Amit két tört legkisebb közös nevezőjének neveznek. Törtek redukálása a legkisebb közös nevezőre, szabály, példák, megoldások

Folytassuk a beszélgetést a legkisebb közös többszörösről, amelyet az „LCM – legkisebb közös többszörös, definíció, példák” részben kezdtünk. Ebben a témakörben megvizsgáljuk, hogyan lehet megtalálni az LCM-et három vagy több számra, és megvizsgáljuk azt a kérdést, hogyan lehet megtalálni egy negatív szám LCM-jét.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása GCD-n keresztül

Már megállapítottuk a kapcsolatot a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó között. Most pedig tanuljuk meg, hogyan határozzuk meg az LCM-et GCD-n keresztül. Először is nézzük meg, hogyan kell ezt megtenni pozitív számok esetén.

1. definíció

A legkisebb közös többszöröst a legnagyobb közös osztón keresztül találhatja meg az LCM (a, b) = a · b képlettel: GCD (a, b).

1. példa

Meg kell találnia a 126 és 70 számok LCM-jét.

Megoldás

Vegyük a = 126, b = 70. Helyettesítsük be az értékeket a legkisebb közös többszörös kiszámítására szolgáló képletbe a legnagyobb közös osztóval LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Megkeresi a 70 és 126 számok gcd-jét. Ehhez szükségünk van az euklideszi algoritmusra: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, ezért GCD (126 , 70) = 14 .

Számítsuk ki az LCM-et: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Válasz: LCM(126; 70) = 630.

2. példa

Keresse meg a 68 és 34 számok számát!

Megoldás

A GCD-t ebben az esetben nem nehéz megtalálni, mivel a 68 osztható 34-gyel. Számítsuk ki a legkisebb közös többszöröst a következő képlettel: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Válasz: LCM(68; 34) = 68.

Ebben a példában a szabályt használtuk az a és b pozitív egész számok legkisebb közös többszörösének megtalálására: ha az első szám osztható a másodikkal, akkor ezeknek a számoknak az LCM-je egyenlő lesz az első számmal.

Az LCM megtalálása a számok prímtényezőkbe való faktorálásával

Most nézzük meg az LCM megtalálásának módszerét, amely a számok prímtényezőkbe való faktorálásán alapul.

2. definíció

A legkisebb közös többszörös megtalálásához néhány egyszerű lépést kell végrehajtanunk:

összeállítjuk azon számok összes prímtényezőjének szorzatát, amelyekhez meg kell találnunk az LCM-et;
kizárunk minden elsődleges tényezőt a kapott termékeikből;
a közös prímtényezők kiszűrése után kapott szorzat egyenlő lesz az adott számok LCM-jével.

A legkisebb közös többszörös megtalálásának ez a módszere az LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) egyenlőségén alapul. Ha megnézzük a képletet, világossá válik: az a és b számok szorzata egyenlő mindazon tényezők szorzatával, amelyek részt vesznek e két szám lebontásában. Ebben az esetben két szám gcd-je megegyezik az adott két szám faktorizálásában egyidejűleg jelen lévő összes prímtényező szorzatával.

3. példa

Két számunk van: 75 és 210. A következőképpen számolhatjuk őket: 75 = 3 5 5És 210 = 2 3 5 7. Ha összeállítja a két eredeti szám összes tényezőjének szorzatát, akkor a következőt kapja: 2 3 3 5 5 5 7.

Ha kizárjuk a 3-as és az 5-ös szám közös faktorait, akkor a következő alakú szorzatot kapjuk: 2 3 5 5 7 = 1050. Ez a termék lesz a mi LCM-ünk a 75-ös és 210-es számokhoz.

4. példa

Keresse meg a számok LCM-jét 441 És 700 , mindkét számot prímtényezőkké alakítva.

Megoldás

Keressük meg a feltételben megadott számok összes prímtényezőjét:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Két számláncot kapunk: 441 = 3 3 7 7 és 700 = 2 2 5 5 7.

