Mi a legnagyobb szám, amellyel tört redukálható? Törtek kicsinyítése: szabályok és példák

Ez a cikk az algebrai törtek konvertálásának témáját folytatja: tekintsünk egy ilyen műveletet az algebrai törtek csökkentésének. Határozzuk meg magát a fogalmat, fogalmazzunk meg redukciós szabályt és elemezzünk gyakorlati példákat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az algebrai tört redukálásának jelentése

A közönséges törtekről szóló anyagokban megvizsgáltuk a redukcióját. A tört csökkentését úgy határoztuk meg, hogy a számlálóját és a nevezőjét elosztjuk egy közös tényezővel.

Az algebrai tört redukálása hasonló művelet.

1. definíció

Algebrai tört redukálása számlálójának és nevezőjének közös tényezővel való osztása. Ebben az esetben, ellentétben a közönséges tört redukciójával (a közös nevező csak egy szám lehet), az algebrai tört számlálójának és nevezőjének közös tényezője lehet polinom, különösen monomiális vagy szám.

Például a 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 algebrai tört csökkenthető a 3-as számmal, ami a következőt kapja: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. Ugyanezt a törtet csökkenthetjük az x változóval, és így a 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 kifejezést kapjuk. Lehetőség van egy adott tört monomiális csökkentésére is 3 x vagy bármelyik polinom x + 2 év, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ill 3 x 2 + 6 x y.

Az algebrai tört csökkentésének végső célja egy egyszerűbb alak törtrésze, legfeljebb egy irreducibilis tört.

Minden algebrai tört redukálható?

A közönséges frakciókon lévő anyagokból ismét tudjuk, hogy vannak redukálható és nem redukálható törtek. Az irreducibilis törtek azok a törtek, amelyek számlálójában és nevezőjében az 1-en kívül nincs közös tényező.

Ugyanez a helyzet az algebrai törtekkel: lehet, hogy van közös tényezőjük a számlálóban és a nevezőben, vagy nem. A közös tényezők jelenléte lehetővé teszi az eredeti tört egyszerűsítését a redukció révén. Ha nincsenek közös tényezők, lehetetlen egy adott tört optimalizálása redukciós módszerrel.

Általános esetekben, tekintettel a tört típusára, meglehetősen nehéz megérteni, hogy csökkenthető-e. Természetesen bizonyos esetekben nyilvánvaló egy közös tényező jelenléte a számláló és a nevező között. Például a 3 x 2 3 y algebrai törtben teljesen egyértelmű, hogy a közös tényező a 3.

Az - x · y 5 · x · y · z 3 törtből azt is azonnal megértjük, hogy csökkenthető x-szel, y-val vagy x · y-val. És mégis, sokkal gyakrabban vannak példák az algebrai törtekre, amikor a számláló és a nevező közös tényezője nem olyan könnyen látható, sőt gyakrabban egyszerűen hiányzik.

Például csökkenthetjük az x 3 - 1 x 2 - 1 törtet x - 1-gyel, miközben a megadott közös tényező nem szerepel a bejegyzésben. De az x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 tört nem csökkenthető, mivel a számlálónak és a nevezőnek nincs közös tényezője.

Így egy algebrai tört redukálhatóságának meghatározása nem olyan egyszerű, és gyakran könnyebb egy adott alak törtével dolgozni, mint azt kideríteni, hogy az redukálható-e. Ebben az esetben olyan átalakítások mennek végbe, amelyek adott esetben lehetővé teszik a számláló és a nevező közös tényezőjének meghatározását, vagy a tört irreducibilitására vonatkozó következtetés levonását. Ezt a kérdést a cikk következő bekezdésében részletesen megvizsgáljuk.

Az algebrai törtek csökkentésének szabálya

Az algebrai törtek csökkentésének szabálya két egymást követő műveletből áll:

a számláló és a nevező közös tényezőinek megtalálása;
ha ilyeneket találunk, a frakció csökkentését közvetlenül hajtjuk végre.

A közös nevezők megtalálásának legkényelmesebb módja egy adott algebrai tört számlálójában és nevezőjében lévő polinomok faktorizálása. Ez lehetővé teszi, hogy azonnal világosan láthassa a közös tényezők jelenlétét vagy hiányát.

