Minden szabály törtekkel. Műveletek törtekkel. Aritmetikai számítások. Érdeklődés

Egyezzünk meg abban, hogy a „törtekkel végzett műveletek” leckénkben a közönséges törtekkel végzett műveleteket jelentik. A közönséges tört olyan tört, amelynek olyan attribútumai vannak, mint a számláló, a törtvonal és a nevező. Ez különbözteti meg a közönséges törtet a tizedes törttől, amelyet a nevező 10 többszörösére redukálásával kapunk meg egy közönséges törtből. A tizedes tört vesszővel van felírva, amely elválasztja az egész részt a tört résztől. Szó lesz a közönséges törtekkel végzett műveletekről, mivel ezek okozzák a legnagyobb nehézségeket azoknak a tanulóknak, akik elfelejtették ennek a témának az alapjait, amelyekre az iskolai matematika tantárgy első felében került sor. Ugyanakkor a magasabb matematikai kifejezések átalakításakor elsősorban a közönséges törtekkel végzett műveleteket használják. Már a tört rövidítések is megérik! A tizedes törtek nem okoznak különösebb nehézséget. Szóval, hajrá!

Két törtet egyenlőnek mondunk, ha .

Például azóta

A törtek és a (hiszen) és az (ince) is egyenlők.

Nyilvánvaló, hogy mind a tört és a tört egyenlő. Ez azt jelenti, hogy ha egy adott tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk vagy elosztjuk ugyanazzal a természetes számmal, akkor az adott törttel egyenlő törtet kapunk: .

Ezt a tulajdonságot a tört alaptulajdonságának nevezzük.

A tört alaptulajdonsága a tört számlálójának és nevezőjének előjelét megváltoztathatja. Ha egy tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk -1-gyel, akkor . Ez azt jelenti, hogy a tört értéke nem változik, ha a számláló és a nevező előjelét egyszerre változtatjuk. Ha csak a számláló vagy csak a nevező előjelét változtatja meg, akkor a tört megváltoztatja az előjelét:

Frakciók csökkentése

A tört alaptulajdonságát felhasználva egy adott tört egy másik törtre cserélhető, amely megegyezik az adott törttel, de kisebb számlálóval és nevezővel. Ezt a helyettesítést frakciócsökkentésnek nevezzük.

Legyen például megadva egy tört. A 36 és 48 számok legnagyobb közös osztója 12. Akkor

.

Általában a tört csökkentése mindig lehetséges, ha a számláló és a nevező nem kölcsönösen prímszámok. Ha a számláló és a nevező kölcsönösen prímszámok, akkor a törtet irreducibilisnek nevezzük.

Tehát a tört csökkentése azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk egy közös tényezővel. A fentiek mindegyike vonatkozik a változókat tartalmazó törtkifejezésekre is.

1. példa Csökkentse a frakciót

Megoldás. A számláló faktorizálásához először mutassa be a monomit - 5 xyösszegként - 2 xy - 3xy, kapunk

A nevező faktorizálásához a négyzetek különbségi képletét használjuk:

Ennek eredményeként

.

Törtek redukálása közös nevezőre

Legyen két tört és . Különböző nevezőik vannak: 5 és 7. A törtek alapvető tulajdonságát felhasználva ezeket a törteket helyettesítheti másokkal, amelyek azonosak velük, és így a kapott törtek azonos nevezőt kapnak. A tört számlálóját és nevezőjét megszorozva 7-tel, azt kapjuk

A tört számlálóját és nevezőjét megszorozva 5-tel kapjuk

Tehát a törteket közös nevezőre redukáljuk:

.

De nem ez az egyetlen megoldás a problémára: például ezeket a törteket is le lehet redukálni 70-es közös nevezőre:

,

és általában minden 5-tel és 7-tel osztható nevezőre.

Nézzünk egy másik példát: hozzuk közös nevezőre a és a törteket. Az előző példához hasonlóan érvelve azt kapjuk

,

.