Az összes olyan tényező szorzata, amely részt vett ezeknek a számoknak a felosztásában, a következő formában lesz: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Keressük a közös tényezőket. Ez a 7-es szám. Zárjuk ki a teljes termékből: 2 2 3 3 5 5 7 7. Kiderült, hogy a NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Válasz: LOC(441; 700) = 44 100.

Adjunk egy másik megfogalmazást az LCM meghatározására a számok prímtényezőkre történő felosztásával.

3. definíció

Korábban mindkét számra közös faktorszámból kizártuk. Most másképp csináljuk:

Tekintsük mindkét számot prímtényezőkké:
az első szám prímtényezőinek szorzatához adjuk hozzá a második szám hiányzó tényezőit;
megkapjuk a szorzatot, amely a két szám kívánt LCM-je lesz.

5. példa

Térjünk vissza a 75-ös és 210-es számokhoz, amelyekhez már az előző példák egyikében kerestük az LCM-et. Bontsuk őket egyszerű tényezőkre: 75 = 3 5 5És 210 = 2 3 5 7. A 3., 5. és faktorok szorzatához 5 a 75-ös számok hozzáadják a hiányzó tényezőket 2 És 7 számok 210. Kapunk: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Ez a 75 és 210 számok LCM-je.

6. példa

Ki kell számítani a 84 és 648 számok LCM-jét.

Megoldás

Tekintsük a feltételből származó számokat egyszerű tényezőkké: 84 = 2 2 3 7És 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Adjuk hozzá a szorzathoz a 2, 2, 3 és faktorokat 7 számok 84 hiányzó tényezők 2, 3, 3 és
3 648-as számok. Megkapjuk a terméket 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ez a 84 és 648 legkisebb közös többszöröse.

Válasz: LCM(84,648) = 4536.

Három vagy több szám LCM-jének megkeresése

Függetlenül attól, hogy hány számmal van dolgunk, a cselekvéseink algoritmusa mindig ugyanaz lesz: szekvenciálisan megkeressük két szám LCM-jét. Erre az esetre van egy tétel.

1. tétel

Tegyük fel, hogy vannak egész számaink a 1 , a 2 , … , a k. NEM C m k ezeket a számokat az m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) szekvenciális kiszámításával kapjuk meg.

Most nézzük meg, hogyan alkalmazható a tétel konkrét problémák megoldására.

7. példa

Ki kell számítania négy szám legkisebb közös többszörösét: 140, 9, 54 és 250 .

Megoldás

Vezessük be a jelölést: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Kezdjük azzal, hogy kiszámoljuk m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Alkalmazzuk az euklideszi algoritmust a 140 és 9 számok GCD-jének kiszámításához: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. A következőt kapjuk: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Ezért m 2 = 1,260.

Most számoljunk ugyanazzal az algoritmussal: m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). A számítások során m 3 = 3 780-at kapunk.

Csak annyit kell tennünk, hogy m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) számítjuk ki. Ugyanazt az algoritmust követjük. Azt kapjuk, hogy m 4 = 94 500.

A példafeltételből származó négy szám LCM-je 94500.

Válasz: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Mint látható, a számítások egyszerűek, de meglehetősen munkaigényesek. Időt takaríthat meg, választhat más utat is.

4. definíció

A következő műveleti algoritmust kínáljuk Önnek:

minden számot prímtényezőkre bontunk;
az első szám tényezőinek szorzatához hozzáadjuk a hiányzó tényezőket a második szám szorzatából;
az előző lépésben kapott szorzathoz hozzáadjuk a harmadik szám hiányzó tényezőit stb.;
a kapott szorzat a feltétel összes számának legkisebb közös többszöröse lesz.

8. példa

Meg kell találnia az öt szám LCM-jét: 84, 6, 48, 7, 143.

Megoldás

Tekintsük mind az öt számot prímtényezőkbe: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. A prímszámok, ami a 7-es szám, nem vehetők figyelembe a prímtényezőkbe. Az ilyen számok egybeesnek a prímtényezőkre való felosztásukkal.

Most vegyük a 84-es szám 2-es, 2-es, 3-as és 7-es prímtényezőinek szorzatát, és adjuk hozzá a második szám hiányzó tényezőit. A 6-os számot 2-re és 3-ra bontottuk. Ezek a tényezők már benne vannak az első szám szorzatában. Ezért ezeket mellőzzük.