Az algebrai tört redukálásának művelete egy algebrai tört fő tulajdonságán alapul, amelyet a definiálatlan egyenlőség fejez ki, ahol a, b, c néhány polinom, b és c pedig nem nulla. Első lépésként a törtet a · c b · c alakra redukáljuk, amelyben azonnal észrevesszük a c közös tényezőt. A második lépés a redukció végrehajtása, azaz. átmenet az a b alak törtrészére.

Tipikus példák

Némi nyilvánvalóság ellenére tisztázzuk azt a speciális esetet, amikor egy algebrai tört számlálója és nevezője egyenlő. A hasonló törtek azonosak 1-gyel ennek a törtnek a változóinak teljes ODZ-jén:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Mivel a közönséges törtek az algebrai törtek speciális esetei, emlékezzünk vissza, hogyan redukáljuk őket. A számlálóba és a nevezőbe írt természetes számok prímtényezőkké kerülnek be, majd a közös tényezők (ha vannak) törlődnek.

Például 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Az egyszerű azonos tényezők szorzata hatványként írható fel, és a tört redukálása során használhatjuk az azonos bázisú hatványok osztó tulajdonságát. Akkor a fenti megoldás a következő lenne:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(a számláló és a nevező osztva egy közös tényezővel 2 2 3). Vagy az érthetőség kedvéért a szorzás és osztás tulajdonságai alapján a következő formát adjuk a megoldásnak:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analógia útján az algebrai törtek redukcióját hajtjuk végre, amelyben a számlálónak és a nevezőnek egész együtthatós monomija van.

1. példa

Az algebrai tört adott - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Csökkenteni kell.

Megoldás

Egy adott tört számlálóját és nevezőjét egyszerű tényezők és változók szorzataként felírhatjuk, majd elvégezhetjük a csökkentést:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Racionálisabb módszer azonban az lenne, ha a megoldást olyan kifejezésként írnánk le, amely hatványokkal rendelkezik:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Válasz:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Ha egy algebrai tört számlálója és nevezője tört numerikus együtthatókat tartalmaz, két lehetséges további lépés van: vagy külön osztjuk el ezeket a törtegyütthatókat, vagy először megszabadulunk a törtegyütthatóktól úgy, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozzuk valamilyen természetes számmal. Az utolsó transzformációt az algebrai tört alapvető tulajdonsága miatt hajtják végre (erről olvashat az „Algebrai tört redukálása új nevezőre” című cikkben).

2. példa

A megadott tört 2 5 x 0, 3 x 3. Csökkenteni kell.

Megoldás

A tört csökkentése a következőképpen lehetséges:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Próbáljuk meg másképpen megoldani a problémát, miután először megszabadultunk a törtegyütthatóktól - szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt ezen együtthatók nevezőinek legkisebb közös többszörösével, azaz. LCM-en (5, 10) = 10. Akkor kapjuk:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 x 3 x 2.

Válasz: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Ha csökkentjük az általános algebrai törteket, amelyekben a számlálók és a nevezők lehetnek monomiumok vagy polinomok, akkor olyan probléma adódhat, hogy a közös tényező nem mindig látható azonnal. Vagy ráadásul egyszerűen nem létezik. Ezután a közös tényező meghatározásához vagy a hiánya tényének rögzítéséhez az algebrai tört számlálóját és nevezőjét faktoráljuk.

3. példa

A racionális tört 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Csökkenteni kell.

Megoldás

Vegyük figyelembe a polinomokat a számlálóban és a nevezőben. Tegyük zárójelbe:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Látjuk, hogy a zárójelben lévő kifejezés rövidített szorzóképletekkel konvertálható:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jól látható, hogy lehetséges egy töredéket egy közös tényezővel csökkenteni b 2 (a + 7). Csináljunk egy csökkentést:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Írjunk egy rövid magyarázat nélküli megoldást egyenlőségláncként:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Válasz: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Előfordul, hogy a közös tényezőket numerikus együtthatók rejtik el. Ekkor a törtek kicsinyítésekor optimális a számláló és a nevező nagyobb hatványain lévő számtényezőket zárójelbe tenni.

4. példa

Adott az 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 algebrai tört. Lehetőség szerint csökkenteni kell.