De ebben az esetben lehetséges a törteket olyan közös nevezőre redukálni, amely kisebb, mint e törtek nevezőinek szorzata. Keressük meg a 24 és 30 számok legkisebb közös többszörösét: LCM(24, 30) = 120.

Mivel 120:4 = 5, 120-as nevezőjű tört írásához meg kell szoroznia a számlálót és a nevezőt is 5-tel, ezt a számot további tényezőnek nevezzük. Eszközök .

Ezután 120:30=4 kapjuk. A tört számlálóját és nevezőjét további 4-gyel megszorozva kapjuk .

Tehát ezek a törtek közös nevezőre redukálódnak.

E törtek nevezőinek legkisebb közös többszöröse a lehető legkisebb közös nevező.

Változókat tartalmazó törtkifejezéseknél a közös nevező egy polinom, amely el van osztva az egyes törtek nevezőjével.

2. példa Keresse meg a törtek közös nevezőjét és.

Megoldás. Ezeknek a törteknek a közös nevezője egy polinom, mivel osztható mindkettővel. Azonban nem ez a polinom az egyetlen, amely e törtek közös nevezője lehet. Lehet polinom is , és polinom , és polinom stb. Általában olyan közös nevezőt vesznek fel, hogy minden más közös nevezőt maradék nélkül elosztanak a kiválasztottal. Ezt a nevezőt a legkisebb közös nevezőnek nevezzük.

Példánkban a legkisebb közös nevező a . Kapott:

;

.

Sikerült a törteket a legkisebb közös nevezőre redukálni. Ez úgy történt, hogy az első tört számlálóját és nevezőjét megszoroztuk -vel, a második tört számlálóját és nevezőjét pedig -vel. A polinomokat további tényezőknek nevezzük, az első és a második tört esetében.

Törtek összeadása és kivonása

A törtek összeadásának meghatározása a következő:

.

Például,

.

Ha b = d, Azt

.

Ez azt jelenti, hogy az azonos nevezőjű törtek összeadásához elegendő a számlálókat összeadni, és a nevezőt változatlannak hagyni. Például,

.

Ha különböző nevezőjű törteket ad hozzá, általában a legkisebb közös nevezőre csökkenti a törteket, majd hozzáadja a számlálókat. Például,

.

Most nézzünk egy példát a változókkal rendelkező törtkifejezések hozzáadására.

3. példa Konvertálja a kifejezést egy törtté

.

Megoldás. Keressük meg a legkisebb közös nevezőt. Ehhez először faktorizáljuk a nevezőket.

Tört számológép A törtekkel végzett műveletek gyors kiszámítására tervezték, így könnyen összeadhat, szorozhat, oszthat vagy kivonhat törteket.

A modern iskolások már az 5. osztályban elkezdik a törtek tanulását, és a velük végzett gyakorlatok évről évre bonyolultabbak. Az iskolában tanult matematikai kifejezések és mennyiségek ritkán lehetnek hasznosak számunkra a felnőtt életben. A törtek azonban, ellentétben a logaritmusokkal és hatványokkal, meglehetősen gyakran megtalálhatók a mindennapi életben (távolságmérés, áruk mérlegelése stb.). Számológépünket a törtekkel végzett gyors műveletekre tervezték.

Először is határozzuk meg, mik azok a törtek, és mik azok. A törtek az egyik számnak a másikhoz viszonyított aránya. Ez egy olyan szám, amely egy egység törteinek egész számából áll.

A törtek típusai:

• Rendes
• Decimális
• Vegyes

Példa közönséges törtek:

A felső érték a számláló, az alsó a nevező. A kötőjel azt mutatja, hogy a felső szám osztható az alsóval. Ez az írási formátum helyett, ha a kötőjel vízszintes, másképp írhat. Beállíthat egy ferde vonalat, például:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Tizedesjegyek a legnépszerűbb frakciótípus. Ezek egy egész részből és egy tört részből állnak, amelyeket vessző választ el.