Folytatjuk a hiányzó szorzók összeadását. Térjünk át a 48-as számra, amelynek prímtényezőinek szorzatából 2-t és 2-t veszünk. Ezután a negyedik számból összeadjuk a 7-es prímtényezőt és az ötödik szám 11-es és 13-as tényezőit. A következőt kapjuk: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Ez az eredeti öt szám legkisebb közös többszöröse.

Válasz: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Negatív számok legkisebb közös többszörösének megtalálása

A negatív számok legkisebb közös többszörösének megtalálásához ezeket a számokat először ellentétes előjelű számokra kell cserélni, majd a számításokat a fenti algoritmusok segítségével kell elvégezni.

9. példa

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) és LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Az ilyen cselekvések megengedhetők, mivel ha ezt elfogadjuk aÉs − a- ellentétes számok,
akkor egy szám többszöröseinek halmaza a megegyezik egy szám többszöröseinek halmazával − a.

10. példa

Ki kell számítani a negatív számok LCM-jét − 145 És − 45 .

Megoldás

Cseréljük ki a számokat − 145 És − 45 ellentétes számukra 145 És 45 . Most az algoritmus segítségével kiszámítjuk az LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 értéket, miután előzőleg meghatároztuk a GCD-t az euklideszi algoritmus segítségével.

Azt kapjuk, hogy a számok LCM-je − 145 és − 45 egyenlő 1 305 .

Válasz: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A törtekkel kapcsolatos példák megoldásához meg kell tudni találni a legkisebb közös nevezőt. Az alábbiakban részletes utasításokat talál.

Hogyan találjuk meg a legkisebb közös nevezőt - fogalmat

A legkisebb közös nevező (LCD), egyszerű szavakkal, az a minimális szám, amely egy adott példában az összes tört nevezőjével osztható. Más szavakkal, a legkisebb közös többszörösnek (LCM) hívják. A NOS csak akkor használatos, ha a törtek nevezője eltérő.

Hogyan találjuk meg a legkisebb közös nevezőt - példák

Nézzünk példákat a NOC-ok megtalálására.

Számítsd ki: 3/5 + 2/15.

Megoldás (műveletek sorrendje):

Megnézzük a törtek nevezőit, ügyeljünk arra, hogy eltérjenek, és a kifejezések minél rövidebbek legyenek.
Megtaláljuk a legkisebb számot, amely osztható 5-tel és 15-tel is. Ez a szám 15 lesz. Így 3/5 + 2/15 = ?/15.
Kitaláltuk a nevezőt. Mi lesz a számlálóban? Egy további szorzó segít nekünk ennek kiderítésében. Egy további tényező az a szám, amelyet úgy kapunk, hogy az NZ-t elosztjuk egy adott tört nevezőjével. 3/5 esetén a járulékos tényező 3, mivel 15/5 = 3. A második törtnél a kiegészítő tényező 1, mivel 15/15 = 1.
Miután megtaláltuk a járulékos tényezőt, megszorozzuk a törtek számlálóival, és összeadjuk a kapott értékeket. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Válasz: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Ha a példában nem 2, hanem 3 vagy több törtet adunk össze vagy vonunk ki, akkor az NCD-ben annyi törtre kell keresni, amennyi adott.

Számítsd ki: 1/2 – 5/12 + 3/6

Megoldás (műveletek sorrendje):

A legkisebb közös nevező megtalálása. A 2-vel, 12-vel és 6-tal osztható legkisebb szám 12.
A következőt kapjuk: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
További szorzókat keresünk. 1/2 – 6; 5/12-re – 1; 3/6-2-ért.
Megszorozzuk a számlálókkal, és hozzárendeljük a megfelelő jeleket: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Válasz: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Eredetileg a törtek összeadása és kivonása részbe szerettem volna belefoglalni a közös nevező technikákat. De kiderült, hogy annyi információ van, és olyan nagy a jelentősége (végül is nem csak a numerikus törteknek van közös nevezője), hogy jobb ezt a kérdést külön tanulmányozni.

