk a városok közötti teljes távolságot, azaz ehhez a részhez meg kell találnunk az egészet:

91. § Kölcsönös számok. Az osztás helyettesítése szorzással.

Vegyük a 2/3 törtet, és cseréljük ki a számlálót a nevező helyére, 3/2-t kapunk. Ennek a törtnek a fordítottját kaptuk.

Annak érdekében, hogy egy adott tört inverzének megfelelő törtet kapjunk, a nevező helyére a számlálót, a számláló helyére pedig a nevezőt kell tenni. Ily módon bármely tört reciprokát megkaphatjuk. Például:

3/4, fordított 4/3; 5/6, fordított 6/5

Két olyan törtet nevezünk, amelyeknek az a tulajdonsága, hogy az első számlálója a második nevezője, az elsőé pedig a másodiké. kölcsönösen inverz.

Most gondoljuk át, hogy melyik tört lesz az 1/2 reciprokja. Nyilvánvalóan 2/1 lesz, vagy csak 2. Az adott inverz törtét keresve egész számot kaptunk. És ez az eset nem elszigetelt; ellenkezőleg, minden 1 (egy) számlálóval rendelkező tört esetén a reciprok egész számok lesznek, például:

1/3, fordított 3; 1/5, fordított 5

Mivel a reciprok törtek keresésekor egész számokkal is találkoztunk, a következőkben nem reciprok törtekről, hanem reciprok számokról lesz szó.

Találjuk ki, hogyan írjuk fel egy egész szám inverzét. A törtek esetében ez egyszerűen megoldható: a számláló helyére a nevezőt kell tenni. Ugyanígy megkaphatjuk egy egész szám inverzét is, mivel bármely egész szám nevezője lehet 1. Ez azt jelenti, hogy a 7 inverze 1/7 lesz, mert 7 = 7/1; a 10-es szám inverze 1/10 lesz, mivel 10 = 10/1

Ezt a gondolatot többféleképpen is megfogalmazhatjuk: adott szám reciprokát úgy kapjuk meg, hogy egyet elosztunk egy adott számmal. Ez az állítás nemcsak egész számokra igaz, hanem törtekre is. Valójában, ha az 5/9 tört inverzét kell felírnunk, akkor vehetünk 1-et és oszthatjuk 5/9-cel, azaz.

Most egy dolgot emeljünk ki ingatlan reciprok számok, amelyek hasznosak lesznek számunkra: a reciprok számok szorzata eggyel egyenlő. Valóban:

Ezt a tulajdonságot felhasználva a következő módon találhatunk reciprok számokat. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a 8 inverzét.

Jelöljük betűvel x , majd 8 x = 1, tehát x = 1/8. Keressünk egy másik számot, amely a 7/12 inverze, és jelöljük betűvel x , majd 7/12 x = 1, tehát x = 1:7/12 vagy x = 12 / 7 .

Itt vezettük be a reciprok számok fogalmát, hogy némileg kiegészítsük a törtosztással kapcsolatos információkat.

Ha a 6-ot elosztjuk 3/5-tel, a következőket tesszük:

Különös figyelmet fordítson a kifejezésre, és hasonlítsa össze az adott kifejezéssel: .

Ha a kifejezést külön vesszük, anélkül, hogy az előzőhöz kapcsolódnánk, akkor lehetetlen megoldani azt a kérdést, hogy honnan jött: a 6-ot 3/5-tel osztva, vagy a 6-ot 5/3-dal megszorozva. Mindkét esetben ugyanaz történik. Ezért mondhatjuk hogy egy szám elosztása egy másikkal helyettesíthető az osztalék szorzatával az osztó inverzével.

Az alábbiakban bemutatott példák teljes mértékben megerősítik ezt a következtetést.