A nagyság hozzávetőleges értéke és a közelítések hibája. Módszertani utasítások a tanulók önálló munkájához. A mennyiségek hozzávetőleges értékei

Hozzávetőleges SZÁMOK ÉS MŰVELETEK AZOKRA

1. A mennyiség hozzávetőleges értéke. Abszolút és relatív hibák

A gyakorlati problémák megoldása általában a mennyiségek számértékeihez kapcsolódik. Ezeket az értékeket méréssel vagy számítással kapjuk. A legtöbb esetben a működtetendő mennyiségek értéke hozzávetőleges.

Legyen X - egy bizonyos mennyiség pontos értéke, és x - a legismertebb hozzávetőleges érték. Ebben az esetben a közelítés hibája (vagy hibája). x különbség határozza meg X-x. Általában ennek a hibának az előjele nem döntő, ezért abszolút értékét vesszük figyelembe:

A számot ebben az esetben hívjákmaximális abszolút hiba, vagy az x közelítés abszolút hibájának határa.

Így a közelítő szám maximális abszolút hibája x - bármely szám, amely nem kisebb, mint az abszolút hiba e x ez a szám.

Példa: Vegyünk egy számot. Ha hívszegy 8 bites MK mutatóján ennek a számnak a közelítését kapjuk: Próbáljuk meg kifejezni az érték abszolút hibáját. Gyakorlati számításra alkalmatlan végtelen törtet kaptunk. Nyilvánvaló azonban, hogy ezért a 0,00000006 = 0,6 * 10-7 szám helyett az MK által használt közelítés maximális abszolút hibájának tekinthető

A (2) egyenlőtlenség lehetővé teszi a pontos érték közelítését x hiány és többlet miatt:

Sok esetben az abszolút hibahatár értékeivalamint a legjobb közelítési értékeket X , mérések eredményeként kapjuk meg a gyakorlatban. Legyen például ugyanazon mennyiség ismételt mérésének eredményeként x kapott értékek: 5,2; 5,3; 5,4; 5.3. Ebben az esetben természetes, hogy az átlagértéket vesszük a mért érték legjobb közelítésének x = 5.3. Az is nyilvánvaló, hogy a mennyiség határértékei x ebben az esetben lesz NG X = 5,2, VG ​​​​X = 5.4, ​​és az abszolút hibahatár x a határértékek által alkotott intervallum feleként definiálható NG X és VG X,

azok.

Az abszolút hiba nem tudja teljes mértékben megítélni a mérések vagy számítások pontosságát. A közelítés minőségét az érték jellemzirelatív hiba,amelyet hibaarányként definiálunk e x érték modulhoz x (ha ismeretlen, akkor a közelítő modulhoz X ).

Maximális relatív hiba(vagy relatív hibahatár)A közelítő szám a maximális abszolút hiba és a közelítés abszolút értékének aránya X :

A relatív hibát általában százalékban fejezik ki.

Példa Határozzuk meg az x=3,14 szám maximális hibáit π közelítő értékeként. Mivel π=3,1415926…, akkor |π-3,14|

1. Igaz és értelmes számok. Hozzávetőleges értékek rögzítése

A szám számjegyét hívják igaz (tág értelemben), ha abszolút hibája nem haladja meg az egy számjegyet, inamit ez a szám jelöl.

Példa. X=6,328 X=0,0007 X

Példa: A). Legyen 0 = 2,91385, számban A A 2, 9, 1 számok tág értelemben helyesek.

B) Vegyük közelítésként a szám = 3,141592... számot= 3.142. Ekkor (ábra) következik, hogy a közelítő = 3,142 értékben minden szám helyes.

C) Számítsuk ki a pontos 3.2 és 2.3 számok hányadosát egy 8 bites mikrokontrolleren, és kapjuk meg a választ: 1.3913043. A válasz hibát tartalmaz, mert

Rizs. A π szám közelítése

Az MK-számjegyrács nem tartalmazta az eredmény összes számjegyét, és a nyolcadiktól kezdődő összes számjegy kimaradt. (A válasz pontatlanságát a szorzással való osztás ellenőrzésével könnyű ellenőrizni: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Az elkövetett hiba valódi értékének ismerete nélkül a számológép ilyen helyzetben mindig biztos lehet benne, hogy értéke nem haladja meg az egyet a legfiatalabb az eredmény számjegyjelzőn láthatók közül. Ezért a kapott eredményben minden szám helyes.

Az első eldobott (helytelen) számjegyet gyakran hívják kétes.

Azt mondják, hogy a hozzávetőleges adat meg van írva Jobb, ha a rekordjában szereplő összes szám helyes. Ha egy számot helyesen írunk le, akkor pusztán tizedes törtként írva meg tudja ítélni a szám pontosságát. Írjunk fel például egy hozzávetőleges számot a = 16.784, amelyben minden szám helyes. Abból, hogy az ezredik helyen álló utolsó 4-es számjegy helyes, az következik, hogy az érték abszolút hibája A nem haladja meg a 0,001-et. Ez azt jelenti, hogy el tudja fogadni i.e. a = 16,784±0,001.

Nyilvánvaló, hogy a közelítő adatok helyes rögzítése nem csak lehetővé teszi, hanem kötelezi is a nullák lejegyzését az utolsó számjegyekbe, ha ezek a nullák a helyes számok kifejezései. Például a bejegyzésben= 109.070 A nulla végződése azt jelenti, hogy az ezred számjegy helyes és nullával egyenlő. Az érték maximális abszolút hibája, szócikkből következik, tekinthetjük Összehasonlításképpen láthatjuk, hogy az érték c = A 109.07 kevésbé pontos, mivel a jelöléséből ezt kell feltételeznünk

Jelentős számokegy szám jelölésénél a nullától eltérő decimális ábrázolású összes számjegyet hívják, és nullákat, ha azok jelentős számjegyek között helyezkednek el, vagy a végén jelennek meg a helyes előjelek kifejezésére.

Példa a) 0,2409 - négy jelentős szám; b) 24,09 - négy jelentős szám; c) 100.700 – hat jelentős számjegy.

A számértékek számítógépben történő kiadása általában úgy van megtervezve, hogy a számrekord végén lévő nullák, még ha helyesek is, nem kerülnek jelentésre. Ez azt jelenti, hogy ha például a számítógép a 247,064 eredményt mutatja, és egyúttal ismert, hogy ennek az eredménynek nyolc jelentős számjegyet kell tartalmaznia, akkor a kapott választ ki kell egészíteni nullákkal: 247,06400.

A számítások során gyakran előfordulszámok kerekítése,azok. a számokat a jelentésükkel helyettesítve kevesebb jelentős számmal. A kerekítés egy kerekítési hibának nevezett hibát okoz. Hadd x egy adott szám, x 1 - a kerekítés eredménye. A kerekítési hiba a szám előző és új értéke közötti különbség modulusa:

Egyes esetekben a ∆ helyett okr felső határát kell használnunk.