Megoldás

Első pillantásra a számlálónak és a nevezőnek nincs közös nevezője. Azonban próbáljuk meg átváltani a megadott törtet. Vegyük ki a számlálóból az x tényezőt:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 év - 3 1 2

Most már láthat némi hasonlóságot a zárójelben lévő kifejezés és a nevezőben lévő kifejezés között x 2 y miatt . Vegyük ki ezeknek a polinomoknak a nagyobb hatványainak numerikus együtthatóit:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Most láthatóvá válik a közös tényező, végrehajtjuk a redukciót:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Válasz: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Hangsúlyozzuk, hogy a racionális törtek redukálásának készsége a polinomok faktorálási képességétől függ.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A törtek és redukálásuk egy másik téma, amely az 5. osztályban kezdődik. Itt alakul ki ennek a cselekvésnek az alapja, majd ezeket a készségeket egy fonal vonja be a felsőbb matematikába. Ha a tanuló nem érti, akkor problémái lehetnek az algebrával. Ezért jobb, ha egyszer s mindenkorra megértünk néhány szabályt. És emlékezzen egy tilalomra, és soha ne szegje meg.

Tört és redukciója

Minden diák tudja, mi az. A vízszintes vonalak között elhelyezkedő két számjegy azonnal törtnek számít. Azonban nem mindenki érti, hogy bármilyen szám válhat belőle. Ha egész szám, akkor mindig osztható eggyel, és akkor kap egy helytelen törtet. De erről majd később.

A kezdet mindig egyszerű. Először ki kell találnia, hogyan csökkentheti a megfelelő törtet. Vagyis olyat, amelyben a számláló kisebb, mint a nevező. Ehhez emlékeznie kell egy tört alapvető tulajdonságára. Kimondja, hogy ha a számlálóját és a nevezőjét egyidejűleg megszorozzuk (valamint elosztjuk) ugyanazzal a számmal, akkor ekvivalens törtet kapunk.

Az ebben a tulajdonságban végrehajtott, csökkentést eredményező felosztási műveletek. Vagyis a lehető legegyszerűsíteni. Egy töredék csökkenthető mindaddig, amíg vannak közös tényezők a vonal felett és alatt. Amikor már nincsenek ott, a csökkentés lehetetlen. És azt mondják, hogy ez a tört redukálhatatlan.

Két út

1.Lépésről lépésre csökkentése. Becslési módszert használ, ahol mindkét szám el van osztva a tanuló által észlelt minimális közös tényezővel. Ha az első összehúzódás után egyértelmű, hogy ez még nem a vég, akkor a felosztás folytatódik. Amíg a tört redukálhatatlanná válik.

2. A számláló és a nevező legnagyobb közös osztójának megtalálása. Ez a legracionálisabb módja a törtek csökkentésének. Ez magában foglalja a számláló és a nevező prímtényezőkbe való beszámítását. Ezek közül azután ugyanazokat kell kiválasztania. A szorzatuk adja a legnagyobb közös tényezőt, amellyel a tört csökken.

Mindkét módszer egyenértékű. A tanulót arra ösztönzik, hogy sajátítsa el ezeket, és használja azt, amelyik a legjobban tetszik.

Mi van, ha vannak betűk és összeadási és kivonási műveletek?

A kérdés első része többé-kevésbé egyértelmű. A betűket ugyanúgy lehet rövidíteni, mint a számokat. A lényeg az, hogy multiplikátorként működjenek. De sok embernek problémája van a másodikkal.

Fontos emlékezni! Csak azokat a számokat csökkentheti, amelyek tényezők. Ha összegzések, az lehetetlen.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan csökkenthetjük az algebrai kifejezés formájú törteket, meg kell értenünk a szabályt. Először fejezze ki a számlálót és a nevezőt szorzatként. Ezután csökkentheti, ha megjelennek a közös tényezők. A szorzók formájában történő megjelenítéséhez a következő technikák hasznosak:

csoportosítás;
konzolozás;
a rövidített szorzási azonosságok alkalmazása.

Sőt, az utóbbi módszer lehetővé teszi a feltételek azonnali szorzók formájában történő megszerzését. Ezért mindig akkor kell használni, ha ismert minta látható.

De ez még nem ijesztő, majd megjelennek a végzettségű és gyökerű feladatok. Ilyenkor kell bátorságot merítened, és meg kell tanulnod néhány új szabályt.

Kifejezés fokozattal

Töredék. A számláló és a nevező a szorzat. Vannak betűk és számok. És szintén olyan hatalommá emelik őket, amely szintén kifejezésekből vagy tényezőkből áll. Van mitől félni.