Tehát tegyük fel, hogy van két törtünk különböző nevezőkkel. És biztosítani szeretnénk, hogy a nevezők azonosak legyenek. A tört alapvető tulajdonsága segít, ami, hadd emlékeztessem önöket, így hangzik:

Egy tört nem változik, ha a számlálóját és a nevezőjét nullától eltérő számmal szorozzuk meg.

Így, ha helyesen választja ki a tényezőket, a törtek nevezői egyenlővé válnak - ezt a folyamatot közös nevezőre való redukciónak nevezik. A szükséges számokat pedig, „kiegyenlítve” a nevezőket, további tényezőknek nevezzük.

Miért kell a törteket közös nevezőre redukálni? Íme néhány ok:

Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása. Nincs más mód ennek a műveletnek a végrehajtására;
A törtek összehasonlítása. Néha a közös nevezőre való redukálás nagyban leegyszerűsíti ezt a feladatot;
Tört- és százalékos feladatok megoldása. A százalékok lényegében közönséges kifejezések, amelyek törteket tartalmaznak.

Sokféleképpen lehet olyan számokat találni, amelyeket ha megszorozunk velük, akkor a törtek nevezője egyenlő lesz. Ezek közül csak hármat fogunk figyelembe venni - a növekvő összetettség és bizonyos értelemben a hatékonyság érdekében.

Keresztező szorzás

A legegyszerűbb és legmegbízhatóbb módszer, amely garantáltan kiegyenlíti a nevezőket. „Folyamatosan” fogunk cselekedni: az első törtet megszorozzuk a második tört nevezőjével, a másodikat pedig az első tört nevezőjével. Ennek eredményeként mindkét tört nevezője egyenlő lesz az eredeti nevezők szorzatával. Nézd meg:

További tényezőként vegyük figyelembe a szomszédos törtek nevezőit. Kapunk:

Igen, ez ilyen egyszerű. Ha csak most kezdi a törtek tanulmányozását, jobb, ha ezzel a módszerrel dolgozik - így sok tévedés ellen biztosíthatja magát, és garantáltan megkapja az eredményt.

A módszer egyetlen hátránya, hogy sokat kell számolni, mert a nevezőket „végig” szorozzák, és az eredmény igen nagy számok is lehetnek. Ez az ár a megbízhatóságért.

Közös osztó módszer

Ez a technika segít jelentősen csökkenteni a számításokat, de sajnos meglehetősen ritkán használják. A módszer a következő:

Mielőtt egyenesen továbbmenne (azaz a keresztmetszeti módszerrel), vessen egy pillantást a nevezőkre. Talán az egyik (a nagyobb) fel van osztva a másikra.
Az ebből az osztásból kapott szám egy további tényező a kisebb nevezőjű törtnél.
Ebben az esetben a nagy nevezőjű törtet egyáltalán nem kell szorozni semmivel - itt rejlik a megtakarítás. Ugyanakkor a hiba valószínűsége jelentősen csökken.

Feladat. Keresse meg a kifejezések jelentését:

Vegye figyelembe, hogy 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Mivel mindkét esetben az egyik nevezőt maradék nélkül osztjuk a másikkal, a közös tényezők módszerét alkalmazzuk. Nekünk van:

Megjegyzendő, hogy a második törtet egyáltalán nem szorozták meg semmivel. Valójában felére csökkentjük a számítási mennyiséget!

Egyébként ebben a példában nem véletlenül vettem a törteket. Ha érdekli, próbálja meg számolni őket a keresztezés módszerével. A csökkentés után ugyanazok lesznek a válaszok, de sokkal több lesz a munka.

Ez a közös osztók módszerének hatványa, de ismét csak akkor használható, ha az egyik nevező maradék nélkül osztható a másikkal. Ami elég ritkán fordul elő.

A legkevésbé gyakori többszörös módszer

Amikor a törteket közös nevezőre redukáljuk, lényegében egy olyan számot keresünk, amely osztható az egyes nevezőkkel. Ekkor ehhez a számhoz hozzuk mindkét tört nevezőjét.