Példa Végezzünk el 1/6-os akciót egy 8 bites MK-n. Az indikátor a 0,1666666 számot jeleníti meg. A 0,1(6) végtelen tizedes tört automatikusan kerekítésre került az MK regiszterbe illő számjegyek számára. Ebben az esetben lehetséges az elfogadás

A szám számjegyét hívjákszoros értelemben igazha ennek a számnak az abszolút hibája nem haladja meg annak a számjegynek a felét, amelyben ez a szám szerepel.

A hozzávetőleges számok írásának szabályai.

1. A hozzávetőleges számokat x ± formában írjuk x. Írd fel X = x ±  x azt jelenti, hogy az ismeretlen X mennyiség kielégíti a következő egyenlőtlenségeket: x- x  x

Ebben az esetben a hiba x ajánlatos úgy kiválasztani, hogy

a) a  bejegyzésben x nem volt több 1-2 szignifikáns számjegynél;

b) kisrendű számjegyek az x és a számok jelölésében x egymásnak felelt meg.

Példák: 23,4±0,2; 2,730±0,017; -6,97 0,10.

1. Egy hozzávetőleges szám felírható anélkül, hogy kifejezetten jeleznénk a maximális abszolút hibáját. Ebben az esetben a jelölése (mantissza) csak helyes számjegyeket tartalmazhat (a tág értelemben, hacsak másképp nem jelezzük). Ezután magának a számnak a rögzítésével meg lehet ítélni annak pontosságát.

Példák. Ha az A=5,83 számban minden szám a szoros értelemben vett helyes, akkor A=0,005. A B=3,2 írás arra utal B=0,1. A C=3200 jelölésből pedig arra következtethetünk C=0,001. Így a közelítő számítások elméletének 3.2 és 3.200 bejegyzései nem ugyanazt jelentik.

Egy hozzávetőleges szám rekordjában szereplő számokat, amelyekről nem tudjuk, hogy igazak-e vagy sem, hívjuk kétséges. A számítások pontosságának megőrzése érdekében kétes számokat (egyet vagy kettőt) hagyunk a közbenső eredmények nyilvántartásában. A végeredményben a kétes számokat elvetik.

Számok kerekítése.

1. Kerekítési szabály. Ha az eldobott számjegyek közül a legjelentősebb ötnél kisebb számjegyet tartalmaz, akkor a szám tárolt számjegyeinek tartalma nem változik. Ellenkező esetben a legkisebb jelentőségű tárolt számjegyhez hozzáadódik a számmal azonos előjelű szám.
2. Az x± alakban írt szám kerekítésekor x, maximális abszolút hibája a kerekítési hiba figyelembevételével nő.

Példa: Kerekítsük a 4,5371±0,0482 számot a legközelebbi századra. Helytelen lenne 4,54±0,05-öt írni, mivel a kerekített szám hibája az eredeti szám hibájának és a kerekítési hibának az összege. Ebben az esetben ez egyenlő 0,0482 + 0,0029 = 0,0511. A hibákat mindig kerekíteni kell, így a végső válasz 4,54±0,06.

Példa Engedj be hozzávetőleges érték a = 16 395 Tág értelemben minden szám helyes. Kerekítsük felés századokra: a 1 = 16,40. Kerekítési hiba A teljes hiba megállapításáhozhozzá kell adni az eredeti érték hibájával a 1 amely ebben az esetben abból a feltételből kereshető, hogy minden szám a rekordban A helyes: = 0,001. És így, . Ebből következik, hogy beértéke 1 = 16,40 a 0 a szoros értelemben vett szám nem helyes.

1. Aritmetikai műveletek hibáinak számítása

1. Összeadás és kivonás. Az algebrai összeg maximális abszolút hibája a kifejezések megfelelő hibáinak összege:

F.1  (X+Y) =  X +  Y,  (X-Y) =  X +  Y.

Példa. A hozzávetőleges X = 34,38 és Y = 15,23 számok adottak, minden szám helyes a szó szoros értelmében. megtalálja (X-Y) és  (X-Y). Az F.1 képlet segítségével a következőket kapjuk:

 (X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.

A relatív hibát a kapcsolódási képlet segítségével kapjuk meg:

2. Szorzás és osztás. Ha  X Y

F.2  (X · Y) =  (X/Y) =  X +  Y.

Példa. Keresse meg  (X Y) és  (X·Y) az előző példában szereplő számokhoz. Először is, az F.2 képlet segítségével megtaláljuk (X Y):

 (X Y)=  X +  Y=0,00015+0,00033=0,00048

Most  (X·Y) a következő kapcsolódási képlet segítségével található:

 (X·Y) = |X·Y|·  (X Y) = |34,38 -15,23| 0,26 .

3. Hatványozás és gyökérkivonás. Ha  X

F Z

4. Egy változó függvénye.

Legyen egy f(x) analitikus függvény és egy közelítő c ± szám Val vel. Ezután a következővel jelölve kis növekmény az érv, írhat

Ha f "(c)  0, akkor az f(c+) függvény növekménye ) - f(c) a differenciáljával becsülhető meg:

f(c+  ) - f(c)  f "(c) ·  .

Ha a hiba c elég kicsi, végül a következő képletet kapjuk:

F.4  f(c) = |f "(s)|·  s.

Példa. Adott f(x) = arcsin x, c = 0,5, c = 0,05. Kiszámítja f(c).

Alkalmazzuk az F.4 képletet:

5. Több változó funkciója.

Több változóból álló f(x1, ... , xn) függvényre, ahol xk= ck ± ck, az F.4-hez hasonló képlet érvényes:

Ф.5  f(c1, ... ,сn)  l df(c1, ... ,сn) | = |f "x1 (c1)|· с1+... + |f "xn (сn)|·  сn.

Példa Legyen x = 1,5, és i.e. minden számjegy a számban x szoros értelemben igaz. Számítsuk ki a tg értékét x . Az MK használatával a következőt kapjuk: tgl,5= 14.10141994. A helyes számok meghatározásához az eredményben megbecsüljük annak abszolút hibáját: ebből következik, hogy a kapott tgl,5 értékben egyetlen szám sem tekinthető helyesnek.

1. Módszerek a közelítő számítások hibájának becslésére

Léteznek szigorú és nem szigorú módszerek a számítási eredmények pontosságának értékelésére.

1. Szigorú szummatív értékelési módszer. Ha a közelítő számításokat viszonylag egyszerű képlettel végezzük, akkor az F.1-F.5 képletekkel és a hibakapcsolati képletekkel levezethető a végső számítási hiba képlete. A módszer lényegét a képlet levezetése és a számítási hiba becslése adja.

Példaértékek a = 23,1 és b = 5,24 a szoros értelemben vett számokban adható meg. Számítsa ki egy kifejezés értékét

MK használatával kapjuk B = 0,2921247. A hányados és a szorzat relatív hibáinak képleteivel írjuk:

Azok.

MK használatával 5-öt kapunk, ami ad. Ez azt jelenti, hogy ennek eredményeként a tizedesvessző utáni két számjegy a szoros értelemben vett helyes: B = 0,29 ± 0,001.