Példa a tizedes törtekre:

0,2 vagy 6,71 vagy 0,125

Egész számból és tört részből áll. Ennek a törtnek az értékének meghatározásához össze kell adni az egész számot és a törtet.

Példa kevert frakciókra:

A weboldalunkon található törtszámítógép gyorsan képes bármilyen matematikai műveletet elvégezni a törtekkel online:

• Kiegészítés
• Kivonás
• Szorzás
• Osztály

A számítás elvégzéséhez be kell írnia a számokat a mezőkbe, és ki kell választania egy műveletet. Törteknél ki kell tölteni a számlálót és a nevezőt, az egész szám nem írható be (ha a tört közönséges). Ne felejtsen el az "egyenlő" gombra kattintani.

Kényelmes, hogy a számológép azonnal megadja a példa törtekkel történő megoldásának folyamatát, és nem csak egy kész választ. A részletes megoldásnak köszönhető, hogy ezt az anyagot iskolai problémák megoldására és a tárgyalt anyag jobb elsajátítására használhatja.

El kell végezni a példaszámítást:

Miután beírtuk a mutatókat az űrlapmezőkbe, a következőket kapjuk:

A saját számítás elvégzéséhez adja meg az adatokat az űrlapon.

Tört számológép

Kapcsolódó szakaszok.

Műveletek törtekkel. Ebben a cikkben példákat fogunk megnézni, mindent részletesen, magyarázatokkal. A közönséges törteket fogjuk figyelembe venni. Később megnézzük a tizedesjegyeket. Azt javaslom, hogy nézd meg az egészet, és sorban tanulmányozd.

1. Törtek összege, törtek különbsége.

Szabály: egyenlő nevezőjű törtek összeadásakor az eredmény egy tört - amelynek nevezője változatlan marad, számlálója pedig egyenlő lesz a törtek számlálóinak összegével.

Szabály: az azonos nevezőjű törtek különbségének kiszámításakor törtet kapunk - a nevező ugyanaz marad, és a második számlálóját kivonjuk az első tört számlálójából.

Az egyenlő nevezőjű törtek összegének és különbségének formális jelölése:

Példák (1):

Nyilvánvaló, hogy ha közönséges törteket adunk, akkor minden egyszerű, de mi van, ha keverjük őket? Semmi bonyolult...

1.opció– átalakíthatja őket közönségessé, majd kiszámolhatja.

2. lehetőség– külön „dolgozhat” az egész és a tört részekkel.

Példák (2):

Több:

Mi van akkor, ha két vegyes tört különbsége adott, és az első tört számlálója kisebb, mint a másodiké? Kétféleképpen is cselekedhet.

Példák (3):

*Átszámítva közönséges törtekre, kiszámítva a különbséget, a kapott nem megfelelő törtet vegyes törtté alakítva.

* Egész és tört részekre bontottuk, kaptunk egy hármast, majd a 3-at 2 és 1 összegeként mutattuk be, az egyiket 11/11-ként ábrázoltuk, majd megállapítottuk a 11/11 és 7/11 közötti különbséget, és kiszámoltuk az eredményt. . A fenti transzformációk jelentése az, hogy vegyünk (kiválasszunk) egy egységet és tört alakban mutassuk be a számunkra szükséges nevezővel, majd ebből a törtből levonhatunk egy másikat.

Egy másik példa:

Következtetés: van egy univerzális megközelítés - az egyenlő nevezővel rendelkező vegyes törtek összegének (különbségének) kiszámításához mindig átszámíthatók nem megfelelőekké, majd elvégezzük a szükséges műveletet. Ezt követően, ha az eredmény nem megfelelő tört, akkor azt vegyes törtté alakítjuk.

A fentiekben példákat néztünk meg olyan törtekkel, amelyeknek azonos nevezője van. Mi van, ha a nevezők eltérőek? Ebben az esetben a törtek ugyanarra a nevezőre redukálódnak, és a megadott művelet végrehajtásra kerül. Egy tört megváltoztatásához (átalakításához) a tört alapvető tulajdonságát használjuk.