Nagyon sok ilyen szám van, és közülük a legkisebb nem feltétlenül lesz egyenlő az eredeti törtek nevezőinek közvetlen szorzatával, ahogyan azt a „keresztező” módszer feltételezi.

Például a 8-as és 12-es nevezőknél a 24-es szám megfelelő, mivel a 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Ez a szám sokkal kisebb, mint a 8 · 12 = 96 szorzat.

Az egyes nevezőkkel osztható legkisebb számot legkisebb közös többszörösüknek (LCM) nevezzük.

Jelölés: A és b legkisebb közös többszöröse LCM(a ; b) . Például LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8;12)=24.

Ha sikerül ilyen számot találni, a számítások teljes mennyisége minimális lesz. Nézd meg a példákat:

Feladat. Keresse meg a kifejezések jelentését:

Vegye figyelembe, hogy 234 = 117 2; 351 = 117 3. A 2-es és a 3-as faktor másodlagos (nincs más közös tényezője, mint az 1), és a 117-es faktor közös. Ezért LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Hasonlóképpen 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. A 3-as és 4-es faktor koprím, az 5-ös faktor gyakori. Ezért LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Most csökkentsük a törteket közös nevezőkre:

Figyelje meg, mennyire hasznos volt az eredeti nevezők faktorizálása:

Azonos tényezőket felfedezve azonnal a legkisebb közös többszöröshez jutottunk, ami általánosságban véve nem triviális probléma;
Az így kapott bővítésből megtudhatja, hogy mely tényezők „hiányoznak” az egyes törtekből. Például 234 · 3 = 702, ezért az első törthez a további tényező 3.

Ha szeretné megérteni, mekkora különbséget tesz a legkevésbé gyakori többszörös módszer, próbálja meg ugyanezeket a példákat a keresztezési módszerrel kiszámítani. Természetesen számológép nélkül. Szerintem ezek után feleslegesek lesznek a kommentek.

Ne gondolja, hogy a valódi példákban nem lesznek ilyen összetett törtek. Állandóan találkoznak, és a fenti feladatok nem szabnak határt!

Az egyetlen probléma az, hogyan lehet megtalálni ezt a NOC-ot. Néha minden néhány másodperc alatt megtalálható, szó szerint „szemmel”, de általában ez egy összetett számítási feladat, amely külön mérlegelést igényel. Erre itt nem térünk ki.

Különböző nevezőjű algebrai törtek összeadásakor és kivonásakor a törtek először közös nevező. Ez azt jelenti, hogy találnak egy nevezőt, amelyet elosztanak az adott kifejezésben szereplő minden algebrai tört eredeti nevezőjével.

Mint ismeretes, ha egy tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk (vagy osztjuk) ugyanazzal a nullától eltérő számmal, a tört értéke nem változik. Ez a tört fő tulajdonsága. Ezért amikor a törteket közös nevezőre redukáljuk, lényegében minden tört eredeti nevezőjét megszorozzák a hiányzó tényezővel, hogy közös nevezőt kapjanak. Ebben az esetben meg kell szoroznia a tört számlálóját ezzel a tényezővel (törtenként eltérő).

Például, ha az algebrai törtek összege a következő:

Szükséges a kifejezés egyszerűsítése, azaz két algebrai tört hozzáadása. Ehhez először is közös nevezőre kell hozni a tört tagokat. Az első lépés egy olyan monom megtalálása, amely osztható 3x-mal és 2y-vel is. Ebben az esetben kívánatos, hogy ez legyen a legkisebb, vagyis keresse meg a legkisebb közös többszöröst (LCM) 3x és 2y esetén.

A numerikus együtthatók és változók esetében az LCM-ben külön kell keresni. LCM(3, 2) = 6, és LCM(x, y) = xy. Ezután a talált értékeket megszorozzuk: 6xy.

Most meg kell határoznunk, hogy milyen tényezővel kell megszoroznunk 3x-ot, hogy 6xy-t kapjunk:
6xy ÷ 3x = 2y

Ez azt jelenti, hogy az első algebrai tört közös nevezőre való redukálásakor a számlálóját meg kell szorozni 2y-val (a közös nevezőre redukáláskor a nevezőt már megszoroztuk). Ugyanígy keressük a második tört számlálójának szorzóját is. 3x lesz.