2. A hibák szigorú operatív elszámolásának módja. Néha a szummatív értékelési módszer alkalmazása túlságosan nehézkes képletet eredményez. Ebben az esetben célszerűbb lehet ezt a módszert használni. Ez abban rejlik, hogy az egyes számítási műveletek pontosságát ugyanazokkal az F.1-F.5 képletekkel és a kapcsolódási képletekkel külön-külön értékelik.

3. A helyes számok megszámlálásának módszere. Ez a módszer nem szigorú. Az általa biztosított számítási pontosság becslése elvileg nem garantált (ellentétben a szigorú módszerekkel), de a gyakorlatban meglehetősen megbízható. A módszer lényege, hogy minden számítási művelet után a következő szabályok szerint határozzuk meg a kapott szám helyes számjegyeinek számát.

P.1 . A hozzávetőleges számok összeadásakor és kivonásakor az eredményül kapott számokat akkor kell helyesnek tekinteni, ha tizedesjegyeik minden kifejezésben a helyes számoknak felelnek meg. Az összes többi számjegyet a legjelentősebb kivételével minden tekintetben kerekíteni kell az összeadás vagy kivonás előtt.

P.2. A közelítő számok szorzásakor és osztásakor az eredményt annyi jelentős számjegyűnek kell tekinteni, amennyi a legkevesebb helyes számjegyet tartalmazó közelítő adatnak van. Mielőtt végrehajtaná ezeket a lépéseket, a hozzávetőleges adatok közül ki kell választania a legkevesebb számjegyű számot, és a fennmaradó számokat kerekíteni kell úgy, hogy csak eggyel több legyen, mint ez.

P.Z. Négyzetre emelésnél vagy kockázásnál, valamint négyzet- vagy kockagyök kinyerésekor az eredményt annyi jelentõs számjegynek kell helyesnek tekinteni, ahány helyes jelentõs számjegy volt az eredeti számban.

P.4. A függvény kiszámításakor kapott helyes számjegyek száma a derivált modul nagyságától és az argumentumban szereplő helyes számjegyek számától függ. Ha a derivált modulusa közel van a 10k számhoz (k egész szám), akkor ennek eredményeként a tizedesponthoz viszonyított helyes számjegyek száma k-val kevesebb (ha k negatív, akkor több), mint amennyi volt érv. Ebben a laboratóriumi munkában a határozottság kedvéért elfogadjuk azt az egyetértést, hogy a derivált modulusát 10k-hoz közelinek tekintjük, ha az egyenlőtlenség teljesül:

0,2·10K  2·10k .

P.5. A közbenső eredményekben a helyes számadatokon kívül egy megkérdőjelezhető számjegyet kell hagyni (a fennmaradó kétes számok kerekíthetők), a számítások pontosságának megőrzése érdekében. Csak a helyes számok maradnak a végeredményben.

Számítások határmódszerrel

Ha egy számított érték lehetséges értékeinek abszolút garantált határaira van szüksége, használjon speciális számítási módszert - a határok módszerét.

Legyen f(x, y) - olyan függvény, amely folytonos és monoton a megengedett argumentumértékek bizonyos tartományában x és y. Meg kell találnunk az értékét f(a, b), ahol a és b az érvek hozzávetőleges értékei, és ez megbízhatóan ismert

Itt NG, VG a paraméterértékek alsó, illetve felső határának jelölése. Tehát a kérdés az, hogy szigorú korlátokat találjunk a jelentésnek f(a, b), ismert értékhatárokon a és b.

Tegyük fel, hogy a függvény f(x, y) minden érvnél növekszik x és y. Akkor

f (NG a, NG b f(a, b) f (VG a VG b ).

Legyen f(x, y) növekszik az érvelés x és csökken az érveléshez képest nál nél . Akkor az egyenlőtlenség szigorúan garantált lesz

Most, hogy egy személy számítógépes berendezések (különféle számológépek, számítógépek stb.) Hatékony arzenáljával rendelkezik, a közelítő számítások szabályainak betartása különösen fontos, hogy ne torzuljon az eredmény megbízhatósága.

Bármilyen számítás elvégzésekor emlékeznie kell az eredmény pontosságára, amelyet meg lehet vagy kell (ha megállapított) kapni. Ezért elfogadhatatlan, hogy a számításokat nagyobb pontossággal végezzük el, mint amit a fizikai probléma adatai megkövetelnek, vagy a kísérleti feltételek megkövetelik1. Például két megbízható (jelentős) számjegyű fizikai mennyiségek számértékeivel végzett matematikai műveletek végrehajtása során nem írhatja le a számítások eredményét olyan pontossággal, amely meghaladja a két megbízható számjegy határait, még akkor sem, ha a végén több van belőlük.

A fizikai mennyiségek értékét fel kell írni, csak a megbízható eredmény jeleit kell megjegyezni. Például, ha a 39 600-as számértéknek három megbízható számjegye van (az eredmény abszolút hibája 100), akkor az eredményt 3,96 104 vagy 0,396 105 értékként kell felírni. Megbízható számjegyek számításakor a számtól balra lévő nullák nem veszik figyelembe.

Ahhoz, hogy a számítási eredmény helyes legyen, kerekíteni kell, csak a mennyiség valódi értéke marad meg. Ha egy mennyiség numerikus értéke extra (megbízhatatlan) számjegyeket tartalmaz, amelyek meghaladják a megadott pontosságot, akkor az utolsó tárolt számjegyet 1-gyel növeljük, feltéve, hogy a többlet (extra számjegyek) egyenlő vagy nagyobb, mint a következő számjegy értékének a fele. a szám.

Különböző számértékekben a nulla lehet megbízható vagy megbízhatatlan szám. Tehát a b) példában megbízhatatlan, a d) példában pedig megbízható és jelentős. A fizikában, ha egy fizikai mennyiség számértéke számjegyének megbízhatóságát akarják hangsúlyozni, akkor annak standard kifejezésében „0”-t jeleznek. Például 2,10 10-3 kg tömegérték rögzítése az eredmény három megbízható számjegyét és a megfelelő mérési pontosságot jelzi, a 2,1 10-3 kg-os érték pedig csak két megbízható számjegyet.

Emlékeztetni kell arra, hogy a fizikai mennyiségek számértékeivel végzett műveletek eredménye egy hozzávetőleges eredmény, amely figyelembe veszi a számítási pontosságot vagy a mérési hibát. Ezért a hozzávetőleges számítások elvégzésekor a következő szabályokat kell követnie a megbízható számok kiszámításához:

1. Fizikai mennyiségek számértékeivel végzett aritmetikai műveletek során annyi megbízható előjelet kell venni, ahány numerikus érték van a legkevesebb megbízható előjellel.

2. Minden közbenső számításnál eggyel több számjegyet kell megtartani, mint a legkevesebb megbízható számjegyet tartalmazó számérték. Végül ezt a „kiegészítő” figurát a kerekítéssel el kell dobni.

3. Ha egyes adatoknak megbízhatóbb előjelei vannak, mint másoknak, akkor először kerekíteni kell az értékeket (elmenthet egy „felesleges” számjegyet), majd végre kell hajtani a műveleteket.