Ahhoz, hogy megértse, hogyan csökkentheti a törteket hatványokkal, két dolgot kell megtanulnia:

ha a kitevő tartalmaz egy összeget, akkor az faktorokra bontható, amelyek hatványai az eredeti tagok lesznek;
ha a különbség, akkor az osztó és az osztó, az elsőnek lesz a minuend hatványa, a másodiké a részfeje.

Ezen lépések elvégzése után láthatóvá válnak a teljes szorzók. Ilyen példákban nincs szükség az összes teljesítmény kiszámítására. Elegendő a fokokat egyszerűen csökkenteni ugyanazokkal a kitevőkkel és bázisokkal.

Ahhoz, hogy végre elsajátíthasd, hogyan csökkentsd a törteket a hatványokkal, sok gyakorlásra van szükséged. Több hasonló példa után a műveletek automatikusan végrehajtásra kerülnek.

Mi van akkor, ha a kifejezés gyökérrel rendelkezik?

Le is lehet rövidíteni. Csak ismét a szabályok betartásával. Ráadásul a fent leírtak mind igazak. Általánosságban elmondható, hogy ha a kérdés az, hogyan lehet csökkenteni a töredéket a gyökerekkel, akkor osztania kell.

Irracionális kifejezésekre is felosztható. Vagyis ha a számlálónak és a nevezőnek azonos tényezője van, a gyök jele alá zárva, akkor biztonságosan redukálható. Ez leegyszerűsíti a kifejezést és befejezi a feladatot.

Ha a redukció után az irracionalitás a törtvonal alatt marad, akkor meg kell szabadulnia tőle. Más szóval, szorozd meg vele a számlálót és a nevezőt. Ha a művelet után közös tényezők jelennek meg, ezeket ismét csökkenteni kell.

Valószínűleg ennyi a törtek csökkentéséről. Kevés szabály van, de csak egy tilalom. Soha ne rövidítse le a feltételeket!

A törtek redukálására azért van szükség, hogy a tört egyszerűbb formára redukálható legyen, például egy kifejezés megoldása eredményeként kapott válaszban.

Törtek redukálása, meghatározás és képlet.

Mi a redukáló frakció? Mit jelent a töredék csökkentése?

Meghatározás:
Frakciók csökkentése- ez egy tört számlálójának és nevezőjének osztása ugyanazzal a pozitív számmal, amely nem egyenlő nullával és eggyel. A redukció eredményeként egy kisebb számlálóval és nevezővel rendelkező törtet kapunk, amely megegyezik a szerinti előző törttel.

Képlet a frakciók csökkentésére a racionális számok alapvető tulajdonságai.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Nézzünk egy példát:
Csökkentse a tört \(\frac(9)(15)\)

Megoldás:
A töredéket beszámíthatjuk prímtényezőkbe, és törölhetjük a közös tényezőket.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(piros) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Válasz: redukció után megkaptuk a \(\frac(3)(5)\ törtet. A racionális számok alaptulajdonsága szerint a kezdő és a kapott tört egyenlő.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Hogyan csökkenthető a frakció? Egy tört redukálása irreducibilis formájára.

Ahhoz, hogy ennek eredményeként egy redukálhatatlan törtet kapjunk, szükségünk van megtalálni a legnagyobb közös osztót (GCD) a tört számlálójához és nevezőjéhez.

A példában a számok prímtényezőkre történő felosztását többféleképpen is megtalálhatjuk.

Szerezd meg a \(\frac(48)(136)\ irreducibilis törtet.

Megoldás:
Keressük a GCD(48, 136) értéket. Írjuk fel a 48-as és 136-os számokat prímtényezőkbe.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48; 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\szín(piros) (2 \× 2 \× 2) \× 2 \× 3) (\color (piros) (2 \× 2 \× 2) ? frac(6)(17)\)

A tört redukálhatatlan formává való redukálásának szabálya.

Meg kell találnia a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját.
A számlálót és a nevezőt el kell osztani a legnagyobb közös osztóval, hogy egy redukálhatatlan törtet kapjunk.

Példa:
Csökkentse a \(\frac(152)(168)\ törtet.

Megoldás:
Keressük a GCD(152, 168) értéket. Írjuk fel a 152 és 168 számokat prímtényezőkbe.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152; 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\szín(piros) (6) \times 19)(\color(piros) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Válasz: A \(\frac(19)(21)\) egy redukálhatatlan tört.

A nem megfelelő törtek csökkentése.

Hogyan lehet csökkenteni a nem megfelelő törtet?
A törtek csökkentésére vonatkozó szabályok ugyanazok a megfelelő és nem megfelelő törtek esetében.