Így kapjuk:

Ezután ugyanúgy járhat el, mint az azonos nevezőjű törteknél: adja össze a számlálókat, és írjon egy közös nevezőt:

A transzformációk után egy egyszerűsített kifejezést kapunk, amely egy algebrai tört, ami a két eredeti összege:

Az eredeti kifejezésben szereplő algebrai törtek olyan nevezőket tartalmazhatnak, amelyek polinomok, nem pedig monomiumok (mint a fenti példában). Ebben az esetben a közös nevező keresése előtt vegye figyelembe a nevezőket (ha lehetséges). Ezután a közös nevezőt különböző tényezőkből gyűjtik össze. Ha a szorzó több eredeti nevezőben van, akkor egyszer kell venni. Ha a szorzónak az eredeti nevezőiben eltérő hatványa van, akkor azt a nagyobbkal veszik. Például:

Itt az a 2 – b 2 polinom az (a – b)(a + b) szorzatként ábrázolható. A 2a – 2b tényezőt 2(a – b)-ként bővítjük. Így a közös nevező 2(a – b)(a + b) lesz.

A való életben közönséges törtekkel kell operálnunk. Ahhoz azonban, hogy összeadjuk vagy kivonjuk a különböző nevezőjű törteket, például 2/3 és 5/7, meg kell találnunk a közös nevezőt. A törteket közös nevezőre hozva könnyedén végezhetünk összeadási vagy kivonási műveleteket.

Meghatározás

A törtek az elemi számtan egyik legnehezebb témája, és a racionális számok megfélemlítik azokat a tanulókat, akik először találkoznak velük. Megszoktuk, hogy decimális formátumban írt számokkal dolgozunk. Sokkal könnyebb azonnal hozzáadni 0,71-et és 0,44-et, mint 5/7-et és 4/9-et. Hiszen a törtek összegzéséhez ezeket közös nevezőre kell redukálni. A törtek azonban sokkal pontosabban reprezentálják a mennyiségek jelentését, mint decimális megfelelőik, és a matematikában a sorozatok vagy irracionális számok törtként való megjelenítése válik prioritássá. Ezt a feladatot „kifejezés zárt formába hozásának” nevezik.

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét is szorozzuk vagy osztjuk ugyanazzal a tényezővel, akkor a tört értéke nem változik. Ez a törtszámok egyik legfontosabb tulajdonsága. Például a 3/4-es tört decimális formában 0,75-ként van írva. Ha a számlálót és a nevezőt megszorozzuk 3-mal, akkor a 9/12 törtet kapjuk, ami pontosan megegyezik 0,75-tel. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően a különböző törteket összeszorozhatjuk úgy, hogy mindegyiknek azonos nevezője legyen. Hogyan kell csinálni?

A közös nevező megtalálása

A legkisebb közös nevező (LCD) egy kifejezés összes nevezőjének legkisebb közös többszöröse. Háromféleképpen találhatunk ilyen számot.

A maximális nevező használata

Ez az egyik legegyszerűbb, de legidőigényesebb módszer az NCD-k keresésére. Először az összes tört nevezői közül írjuk ki a legnagyobb számot, és ellenőrizzük annak kisebb számokkal való oszthatóságát. Ha osztható, akkor a legnagyobb nevező az NCD.

Ha az előző műveletben a számok oszthatóak maradékkal, akkor a legnagyobbat meg kell szorozni 2-vel, és meg kell ismételni az oszthatósági próbát. Ha maradék nélkül osztjuk, akkor az új együttható NOS lesz.

Ha nem, akkor a legnagyobb nevezőt megszorozzuk 3-mal, 4-gyel, 5-tel és így tovább, amíg meg nem találjuk az összes tört alsó részének legkisebb közös többszörösét. A gyakorlatban ez így néz ki.

Legyen az 1/5, 1/8 és 1/20 törtek. Ellenőrizzük, hogy 20 osztható-e 5-tel és 8-cal. A 20 nem osztható 8-cal. Szorozzuk meg a 20-at 2-vel. Ellenőrizzük a 40-et 5-tel és 8-cal. A számok maradék nélkül oszthatók, ezért N3 (1/5, 1/8 és 1/20) = 40, és a törtek 8/40, 5/40 és 2/40 lesz.