A legtöbb esetben a feladatok számszerű adatai hozzávetőlegesek. Feladatkörülmények között pontos értékek is előfordulhatnak, például kis számú objektum megszámlálásának eredménye, néhány konstans stb.

Egy szám hozzávetőleges értékének jelzéséhez használja a közelítő egyenlőségjelet; így olvassa el: „megközelítőleg egyenlő” (nem szabad így olvasni: „megközelítőleg egyenlő”).

A numerikus adatok természetének megismerése minden probléma megoldásának fontos előkészítő szakasza.

A következő irányelvek segíthetnek a pontos és hozzávetőleges számok felismerésében:

Végrehajtás a következő feladatokat, válaszát táblázatos formában formázza:

1. Jelölje meg, hogy a megadott értékek közül melyek pontosak és melyek közelítőek:

1) A víz sűrűsége (4 C)……………………………………………………1000kg/m3

2) Hangsebesség (0 C)…………………………………………….332 m/s

3) A levegő fajlagos hőkapacitása………………………………1,0 kJ/(kg∙K)

4) A víz forráspontja…………………………………………….100 C

5) Avogadro állandó………………………………………………..6.02∙10 23 mol -1

6) Az oxigén relatív atomtömege……………………………………..16

2. Keresse meg a pontos és közelítő értékeket a következő problémákban:

1) Gőzgépben egy bronz orsó, amelynek hossza és szélessége 200, illetve 120 mm, 12 MPa nyomást fejt ki. Határozza meg az orsó mozgatásához szükséges erőt a henger öntöttvas felületén. A súrlódási együttható 0,10.

2) Határozza meg egy elektromos lámpa izzószálának ellenállását a következő jelölésekkel: „220V, 60 W”.

3. Milyen – pontos vagy hozzávetőleges – válaszokat kapunk az alábbi feladatok megoldása során?

1) Mekkora a szabadon eső test sebessége a 15. másodperc végén, feltételezve, hogy az időintervallum pontosan meg van adva?

2) Mekkora a szíjtárcsa fordulatszáma, ha az átmérője 300 mm, a forgási sebessége pedig 10 rps? Tekintse az adatokat pontosnak.

3) Határozza meg az erőmodulust! Skála 1 cm – 50N.

4) Határozza meg a statikus súrlódási együtthatót egy ferde síkon lévő testre, ha a test egyenletesen csúszni kezd a lejtő mentén = 0,675, ahol a sík dőlésszöge.

Az elméleti és alkalmazott kutatások széles skálájában széles körben alkalmazzák a matematikai modellezési módszereket, amelyek egy adott kutatási területen a problémák megoldását a megfelelő (vagy megközelítőleg megfelelő) matematikai problémák megoldására redukálják. Ezeknek a feladatoknak a megoldását kell hozni a numerikus eredmény eléréséhez (különböző típusú mennyiségek számítása, különféle típusú egyenletek megoldása stb.). A számítási matematika célja algoritmusok kidolgozása számos matematikai probléma numerikus megoldására. A módszereket úgy kell megtervezni, hogy azokat a modern számítástechnika segítségével hatékonyan lehessen megvalósítani. A vizsgált problémák általában nem teszik lehetővé a pontos megoldást, ezért közelítő megoldást adó algoritmusok fejlesztéséről beszélünk. Ahhoz, hogy egy probléma ismeretlen pontos megoldását egy közelítő megoldással le lehessen cserélni, szükséges, hogy az utóbbi kellően közel álljon a pontos megoldáshoz. Ebben a tekintetben fel kell mérni a közelítő megoldás közelségét a pontos megoldáshoz, és közelítő módszereket kell kidolgozni olyan közelítő megoldások megalkotására, amelyek a kívánt módon közel állnak a pontos megoldásokhoz.

Sematikusan a számítási folyamat a következő: adott értékre x(numerikus, vektoros stb.) kiszámítja valamilyen függvény értékét Fejsze). Egy mennyiség pontos és közelítő értéke közötti különbséget nevezzük hiba. Pontos értékszámítás Fejsze)általában lehetetlen, és a funkció (művelet) cseréjére kényszeríti A hozzávetőleges ábrázolása à , ami kiszámítható: a mennyiség kiszámítása Fejsze), helyébe a számítás- Fejsze) A(x) - Ã(x) hívott módszer hiba. Ennek a hibának a becslésére szolgáló módszert az érték kiszámítására szolgáló módszer kidolgozásával együtt kell kidolgozni Fejsze). A közelítés megalkotásának lehetséges módszerei közül azt kell használni, amely a rendelkezésre álló eszközök és lehetőségek ismeretében a legkisebb hibát adja.

Érték érték x, azaz a kiindulási adatokat a valós feladatokban vagy közvetlenül mérésekből, vagy az előző számítási szakasz eredményeként kapjuk. Ezekben az esetekben csak hozzávetőleges érték kerül meghatározásra xo mennyiségeket x. Ezért az érték helyett Fejsze) csak hozzávetőleges érték számítható ki Ã(x o). Az ebből eredő hiba A(x) - Ã(x o) hívott helyrehozhatatlan. A számítások során elkerülhetetlen kerekítések eredményeként az érték helyett Ã(x o)„kerekített” értékét számítják ki, ami a megjelenéshez vezet kerekítési hibák Ã(x o)- . A teljes számítási hiba egyenlőnek bizonyul Fejsze) - .

Jelenítsük meg a teljes hibát az űrlapban

Fejsze) - = [A(x) - ] + [ - Ã(x o)] +

+ [Ã(x o) - ] (1)

Az utolsó egyenlőség azt mutatja, hogy a teljes számítási hiba egyenlő a módszerhiba, a végzetes hiba és a kerekítési hiba összegével. A hiba első két összetevője a számítások megkezdése előtt megbecsülhető. A kerekítési hiba csak a számítások során kerül értékelésre.

Tekintsük a következő feladatokat:

a) a közelítő számok pontosságának jellemzője

b) az eredmény pontosságának értékelése a kezdeti adatok ismert pontossága mellett (a végzetes hiba becslése)

c) a forrásadatok megkívánt pontosságának meghatározása az eredmény meghatározott pontosságának biztosítása érdekében

d) a forrásadatok és számítások pontosságának egyeztetése a rendelkezésre álló számítástechnikai eszközök képességeivel.

4 Mérési hibák

4.1 Fizikai mennyiségek valós és tényleges értékei. Mérési hiba. A mérési hibák okai

A mérések elemzésekor két fogalmat kell egyértelműen megkülönböztetni: a fizikai mennyiségek valódi értékeit és empirikus megnyilvánulásait - a mérési eredményeket.

A fizikai mennyiségek valódi értékei - ezek olyan értékek, amelyek ideálisan tükrözik egy adott objektum tulajdonságait, mind mennyiségileg, mind minőségileg. Nem függenek a mérési eszközöktől, és az abszolút igazság, amelyre a mérések során törekednek.

Éppen ellenkezőleg, a mérési eredmények a megismerés termékei. A mérések eredményeként talált mennyiségek értékére vonatkozó hozzávetőleges becslések a mérési módszertől, a mérőműszerektől és egyéb tényezőktől függenek.