Nézzünk egyszerű példákat:

Ezekben a példákban azonnal látjuk, hogy az egyik tört hogyan alakítható át egyenlő nevezőkre.

Ha kijelöljük a törtek ugyanarra a nevezőre való csökkentésének módjait, akkor ezt nevezzük ELSŐ MÓDSZER.

Vagyis egy tört „becslésekor” azonnal ki kell találnia, hogy ez a megközelítés működni fog - ellenőrizzük, hogy a nagyobb nevező osztható-e a kisebbel. És ha osztható, akkor transzformációt hajtunk végre - megszorozzuk a számlálót és a nevezőt úgy, hogy mindkét tört nevezője egyenlő legyen.

Most nézze meg ezeket a példákat:

Ez a megközelítés nem alkalmazható rájuk. Vannak módok a törtek közös nevezőre való csökkentésére is.

MÁSODIK módszer.

Az első tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk a második, a második tört számlálóját és nevezőjét pedig az első nevezőjével:

*Valójában törteket redukálunk, és akkor keletkeznek, ha a nevezők egyenlővé válnak. Ezután az egyenlő nevezőjű törtek összeadásának szabályát használjuk.

Példa:

*Ez a módszer univerzálisnak nevezhető, és mindig működik. Az egyetlen hátránya, hogy a számítások után olyan töredékhez juthat, amelyet tovább kell csökkenteni.

Nézzünk egy példát:

Látható, hogy a számláló és a nevező osztható 5-tel:

HARMADIK módszer.

Meg kell találnia a nevezők legkisebb közös többszörösét (LCM). Ez lesz a közös nevező. Milyen szám ez? Ez a legkisebb természetes szám, amely osztható az egyes számokkal.

Nézze, itt van két szám: 3 és 4, sok szám osztható velük - ezek 12, 24, 36, ... A legkisebb közülük a 12. Vagy 6 és 15, oszthatók 30-al, 60, 90... A legkisebb a 30. A kérdés az, hogy hogyan határozható meg ez a legkisebb közös többszörös?

Van egy világos algoritmus, de gyakran ez azonnal elvégezhető számítások nélkül. Például a fenti példák szerint (3 és 4, 6 és 15) nincs szükség algoritmusra, nagy számokat vettünk (4 és 15), megdupláztuk, és láttuk, hogy oszthatók a második számmal, de számpárok legyen mások, például 51 és 119.

Algoritmus. Több szám legkisebb közös többszörösének meghatározásához a következőket kell tennie:

- az egyes számokat SIMPLE tényezőkre bontani

— írja le közülük a NAGYOBB dekompozícióját

- szorozza meg más számok HIÁNYZÓ tényezőivel

Nézzünk példákat:

50 és 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

egy nagyobb szám bővítésében ötös hiányzik

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 és 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

egy nagyobb szám bővítésében kettes és három hiányzik

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Két prímszám legkisebb közös többszöröse a szorzatuk

Kérdés! Miért hasznos megtalálni a legkisebb közös többszöröst, mivel használhatja a második módszert, és egyszerűen csökkentheti a kapott törtet? Igen, lehetséges, de nem mindig kényelmes. Nézze meg a 48 és 72 számok nevezőjét, ha egyszerűen megszorozza őket 48∙72 = 3456-tal. Egyetért, hogy kellemesebb kisebb számokkal dolgozni.

Nézzünk példákat:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

nagyobb szám bővítéséből hiányzik a hármas

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Most használjuk az első módszert:

*Nézze meg a számítások különbségét, az első esetben van minimum, de a másodiknál ​​külön kell dolgozni egy papíron, és még a kapott töredéket is csökkenteni kell. A LOC megtalálása jelentősen leegyszerűsíti a munkát.

További példák:

*A második példában jól látható, hogy a legkisebb 40-zel és 60-zal osztható szám 120.

EREDMÉNY! ÁLTALÁNOS SZÁMÍTÁSI ALGORITMUS!