Többszörösek szekvenciális keresése

A második módszer a többszörösek egyszerű keresése és a legkisebb kiválasztása. A többszörösek kereséséhez megszorozunk egy számot 2-vel, 3-mal, 4-gyel és így tovább, így a többszörösek száma a végtelenbe megy. Ez a sorozat korlátozható egy határértékkel, amely adott számok szorzata. Például a 12-es és 20-as számoknál az LCM a következőképpen található:

írjon le olyan számokat, amelyek a 12-24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120 többszörösei;
írjon le olyan számokat, amelyek 20-40, 60, 80, 100, 120 többszörösei;
közös többszörösek meghatározása - 60, 120;
válassza ki közülük a legkisebbet - 60-at.

Így 1/12 és 1/20 esetén a közös nevező 60, a törteket pedig 5/60-ra és 3/60-ra alakítjuk át.

Prímfaktorizálás

A LOC megtalálásának ez a módszere a legrelevánsabb. Ez a módszer az összes számot a törtek alsó részéből oszthatatlan tényezőkre bontja. Ezek után összeállítunk egy számot, amely tartalmazza az összes nevező tényezőit. A gyakorlatban ez így működik. Keressük meg az LCM-et ugyanannak a 12-es és 20-as párnak:

faktorizálás 12 - 2 × 2 × 3;
20 - 2 × 2 × 5 elrendezés;
a tényezőket úgy kombináljuk, hogy 12 és 20 számokat is tartalmazzon - 2 × 2 × 3 × 5;
szorozzuk meg az oszthatatlanokat, és kapjuk meg az eredményt - 60.

A harmadik pontban ismétlés nélkül kombináljuk a szorzókat, azaz elég két kettes ahhoz, hogy 12-t alkossunk hármassal, 20-at pedig ötössel.

Számológépünk lehetővé teszi, hogy meghatározza a NOZ-t tetszőleges számú törtre, mind közönséges, mind decimális formában. A NOS kereséséhez csak tabulátorral vagy vesszővel elválasztott értékeket kell megadnia, majd a program kiszámítja a közös nevezőt, és megjeleníti a konvertált törteket.

Példa az életből

Törtek hozzáadása

Tegyük fel, hogy egy aritmetikai feladatban öt törtet kell összeadnunk:

0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20

A megoldás manuálisan történne a következő módon. Először is a számokat egy jelölési formában kell ábrázolnunk:

0,75 = 75/100 = 3/4;
0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.

Most egy sor közönséges törtünk van, amelyeket ugyanarra a nevezőre kell csökkenteni:

3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20

Mivel 5 kifejezésünk van, a legegyszerűbb módszer a NOZ keresése a legnagyobb számmal. Ellenőrizzük, hogy a 20 osztható-e más számokkal. A 20 nem osztható 8-cal maradék nélkül. A 20-at megszorozzuk 2-vel, ellenőrizzük a 40 oszthatóságát - minden szám osztja a 40-et egy egésszel. Ez a közös nevezőnk. A racionális számok összegzéséhez minden törthez további tényezőket kell meghatároznunk, amelyeket az LCM és a nevező arányaként definiálunk. A további szorzók így fognak kinézni:

40/4 = 10;
40/5 = 8;
40/8 = 5;
40/4 = 10;
40/20 = 2.

Most megszorozzuk a törtek számlálóját és nevezőjét a megfelelő további tényezőkkel:

30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40

Egy ilyen kifejezéshez könnyen meghatározhatjuk a 85/40 vagy 2 egész és 1/8 összegét. Ez egy nehézkes számítás, így egyszerűen beírhatja a probléma adatait a számológép űrlapjába, és azonnal megkapja a választ.

Következtetés

A törtekkel végzett aritmetikai műveletek nem túl kényelmesek, mert a válasz megtalálásához sok köztes számítást kell elvégezni. Online számológépünk segítségével alakítsa át a törteket közös nevezővé, és gyorsan oldja meg az iskolai problémákat.