Mérési hiba az x mérési eredmény és a mért mennyiség valódi Q értéke közötti különbséget nevezzük:

Δ= x – Q (4.1)

Mivel azonban a mért mennyiség valódi Q értéke ismeretlen, a mérési hiba meghatározásához a (4.1) képletben a valódi érték helyett az ún. valós értéket helyettesítik.

Alatt a mért mennyiség tényleges értéke jelentése alatt azt értjük, amit kísérletileg találtak, és olyan közel van a valódi értékhez, hogy egy adott célra használható helyette.

A hibák okai: a mérési módszerek, a mérőműszerek és a megfigyelő érzékszervei tökéletlenségei. Külön csoportba kell foglalni a mérési feltételek befolyásával kapcsolatos okokat. Ez utóbbi kétféleképpen nyilvánul meg. Egyrészt minden fizikai mennyiség, amely a mérésekben bármilyen szerepet játszik, bizonyos fokig függ egymástól. Ezért a külső körülmények változásával a mért mennyiségek valódi értékei megváltoznak. Másrészt a mérési körülmények befolyásolják mind a mérőműszerek jellemzőit, mind a megfigyelő érzékszerveinek élettani tulajdonságait, és ezen keresztül mérési hibák forrásává válnak.

4.2 A mérési hibák osztályozása változásuk jellegétől függően

A leírt hibaokok nagyszámú tényező kombinációja, amelyek hatására kialakul a teljes mérési hiba. Két fő csoportba sorolhatók.

Az első csoportba azok a tényezők tartoznak, amelyek rendszertelenül jelennek meg és hirtelen eltűnnek, vagy nehezen megjósolható intenzitással jelennek meg. Ide tartoznak például a befolyásoló mennyiségek kis ingadozásai (hőmérséklet, környezeti nyomás stb.). Az ebbe a csoportba tartozó tényezők hatására fellépő teljes mérési hiba részaránya vagy összetevője határozza meg a véletlenszerű mérési hibát.

És így, véletlenszerű mérési hiba - a mérési hiba olyan összetevője, amely azonos mennyiség ismételt mérése során véletlenszerűen változik.

A mérőműszerek megalkotásakor és a mérési folyamat egészének megszervezésekor a véletlenszerű mérési hibát meghatározó tényezők megnyilvánulásának intenzitása általános szintre csökkenthető úgy, hogy ezek többé-kevésbé egyformán befolyásolják a véletlenszerűség kialakulását. hiba. Azonban ezek egy része, például a táphálózat hirtelen feszültségesése, váratlanul erősnek tűnhet, aminek következtében a hiba olyan méreteket vesz fel, amelyek egyértelműen túllépik a mérési kísérlet során meghatározott határokat. . Az ilyen hibákat a véletlen hibán belül nevezzük durva . Szorosan mellettük hiányzik - a megfigyelőtől függő hibák, amelyek a mérőműszerek nem megfelelő kezelésével, hibás leolvasással vagy az eredmények rögzítésének hibájával járnak.

A második csoportba olyan tényezők tartoznak, amelyek állandóak vagy a mérési kísérlet során természetesen változnak, például a befolyásoló mennyiségek egyenletes változásai. A teljes mérési hiba e csoportba tartozó tényezők hatására keletkező összetevője határozza meg a szisztematikus mérési hibát.

És így, szisztematikus mérési hiba - a mérési hiba olyan összetevője, amely állandó marad, vagy azonos mennyiségű ismételt méréssel természetesen változik.

A mérési folyamat során a leírt hibakomponensek egyszerre jelennek meg, és a teljes hiba összegként ábrázolható

, (4.2)

Ahol - véletlenszerű, és Δ s - szisztematikus hibák.

A mennyiségek valódi értékétől minimálisan eltérő eredmények elérése érdekében a mért mennyiség többszöri megfigyelését, majd a kísérleti adatok feldolgozását követik. Ezért nagy jelentősége van a hiba vizsgálatának a megfigyelési szám függvényében, i.e. idő A(t). Ezután az egyedi hibaértékek a függvény értékkészleteként értelmezhetők:

Δ1 = Δ(t 1), Δ 2 = Δ(t 2),..., Δ n = Δ(t n).

Általános esetben a hiba az idő véletlenszerű függvénye, amely abban különbözik a matematikai elemzés klasszikus függvényeitől, hogy nem lehet megmondani, milyen értéket vesz fel t i időpontban. Csak értékei előfordulásának valószínűségét jelezheti egy adott intervallumban. A számos ismételt megfigyelésből álló kísérletsorozatban ennek a függvénynek egy megvalósítását kapjuk. Ha megismételjük a sorozatot a második csoport tényezőit jellemző mennyiségek azonos értékeivel, akkor elkerülhetetlenül egy új, az elsőtől eltérő megvalósítást kapunk. A megvalósítások az első csoport tényezőinek hatása miatt különböznek egymástól, a második csoport olyan tényezői, amelyek mindegyik megvalósításban egyformán megnyilvánulnak, közös vonást adnak nekik (4.1. ábra).

Az egyes t i időpillanatoknak megfelelő mérési hibát a Δ(t) véletlenfüggvény keresztmetszetének nevezzük. Minden szekcióban megtalálható a Δ s (t i) átlagos hibaérték, amely köré csoportosulnak a különféle implementációk hibái. Ha az így kapott Δ s (t i) pontokon sima görbét húzunk, akkor az a hiba általános időbeli változásának trendjét fogja jellemezni. Könnyen észrevehető, hogy a Δ s (tj) átlagértékeit a második csoport tényezőinek hatása határozza meg, és szisztematikus mérési hibát jelent t i időpontban, valamint Δ j (t j) eltéréseit az átlagos értéktől. a j-edik megvalósításnak megfelelő t i keresztmetszetben adjuk meg a véletlenszerű hibák értékét. Így az egyenlőség érvényesül

(4.3)

4.1. ábra

Tegyük fel, hogy Δ s (t i) = 0, azaz. a szisztematikus hibákat ilyen vagy olyan módon kizárják a megfigyelési eredményekből, és csak a véletlenszerű hibákat vesszük figyelembe, amelyek átlagos értéke minden szakaszban nulla. Tételezzük fel, hogy a véletlenszerű hibák a különböző szakaszokban nem függnek egymástól, pl. az egyik szakasz véletlenszerű hibájának ismerete nem ad további információt arról, hogy ez a felismerés mekkora értéket vett fel egyik szakaszban sem, és hogy a véletlenszerű hibák összes valószínűségelméleti jellemzői, amelyek minden szakaszban egy realizáció értékei , egybeesnek egymással. Ekkor a véletlenszerű hiba egy valószínűségi változónak tekinthető, és értékei ugyanazon fizikai mennyiség többszörös megfigyelésénél a független megfigyelések eredményének tekinthetők.