— a törteket közönségesre redukáljuk, ha van egész szám.

- törteket hozunk egy közös nevezőre (először megnézzük, hogy az egyik nevező osztható-e a másikkal; ha osztható, akkor ennek a másik törtnek a számlálóját és nevezőjét megszorozzuk; ha nem osztható, akkor a többi módszerrel járunk el fentebb jeleztük).

- Az egyenlő nevezőjű törteket megkapva műveleteket végzünk (összeadás, kivonás).

- szükség esetén csökkentjük az eredményt.

- ha szükséges, akkor válassza ki a teljes részt.

2. Törtek szorzata.

A szabály egyszerű. A törtek szorzásakor a számlálóikat és a nevezőiket szorozzuk:

Példák:

Feladat. 13 tonna zöldséget hoztak a bázisra. A burgonya az összes importált zöldség ¾-ét teszi ki. Hány kilogramm burgonyát hoztak a bázisra?

Befejezzük a darabot.

*Korábban megígértem, hogy egy terméken keresztül hivatalos magyarázatot adok egy tört fő tulajdonságára, kérjük:

3. Törtek felosztása.

A törtek osztása szorzásukhoz vezet. Fontos megjegyezni, hogy az osztó tört (az osztva) megfordul, és a művelet szorzásra változik:

Ez a művelet felírható úgynevezett négyemeletes tört formájában, mivel maga a „:” felosztás is felírható törtként:

Példák:

Ez minden! Sok szerencsét!

Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh.

Aritmetikai műveletek közönséges törtekkel

1. Kiegészítés.

Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.

Példa. .

Különböző nevezőjű törtek hozzáadásához le kell redukálni őket a legkisebb közös nevezőre, majd össze kell adni a kapott számlálókat, és a közös nevezőt az összeg alá kell írni.

Példa.

Röviden így van leírva:

Vegyes számok összeadásához külön meg kell találnia az egész számok összegét és a törtek összegét. A művelet így van leírva:

2. Kivonás.

A hasonló nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonnia a részrész számlálóját a minuend számlálójából, és meg kell hagynia ugyanazt a nevezőt. A művelet így van leírva:

A különböző nevezőjű törtek kivonásához először a legkisebb közös nevezőre kell csökkenteni őket, majd a minuend számlálóját ki kell vonni a minuend számlálójából, és a közös nevezőt a különbségük alá kell írni. A művelet így van leírva:

Ha ki kell vonni egy vegyes számot egy másik vegyes számból, akkor lehetőség szerint a törtből vonjon ki egy törtet, az egészből pedig egy egészet. A művelet így van leírva:

Ha a kivont töredéke nagyobb, mint a minuend törtrésze, akkor a minuend egész számából vegyünk egy egységet, osszuk fel a megfelelő részekre, és adjuk hozzá a minuend törtrészéhez, majd a fent leírtak szerint járjunk el. . A művelet így van leírva:

Tegye ugyanezt, ha törtet kell kivonnia egy egész számból.

Példa. .

3. Az összeadás és kivonás tulajdonságainak kiterjesztése törtekre.A természetes számok összeadásának és kivonásának minden törvénye és tulajdonsága törtszámokra is érvényes. Használatuk sok esetben nagymértékben leegyszerűsíti a számítási folyamatot.

4. Szorzás.

Egy tört törttel való szorzásához meg kell szoroznia a számlálót a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel, és az első szorzatot kell számlálónak, a második szorzatot nevezővé tenni.

Szorzáskor (ha lehetséges) csökkenteni kell.

Példa. .

Ha figyelembe vesszük, hogy egy egész szám 1-es nevezőjű tört, akkor a tört egész számmal és egy egész szám törtszámmal való szorzata követhető ugyanezen szabály szerint.

Példák.

5. Vegyes számok szorzása.

A vegyes számok szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtekké, majd a törtek szorzási szabálya szerint szorozni.

Példa. .