Nézzünk egy példát:
Csökkentse a \(\frac(44)(32)\ nem megfelelő törtet.

Megoldás:
Írjuk a számlálót és a nevezőt egyszerű tényezőkbe. És akkor csökkentjük a közös tényezőket.

' )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Vegyes frakciók redukálása.

A vegyes törtek ugyanazokat a szabályokat követik, mint a közönséges törtek. Az egyetlen különbség az, hogy képesek vagyunk rá ne érintse meg az egész részt, hanem csökkentse a töredék részét vagy Váltson át egy kevert törtet nem megfelelő törtté, csökkentse és alakítsa vissza megfelelő törtté.

Nézzünk egy példát:
Törölje a \(2\frac(30)(45)\ vegyes törtet.

Megoldás:
Kétféleképpen oldjuk meg:
Első út:
Írjuk a tört részt egyszerű faktorokba, de ne érintsük a teljes részt.

' frac(2)(3)\)

Második út:
Először alakítsuk át nem megfelelő törtté, majd írjuk prímtényezőkbe és csökkentsük. A kapott nem megfelelő törtet alakítsuk át megfelelő törtté.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(piros) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Kapcsolódó kérdések:
Csökkentheti a törteket összeadáskor vagy kivonáskor?
Válasz: nem, először össze kell adni vagy ki kell venni a törteket a szabályok szerint, és csak ezután kell csökkenteni őket. Nézzünk egy példát:

Értékelje a \(\frac(50+20-10)(20)\) kifejezést.

Megoldás:
Gyakran elkövetik azt a hibát, hogy a számlálóban és a nevezőben ugyanazokat a számokat csökkentik, esetünkben a 20-at, de addig nem csökkenthetők, amíg az összeadás és a kivonás be nem fejeződik.

\(\frac(50+\szín(piros) (20)-10)(\szín(piros) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Milyen számokkal csökkentheti töredékét?
Válasz: A törtet csökkentheti a legnagyobb közös tényezővel vagy a számláló és a nevező közös osztójával. Például a \(\frac(100)(150)\ tört.

Írjuk fel a 100 és 150 számokat prímtényezőkbe.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
A legnagyobb közös osztó a gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 szám lesz.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Megkaptuk a \(\frac(2)(3)\ irreducibilis törtet.

De nem szükséges mindig GCD-vel osztani, nem mindig van szükség a törtre a számláló és a nevező egyszerű osztójával. Például a 100 és 150 szám közös osztója 2. Csökkentsük a \(\frac(100)(150)\) törtet 2-vel.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Megkaptuk a \(\frac(50)(75)\ redukálható törtet.

Milyen töredékek csökkenthetők?
Válasz: Lecsökkentheti azokat a törteket, amelyekben a számlálónak és a nevezőnek közös osztója van. Például a \(\frac(4)(8)\ tört. A 4-es és a 8-as számnak van egy száma, amellyel mindkettő osztható - ez a szám 2. Ezért egy ilyen tört csökkenthető a 2-vel.

Példa:
Hasonlítsa össze a két tört \(\frac(2)(3)\) és \(\frac(8)(12)\).

Ez a két tört egyenlő. Nézzük meg közelebbről a \(\frac(8)(12)\ törtet:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)

Innen a következőt kapjuk: \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Két tört akkor és csak akkor egyenlő, ha az egyiket úgy kapjuk meg, hogy a másik törtet a számláló és a nevező közös tényezőjével csökkentjük.

Példa:
Ha lehetséges, csökkentse a következő törteket: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Megoldás:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \szer 3 \szer 3) (13)=\frac(18) (13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\szín(piros) (3 \szer 3) \szer 3)(\szín(piros) (3 \szer 3) \szer 7)=\frac (3) (7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) irreducibilis tört
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\szín(piros) (2 \x 5 \x 5) \x 2)(\color(piros) (2 \x 5 \x 5) \ szor 5)=\frac(2)(5)\)

A törtek csökkentésének megértéséhez először nézzünk meg egy példát.