Ilyen körülmények között a véletlenszerű mérési hiba a korrigált XI mérési eredmény (amely nem tartalmaz szisztematikus hibát) és a mért mennyiség valódi Q értéke közötti különbséget jelenti:

Δ = X ÉS –Q 4,4)

Sőt, a korrigált mérési eredmény az lesz, amelyből a szisztematikus hibák kizárásra kerülnek.

Ilyen adatokat általában a mérőműszerek ellenőrzésekor kapunk korábban ismert mennyiségek mérésével. A mérések során a mért mennyiség valódi értékének becslése a cél, amely a kísérlet előtt nem ismert. A mérési eredmény a valódi értéken kívül véletlenszerű hibát is tartalmaz, ezért maga is egy valószínűségi változó. Ilyen körülmények között a hitelesítés során kapott véletlen hiba tényleges értéke még nem jellemzi a mérések pontosságát, így nem világos, hogy milyen értéket vegyünk végső mérési eredménynek, és hogyan jellemezzük annak pontosságát.

Ezekre a kérdésekre a matematikai statisztika olyan módszereivel kaphatunk választ, amelyek kifejezetten a valószínűségi változókkal foglalkoznak a megfigyelési eredmények feldolgozásakor.

4.3 A mérési hibák osztályozása az előfordulásuk okától függően

Előfordulásuk okától függően a következő hibacsoportokat különböztetjük meg: módszertani, instrumentális, külső és szubjektív.

Számos mérési módszerrel kimutatható módszertani hiba , ami bizonyos feltételezések és leegyszerűsítések, empirikus képletek használatának és funkcionális függőségeknek a következménye. Egyes esetekben az ilyen feltételezések hatása jelentéktelennek bizonyul, pl. sokkal kisebb, mint a megengedett mérési hibák; más esetekben meghaladja ezeket a hibákat.

A módszertani hibákra példa az elektromos ellenállás ampermérővel és voltmérővel történő mérési módszerének hibái (4.2. ábra). Ha az R x ellenállást az Ohm-törvény R x =U v /I a képlete határozza meg, ahol U v a V voltmérővel mért feszültségesés; I a az A ampermérővel mért áramerősség, akkor mindkét esetben megengedettek a módszertani mérési hibák.

A 4.2a ábrán az ampermérővel mért I a áram az ellenállással párhuzamosan kapcsolt voltmérő I v áramának értékével nagyobb lesz, mint az R x ellenállási áram. A fenti képlettel számított R x ellenállás kisebb lesz, mint a tényleges. A 4.2.6. ábrán a V voltmérővel mért feszültség nagyobb lesz, mint az U r feszültségesés az R x ellenállásban U a értékkel (feszültségesés az A ampermérő ellenállásán). Az Ohm-törvény képletével számított ellenállás R a értékkel (az ampermérő ellenállása) nagyobb lesz, mint az R x ellenállás. A korrekciók mindkét esetben könnyen kiszámíthatók, ha ismerjük a voltmérő és az ampermérő ellenállását. A korrekciókat nem kell elvégezni, ha azok lényegesen kisebbek, mint az R x ellenállásmérés megengedett hibája, például ha az első esetben a voltmérő ellenállása jelentősen b

Nagyobb, mint R x, és a második esetben Ra lényegesen kisebb, mint R x.

4.2. ábra

A módszertani hiba előfordulásának másik példája a geometriailag helyes alakot feltételezett testek térfogatának mérése a méretek egy vagy nem elegendő számú helyen történő megmérésével, például a test térfogatának mérésével. egy szoba a hossz, a szélesség és a magasság három irányban történő mérésével. A térfogat pontos meghatározásához meg kell határozni a helyiség hosszát és szélességét minden fal mentén, felül és alul, meg kell mérni a magasságot a sarkoknál és középen, végül pedig a falak közötti sarkokat. Ez a példa azt szemlélteti, hogy a módszer indokolatlanul egyszerűsítése esetén jelentős módszertani hiba léphet fel.

A módszertani hiba általában szisztematikus hiba.

Műszeres hiba - ez a hiba összetevője a mérőműszerek tökéletlensége miatt. Egy ilyen hiba klasszikus példája a mérőműszer hibája, amelyet a skála pontatlan kalibrálása okoz. Nagyon fontos, hogy egyértelműen különbséget tegyünk a mérési hibák és a műszeres hibák között. A mérőműszerek tökéletlensége csak a mérési hiba egyik forrása, és csak az egyik összetevőjét határozza meg - a műszeres hibát. A műszeres hiba viszont totális, melynek összetevői - a funkcionális egységek hibái - lehetnek szisztematikusak és véletlenszerűek is.

Külső hiba - a mérési hiba összetevője, amelyet egy vagy több befolyásoló mennyiség normálértéktől való eltérése vagy a normál tartományon túli kilépése okoz (például hőmérséklet, külső elektromos és mágneses mezők, mechanikai hatások stb.). A külső hibákat általában a használt mérőeszközök további hibái határozzák meg, és szisztematikusak. Ha azonban a befolyásoló mennyiségek instabilok, véletlenszerűvé válhatnak.

Szubjektív (személyes) hiba a kísérletező egyéni jellemzői határozzák meg, és lehet szisztematikus vagy véletlenszerű. A modern digitális mérőeszközök használatakor a szubjektív hiba elhanyagolható. A mutató műszerek leolvasásakor azonban az ilyen hibák jelentősek lehetnek a skála tizedrészeinek hibás leolvasása, az aszimmetria miatt, amely akkor jelentkezik, ha két jel között egy vonást állítanak be, stb. Például a kísérletező által elkövetett hibák egy műszerskála tizedrészeinek becslésekor elérhetik a 0,1 osztást. Ezek a hibák abban nyilvánulnak meg, hogy a különböző tizedosztások esetén a különböző kísérletezőket más-más becslési gyakoriság jellemzi, és minden kísérletező hosszú ideig megtartja jellegzetes eloszlását. Így az egyik kísérletező gyakrabban utal a leolvasásokra az osztás éleit képező vonalakra és a 0,5 osztás értékére. A másik a 0,4 és 0,6 osztás értékei. A harmadik a 0,2 és 0,8 osztás értékeit részesíti előnyben, stb. Általánosságban, egy véletlenszerű kísérletezőt szem előtt tartva, az osztás tizedeinek számlálása során előforduló hibák eloszlása ​​egységesnek tekinthető ±0,1 osztáshatárok mellett.

4.4 Űrlapok a mérési hiba ábrázolására. A mérések pontossága

A mérési hiba az űrlapon ábrázolható abszolút a mért érték egységeiben kifejezett és a (4.1) képlettel meghatározott hiba, vagy relatív hiba, az abszolút hiba és a mért érték valódi értékének aránya:

δ = Δ/Q. (4.5)

A véletlenszerű hiba százalékos kifejezése esetén a Δ/Q arányt megszorozzuk 100%-kal. Ezenkívül a (4.5) képletben megengedett az x mérési eredmény használata a Q valódi értéke helyett.