6. Tört elosztása törttel.

A tört törtre való felosztásához meg kell szorozni az első tört számlálóját a második nevezőjével, az első nevezőjét pedig a második számlálójával, és az első szorzatot számlálóként, a másodikat pedig fel kell írni. mint a nevezőt.

Példa. .

Ugyanezt a szabályt alkalmazva eloszthatunk törtet egész számmal, egész számot törttel, ha az egész számot 1-es nevezőjű törtként ábrázoljuk.

Példák.

7. Vegyes számok felosztása.

A vegyes számok felosztásához először nem megfelelő törtekké alakítják át őket, majd osztják a törtosztás szabálya szerint.

Példa. .

8. Az osztás helyettesítése szorzással.

Ha felcseréljük a számlálót és a nevezőt egy törtben, akkor egy új törtet kapunk, a megadott fordítottját. Például egy töredékrea reciprok tört lesz.

Nyilvánvaló, hogy két kölcsönösen fordított tört szorzata egyenlő 1-gyel.

1. Tört keresése egy számból.

Számos olyan probléma merül fel, amelyhez meg kell találnia egy adott szám egy részét vagy töredékét. Az ilyen problémákat szorzással oldják meg.

Feladat. A háziasszonynak 20 rubel volt;Vásárlásra költötte őket. Mennyibe kerülnek a vásárlások?

Itt meg kell találni20. Ezt a következőképpen teheti meg:

Válasz. A háziasszony 8 rubelt költött.

Példák. Keresés a 30. Megoldás. .

Keresés innen. Megoldás. .

1. Szám keresése történek ismert nagyságából.

Néha meg kell határozni a teljes számot egy szám ismert részének és egy ezt a részt kifejező törtrészével. Az ilyen problémákat felosztással oldják meg.

Feladat. Az osztályban 12 komszomol tag van, amiaz osztály összes tanulójának egy része. Hány tanuló van az osztályban?

Megoldás. .

Válasz. 20 diák.

Példa. Keresse meg a számotami a 34.

Megoldás. .

Válasz. A szükséges szám az.

1. Két szám arányának meghatározása.

Tekintsük a problémát: Egy munkás 40 alkatrészt gyártott le egy nap alatt. A havi feladat melyik részét fejezte be a dolgozó, ha a havi terv 400 részből áll?

Megoldás. .

Válasz. A munkás befejeztea havi terv része.

Ebben az esetben egy rész (40 rész) az egész (400 rész) töredékeként van kifejezve. Azt is elmondják, hogy sikerült megtalálni a napi legyártott alkatrészek számának a havi tervhez viszonyított arányát.

1. Tizedes tört átalakítása közönséges törtté.

Egy tizedes tört közönséges törtté alakításához írja be a nevezővel, és ha lehetséges, rövidítse le:

Példák.

1. Tört átalakítása tizedesjegyre.

A tört tizedesjegyekké alakításának többféle módja van.

Első út. A tört tizedesjegyre konvertálásához el kell osztani a számlálót a nevezővel.

Példák. .

Második út. Ha egy törtből tizedesvesszőt szeretne változtatni, meg kell szoroznia a tört számlálóját és nevezőjét olyan számmal, hogy a nevező egy legyen nullával (ha lehetséges).

Példa.

1. Tizedesjegyek összehasonlítása nagyságrend szerint. Ahhoz, hogy megtudja, hogy a két tizedes tört közül melyik a nagyobb, össze kell hasonlítania az egész részeket, tizedeket, századokat stb. Ha az egész részek egyenlőek, nagyobb az a tört, amelynek több tizedrésze van; ha az egész és a tizedesjegy egyenlő, akkor a több századdal rendelkező nagyobb stb.

Példa. A három törtből 2,432; A 2,41 és a 2,4098 a legnagyobb első, mivel ebben van a legtöbb század, és az egész és a tized minden törtben megegyezik.

Műveletek tizedesjegyekkel

1. Tizedesjegyek szorzása és osztása 10, 100, 1000 stb.

Egy tizedesjegy szorzásához 10, 100, 1000 stb. a vesszőt kell mozgatni egy, kettő, három stb. jele jobbra. Ha nincs elég jel a számban, akkor nullákat rendelünk hozzá.

Példa. 15,45 10 = 154,5; 32,3 · 100 = 3230.

Egy tizedes tört 10, 100, 1000 stb. számmal való osztásához a tizedesvesszőt egy, kettő, három stb. értékre kell mozgatnia. tábla balra. Ha nincs elég karakter a vessző mozgatásához, a számuk kiegészül a megfelelő számú nullával a bal oldalon.

Példák. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.

1. Tizedesjegyek összeadása és kivonása.

A tizedesek összeadása és kivonása ugyanúgy történik, mint a természetes számok összeadása és kivonása. A számjegy a számjegy alá, a vessző a vessző alá kerül.

Példák.

1. Tizedesjegyek szorzása.

Két tizedes tört szorzásához elegendő a vesszők figyelmen kívül hagyása nélkül megszorozni őket egész számként, és a szorzatban annyi tizedesjegyet elválasztani vesszővel a jobb oldalon, amennyi a szorzóban és a szorzóban együtt volt.

1. példa 2,064 · 0,05.

A 2064 · 5 = 10320 egész számokat megszorozzuk. Az első tényező három, a második kettő tizedesjegyből áll. A szorzatnak öt tizedesjegynek kell lennie. Elválasztjuk őket a jobb oldalon, és 0,10320-at kapunk. A végén lévő nulla eldobható: 2,064 · 0,05 = 0,1032.

2. példa 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.

A tizedesjegyek száma 3 + 2 = 5 legyen. A bal oldalon 9000-hez nullákat adunk (009000), a jobb oldalon pedig öt tizedesjegyet választunk el egymástól. Azt kapjuk, hogy 1,125 · 0,08 = 0,09000 = 0,09.

1. Tizedesjegyek osztása.

A tizedes törtek maradék nélküli osztásának két esetét vizsgáljuk: 1) tizedes tört elosztása egész számmal; 2) egy szám (egész vagy tört) elosztása tizedes törttel.

A tizedesjegy egész számmal való osztása ugyanúgy történik, mint az egész számok elosztása; a kapott maradékokat egymás után kisebb tizedes részekre osztjuk, és az osztást addig folytatjuk, amíg a maradék nulla lesz.

Példák.

Egy szám (egész vagy tört) elosztása tizedes törttel minden esetben egész számmal való osztást eredményez. Ehhez növelje meg az osztót 10, 100, 1000 stb. alkalommal, és hogy a hányados ne változzon, az osztalékot ugyanannyiszor növeljük, majd elosztjuk egy egész számmal (mint az első esetben).

Példa. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;

1. Példák közös cselekvésekre közönséges és tizedes törtekkel.

Először nézzünk meg egy példát a tizedes törtekkel végzett műveletekre.

1. példa: Számítsa ki:

Itt az osztalék és az osztó egész számra való csökkentését használják, figyelembe véve, hogy a hányados nem változik. Akkor nálunk van:

Közönséges és tizedes törtekkel végzett közös műveletek példáinak megoldásakor egyes műveletek tizedes törtekkel, mások pedig közönséges törtekkel hajthatók végre. Szem előtt kell tartani, hogy a közönséges tört nem mindig konvertálható végső tizedes törtté. Ezért a tizedes törtként való írás csak akkor végezhető el, ha igazoltuk, hogy lehetséges az ilyen átalakítás.

2. példa: Számítsa ki:

Érdeklődés

A százalék fogalma.Egy szám százaléka ennek a számnak a századrésze. Például ahelyett, hogy azt mondanánk, hogy „országunk lakosságának 54 százada nő”, azt mondhatnánk, hogy „országunk lakosságának 54 százaléka nő”. A "százalék" szó helyett a % jelet is írják, például a 35% 35 százalékot jelent.