A koncepciót szintén széles körben használják a mérések pontossága − olyan jellemző, amely tükrözi az eredmények közelségét a mért érték valódi értékéhez. Más szóval, a nagy pontosság kis mérési hibáknak felel meg. Ezért a mérési pontosság kvantitatívan értékelhető a relatív hiba modulusának reciprokával

3.2. Kerekítés

A hozzávetőleges számok megszerzésének egyik forrása az O kerekítés. Mind a pontos, mind a hozzávetőleges számok kerekítve vannak.

Kerekítés egy adott számnak egy bizonyos számjegyre történő felcserélését egy új számmal nevezzük, amelyet az adott számból kapunk eldobni az összes számát leírva jobbra ennek a számjegynek a számjegyeit, vagy nullákkal helyettesítve. Ezek nullákáltalában húzd alá vagy írd kisebbre. A kerekített szám és a kerekített szám legközelebbi közelségének biztosításához használja a következőket szabályokat:

Ha egy számot egy bizonyos számjegyre szeretne kerekíteni, akkor a számjegy utáni összes számjegyet el kell dobnia, és az egész számban nullákkal kell helyettesítenie. A következőket veszik figyelembe:

1 ) ha az eldobott számjegyek közül az első (bal). kevesebb mint 5, akkor az utolsó számjegy nem változik (kerekítés: hátrány);

2 ), ha az első számjegyet el kell hagyni 5-nél nagyobb vagy 5-tel egyenlő, akkor a megmaradt utolsó számjegyet eggyel növeljük (kerekítés többlet).*

Például:

Kerek:Válaszok:

A) tizedekre 12,34; 12,34 ≈ 12,3;

b) századrészekre 3,2465; 1038,785; 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

V) ezredrészre 3,4335; 3,4335 ≈ 3,434;

G) ezerig 12 375, 320 729 12 375 ≈ 12 000 ; 320 729 ≈ 321 000.

(* Több évvel ezelőtt csak egy számjegy elvetése esetén 5 élvezte "páros szám szabály": az utolsó számjegyet változatlanul hagytuk, ha páros volt, és eggyel növeltük, ha páratlan volt. Most "páros számjegyű szabályok" Nem betartani: ha egy számjegyet eldobunk 5 , akkor az utolsó számjegyhez hozzáadódik egy, függetlenül attól, hogy páros vagy páratlan).

3.3. Közelítő értékek abszolút és relatív hibája

Abszolút érték különbségek egy mennyiség közelítő és pontos (igaz) értéke között ún abszolút hiba hozzávetőleges érték. Például, ha a pontos szám 1,214 tizedére kerekítve hozzávetőleges számot kapunk 1,2 . Ebben az esetben a közelítő szám abszolút hibája lesz 1,214 – 1,2 = 0,014 .

De a legtöbb esetben a vizsgált érték pontos értéke ismeretlen, de csak hozzávetőleges. Ekkor az abszolút hiba ismeretlen. Ezekben az esetekben jelezze határ, amelyet nem lép túl. Ezt a számot hívják korlátozza az abszolút hibát. Azt mondják, hogy egy szám pontos értéke egyenlő a hozzávetőleges értékével, a határhibánál kisebb hibával. Például, szám 23,71 a szám hozzávetőleges értéke 23,7125 ig 0,01 , mivel az abszolút közelítési hiba egyenlő 0,0025 és kevesebb 0,01 . Itt a korlátozó abszolút hiba egyenlő 0,01 .*

(* Abszolút A hiba lehet pozitív és negatív is. Például,1,68 ≈ 1,7 . Az abszolút hiba 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .Határ a hiba mindig pozitív).

A hozzávetőleges szám határ abszolút hibája " A » szimbólum jelzi Δ A . Rekord

X ≈ a (Δa)

így kell érteni: a mennyiség pontos értéke x a számok között van A +Δ A És A –Δ A, amelyeket ennek megfelelően hívnak alsóÉs felső határx és jelöljük N G x És BAN BEN G x .

Például, Ha x ≈ 2,3 ( 0,1), Hogy 2,2 < x < 2,4 .

Ellenkezőleg, ha 7,3 < x < 7,4 , Hogy x ≈ 7,35 ( 0,05).

Abszolút vagy határes abszolút hiba Nem jellemezze az elvégzett mérés minőségét. Ugyanaz az abszolút hiba tekinthető jelentősnek és jelentéktelennek attól függően, hogy a mért értéket milyen számmal fejezzük ki.

Például, ha két város közötti távolságot egy kilométeres pontossággal mérjük, akkor ez a pontosság teljesen elegendő ehhez a méréshez, ugyanakkor az azonos utcában lévő két ház távolságának mérése során az ilyen pontosság elfogadhatatlan.

Következésképpen egy mennyiség közelítő értékének pontossága nemcsak az abszolút hiba nagyságától, hanem a mért mennyiség értékétől is függ. Ezért a pontosság mértéke a relatív hiba.

Relatív hiba az abszolút hiba és a közelítő szám értékének arányának nevezzük. A korlátozó abszolút hiba és a közelítő szám arányát nevezzük korlátozza a relatív hibát; jelölje így: Δ a/a . A relatív és marginális relatív hibákat általában a következőképpen fejezzük ki százalékban.

Például, ha a mérések azt mutatják, hogy két pont közötti távolság nagyobb 12,3 km, de kevésbé 12,7 km, akkor azért hozzávetőleges jelentését elfogadják átlagos ez a két szám, i.e. az övék az összeg felét, Akkor határ az abszolút hiba fél-különbségek ezeket a számokat. Ebben az esetben x ≈ 12,5 ( 0,2). Itt a határvonal abszolút a hiba egyenlő 0,2 km, és a határ relatív:

Abszolút és relatív hibák

Abszolút mérési hiba a mérési eredmény különbsége által meghatározott mennyiség xés a mért mennyiség valódi értéke x 0:

Δ x = |x – x 0 |.

A δ értéket, amely megegyezik az abszolút mérési hiba és a mérési eredmény arányával, relatív hibának nevezzük:

2.1. példa. A π hozzávetőleges értéke 3,14. Ekkor a hibája 0.00159... . Az abszolút hiba 0,0016-nak tekinthető, a relatív hiba pedig 0,0016 / 3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Jelentős számok. Ha az a érték abszolút hibája nem haladja meg az a szám utolsó számjegyének egy helyegységét, akkor azt mondjuk, hogy a számnak minden előjele helyes. Hozzávetőleges számokat kell felírni, csak a helyes jeleket megtartva. Ha például az 52 400-as szám abszolút hibája 100, akkor ezt a számot például 524 · 10 2 vagy 0,524 · 10 5 formában kell írni. Egy közelítő szám hibáját úgy becsülheti meg, hogy megadja, hogyan sok helyes jelentős számjegyet tartalmaz. A szignifikáns számjegyek megszámlálásakor a szám bal oldalán lévő nullákat nem számoljuk.

Például a 0,0283 számnak három, a 2,5400-nak pedig öt érvényes szignifikáns számjegye van.