Mivel a százalék egy századrész, ebből az következik, hogy a százalék egy 100-as nevezővel rendelkező tört. Ezért a tört 0,49, ill., 49 százalékként olvasható, nevező nélkül írva pedig 49%. Általánosságban elmondható, hogy miután meghatároztuk, hány század van egy adott tizedes törtben, egyszerű százalékban írni. Ehhez használja a szabályt: a tizedes tört százalékos írásához két hellyel jobbra kell mozgatnia a tizedesvesszőt ebben a törtben.

Példák. 0,33 = 33%; 1,25 = 125%; 0,002 = 0,2%; 21 = 2100%.

És fordítva: 7% = 0,07; 24,5% = 0,245; 0,1% = 0,001; 200% = 2.

1. Adott szám százalékának megkeresése

Feladat. A terv szerint egy traktoros csapatnak 9 tonna üzemanyagot kell elfogyasztania. A traktorosok társadalmi kötelezettséget vállaltak az üzemanyag 20%-os megtakarítására. Határozza meg az üzemanyag-megtakarítást tonnában.

Ha ebben a feladatban 20% helyett 0,2-t írunk fel vele, akkor egy feladatot kapunk egy szám törtrészének megtalálására. És az ilyen problémákat szorzással oldják meg. Ez a megoldás:

20% = 0,2; 9 · 0,2 = 1,8 (m).

A számításokat így írhatjuk fel:

(m)

Egy adott szám néhány százalékának megtalálásához elegendő az adott számot elosztani 100-zal, és az eredményt megszorozni a százalékok számával.

Feladat. Egy munkás 1963-ban havi 90 rubelt kapott, 1964-ben pedig 30%-kal többet kapott. Mennyit keresett 1964-ben?

Megoldás (első módszer).

1) Hány rubelt kapott még a munkás?

(dörzsölés.)

90 + 27 = 117 (dörzsölje).

Második út.

1) Korábbi keresetének hány százalékát kezdte el kapni a munkavállaló 1964-ben?

100% + 30% = 130%.

2) Mennyi volt egy munkás havi fizetése 1964-ben?

(dörzsölés.)

2. Szám keresése százalékának adott értékéből.

Feladat. A kolhoz 280 hektáron vetett kukoricát, ami a teljes vetésterület 14%-a. Határozza meg a kolhoz vetésterületét.

Ha ebben a feladatban 14% helyett 0,14 ill, akkor azt a feladatot kapjuk, hogy a történek ismert értékéből keressünk egy számot. És az ilyen problémákat felosztással oldják meg.

Megoldás. 14% = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Ezt a megoldást így is megfogalmazhatjuk:

(Ha)

Egy adott, több százalékos érték alapján történő szám megtalálásához elegendő ezt az értéket elosztani a százalékok számával, és az eredményt megszorozni 100-zal.

Feladat. Márciusban az üzem 125,4 olvadt T fém, 4,5%-kal haladja meg a tervet. Hány tonna fémet kellett volna az üzemnek beolvasztania márciusban a tervek szerint?

Megoldás.

1) Hány százalékban teljesítette az üzem a tervet márciusban?

100% + 4,5% = 104,5%.

2) Hány tonna fémet kell a növénynek megszagolni?

(Ha)

1. Két szám közötti százalékos összefüggés megtalálása.

Feladat. 300 hektár földet kell felszántanunk. Az első napon 120 hektárt szántottak fel. A feladat hány százalékát szántották az első napon?

Megoldás.

Első út. 300 hektár 100%, ami azt jelenti, hogy 1% 3 hektárt jelent. Ha meghatározzuk, hogy 120 hektáron hányszor van 3 hektár, ami 1%-ot jelent, megtudjuk, hogy a munka hány százalékát szánták az első napon.

120: 3 = 40(%).

Második út. Miután meghatároztuk, hogy a föld mely részét szánták az első napon, ezt a hányadot százalékban fejezzük ki.

Írjuk fel a számítást:

Szám százalékos arányának kiszámítása a-ból b-be , kapcsolatot kell találnia a-tól b-ig és szorozd meg 100-zal.