A számok kerekítésének szabályai. Ha a hozzávetőleges szám többlet (vagy hibás) számjegyet tartalmaz, akkor azt kerekíteni kell. Kerekítéskor további hiba lép fel, amely nem haladja meg az utolsó jelentős számjegy helyének felét ( d) kerekített szám. Kerekítéskor csak a helyes számjegyek maradnak meg; az extra karakterek el lesznek vetve, és ha az első eldobott számjegy nagyobb vagy egyenlő, mint d/2, akkor az utolsó tárolt számjegyet eggyel növeljük.

Az egész számokban lévő extra számjegyeket nullák helyettesítik, a tizedesjegyekben pedig elvetik őket (ahogy a plusz nullákat is). Például, ha a mérési hiba 0,001 mm, akkor az 1,07005 eredményt 1,070-re kerekítjük. Ha a nullákkal módosított és elvetett számjegyek közül az első 5-nél kisebb, a többi számjegy nem módosul. Például az 50-es mérési pontosságú 148 935 szám kerekítési értéke 148 900. Ha a nullákkal helyettesített vagy elvetett számjegyek közül az első 5, és nincs számjegy vagy nulla utána, akkor a rendszer a legközelebbire kerekíti. páros szám. Például a 123,50-es szám 124-re kerekítve van. Ha az első nulla vagy csepp számjegy nagyobb, mint 5 vagy egyenlő 5-tel, de egy jelentős számjegy követi, akkor az utolsó fennmaradó számjegy eggyel nő. Például a 6783,6 szám 6784-re van kerekítve.

Példa 2.2. 1284-ről 1300-ra kerekítve az abszolút hiba 1300 – 1284 = 16, 1280-ra kerekítve pedig 1280 – 1284 = 4.

Példa 2.3. Ha a 197-et 200-ra kerekítjük, az abszolút hiba 200 – 197 = 3. A relatív hiba 3/197 ≈ 0,01523 vagy megközelítőleg 3/200 ≈ 1,5%.

2.4. példa. Egy eladó mérlegen mér egy görögdinnyét. A legkisebb súly a készletben 50 g. Ez a szám hozzávetőleges. A görögdinnye pontos súlya nem ismert. De az abszolút hiba nem haladja meg az 50 g-ot A relatív hiba nem haladja meg az 50/3600 = 1,4%-ot.

Hibák a probléma megoldása során PC

Általában három típusú hibát tekintenek a fő hibaforrásnak. Ezeket csonkítási hibáknak, kerekítési hibáknak és terjedési hibáknak nevezzük. Ha például iteratív módszereket használunk a nemlineáris egyenletek gyökereinek keresésére, az eredmények hozzávetőlegesek, ellentétben a direkt módszerekkel, amelyek pontos megoldást adnak.

Csonkolási hibák

Ez a fajta hiba magában a feladatban rejlő hibához kapcsolódik. Ennek oka lehet a forrásadatok meghatározásának pontatlansága. Például, ha a problémafelvetésben bármilyen méret megadásra került, akkor a gyakorlatban valós objektumok esetében ezek a méretek mindig bizonyos pontossággal ismertek. Ugyanez vonatkozik minden más fizikai paraméterre is. Ebbe beletartozik a számítási képletek és a bennük szereplő numerikus együtthatók pontatlansága is.

Terjedési hibák

Ez a fajta hiba a probléma megoldásának egyik vagy másik módszerének használatával jár. A számítások során elkerülhetetlenül fellép a hibahalmozódás vagy más szóval terjedés. Amellett, hogy maguk az eredeti adatok nem pontosak, szorzásuk, összeadásuk stb. során új hiba lép fel. A hiba halmozódása a számítás során alkalmazott aritmetikai műveletek jellegétől és számától függ.

Kerekítési hibák

Ez a fajta hiba azért fordul elő, mert a számítógép nem mindig tárolja pontosan egy szám valódi értékét. Ha egy valós számot tárolunk a számítógép memóriájában, akkor azt mantisszának és kitevőnek írják le, ugyanúgy, mint egy számot a számológépen.

Abszolút érték különbségek egy mennyiség közelítő és pontos (igaz) értéke között ún abszolút hiba hozzávetőleges érték. Például, ha a pontos szám 1,214 tizedére kerekítve hozzávetőleges számot kapunk 1,2 . Ebben az esetben a közelítő szám abszolút hibája lesz 1,214 – 1,2 = 0,014 .

De a legtöbb esetben a vizsgált érték pontos értéke ismeretlen, de csak hozzávetőleges. Ekkor az abszolút hiba ismeretlen. Ezekben az esetekben jelezze határ, amelyet nem lép túl. Ezt a számot hívják korlátozza az abszolút hibát. Azt mondják, hogy egy szám pontos értéke egyenlő a hozzávetőleges értékével, a határhibánál kisebb hibával. Például, szám 23,71 a szám hozzávetőleges értéke 23,7125 ig 0,01 , mivel az abszolút közelítési hiba egyenlő 0,0025 és kevesebb 0,01 . Itt a korlátozó abszolút hiba egyenlő 0,01 .*

(* Abszolút A hiba lehet pozitív és negatív is. Például, 1,68 ≈ 1,7 . Az abszolút hiba 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Határ a hiba mindig pozitív).

A hozzávetőleges szám határ abszolút hibája " A » szimbólum jelzi Δ A . Rekord

x ≈ A ( Δ A)

így kell érteni: a mennyiség pontos értéke x a számok között van A +Δ A És A –Δ A, amelyeket ennek megfelelően hívnak alsóÉs felső határ x és jelöljük N G x És BAN BEN G x .

Például, Ha x≈ 2,3 ( 0,1), Hogy 2,2 < x < 2,4 .

Ellenkezőleg, ha 7,3 < x < 7,4, Hogy x≈ 7,35 ( 0,05).

Abszolút vagy határes abszolút hiba Nem jellemezze az elvégzett mérés minőségét. Ugyanaz az abszolút hiba tekinthető jelentősnek és jelentéktelennek attól függően, hogy a mért értéket milyen számmal fejezzük ki.

Például, ha két város közötti távolságot egy kilométeres pontossággal mérjük, akkor ez a pontosság teljesen elegendő ehhez a méréshez, ugyanakkor az azonos utcában lévő két ház távolságának mérése során az ilyen pontosság elfogadhatatlan.

Következésképpen egy mennyiség közelítő értékének pontossága nemcsak az abszolút hiba nagyságától, hanem a mért mennyiség értékétől is függ. Ezért a pontosság mértéke a relatív hiba.

Relatív hiba az abszolút hiba és a közelítő szám értékének arányának nevezzük. A korlátozó abszolút hiba és a közelítő szám arányát nevezzük korlátozza a relatív hibát; jelölje így: Δ a/a. A relatív és marginális relatív hibákat általában a következőképpen fejezzük ki százalékban.

Például, ha a mérések azt mutatják, hogy két pont közötti távolság nagyobb 12,3 km, de kevésbé 12,7 km, akkor azért hozzávetőleges jelentését elfogadják átlagos ez a két szám, i.e. az övék az összeg felét, Akkor határ az abszolút hiba fél-különbségek ezeket a számokat. Ebben az esetben x≈ 12,5 ( 0,2). Itt a határvonal abszolút a hiba egyenlő 0,2 km, és a határ