A tört csökkentése azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a dologgal osztjuk el. Mind a 360, mind a 420 egy számjegyre végződik, így ezt a törtet 2-vel csökkenthetjük. Az új törtben a 180 és a 210 is osztható 2-vel, így ezt a törtet 2-vel csökkentjük. A 90 és 105 számokban az összeg számjegye osztható 3-mal, tehát mindkét szám osztható 3-mal, a törtet 3-mal csökkentjük. Az új törtben 30 és 35 0-ra és 5-re végződik, ami azt jelenti, hogy mindkét szám osztható 5-tel, ezért csökkentjük a tört 5-tel. A kapott hat heted törtrésze redukálhatatlan. Ez a végső válasz.

Ugyanarra a válaszra más módon is eljuthatunk.

Mind a 360, mind a 420 nullára végződik, ami azt jelenti, hogy oszthatóak 10-zel. Csökkentjük a törtet 10-zel. Az új törtben a 36 számlálót és a 42 nevezőt is elosztjuk 2-vel. Csökkentjük a törtet 2-vel. Következő tört, mind a 18 számláló, mind a 21 nevező el van osztva 3-mal, ami azt jelenti, hogy a törtet 3-mal csökkentjük. Megérkeztünk az eredményhez - hat heted.

És még egy megoldás.

Legközelebb a törtek csökkentésére nézünk példákat.

Ebben a cikkben részletesen megvizsgáljuk, hogyan redukáló frakciók. Először beszéljük meg az úgynevezett törtcsökkentést. Ezek után beszéljünk egy redukálható tört redukálhatatlan formára való redukálásáról. Ezután megkapjuk a törtek csökkentésére vonatkozó szabályt, és végül példákat tekintünk ennek a szabálynak az alkalmazására.

Oldalnavigáció.

Mit jelent a töredék csökkentése?

Tudjuk, hogy a közönséges törteket redukálható és irreducibilis törtekre osztják. A nevekből sejthető, hogy a redukálható törtek csökkenthetők, de az irreducibilis törtek nem.

Mit jelent a töredék csökkentése? Csökkentse a frakciót- ez azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt el kell osztani pozitívukkal, amelyek különböznek az egységtől. Jól látható, hogy egy tört redukciója eredményeként egy új tört keletkezik kisebb számlálóval és nevezővel, és a tört alaptulajdonsága miatt a kapott tört megegyezik az eredetivel.

Például csökkentsük a 8/24 közös törtet úgy, hogy a számlálóját és a nevezőjét elosztjuk 2-vel. Más szóval, csökkentsük a 8/24 törtet 2-vel. Mivel 8:2=4 és 24:2=12, ez a csökkentés a 4/12-t eredményezi, ami megegyezik az eredeti 8/24 törttel (lásd egyenlő és egyenlőtlen tört). Ennek eredményeként van .

A közönséges törtek redukálása redukálhatatlan formára

Jellemzően a tört csökkentésének végső célja egy olyan irreducibilis tört elérése, amely megegyezik az eredeti redukálható törttel. Ezt a célt úgy érhetjük el, hogy az eredeti csökkenthető tört számlálójával és nevezőjével csökkentjük. Az ilyen redukció eredményeként mindig egy redukálhatatlan törtet kapunk. Valóban, töredéke redukálhatatlan, mivel ez ismert És - . Itt azt fogjuk mondani, hogy egy tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztója az a legnagyobb szám, amellyel ez a tört csökkenthető.

Így, közönséges frakciót redukálhatatlan formává redukálni abból áll, hogy az eredeti redukálható tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk a gcd-jükkel.

Nézzünk egy példát, amelyre visszatérünk a 8/24 törthez, és csökkentjük a 8 és 24 számok legnagyobb közös osztójával, amely egyenlő 8-cal. Mivel 8:8=1 és 24:8=3, elérkeztünk a redukálhatatlan törthez 1/3. Így, .

Vegye figyelembe, hogy a „töredék csökkentése” kifejezés gyakran azt jelenti, hogy az eredeti töredéket redukálhatatlan formájára redukálják. Más szóval, a tört csökkentése nagyon gyakran arra utal, hogy a számlálót és a nevezőt el kell osztani a legnagyobb közös tényezővel (nem pedig bármilyen közös tényezővel).

Hogyan lehet töredéket csökkenteni? A törtek csökkentésére vonatkozó szabályok és példák

Nincs más hátra, mint megnézni a törtek csökkentésére vonatkozó szabályt, amely elmagyarázza, hogyan kell egy adott törtet csökkenteni.

A törtek csökkentésére vonatkozó szabály két lépésből áll:

először megtaláljuk a tört számlálójának és nevezőjének gcd-jét;
másodszor, a tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk a gcd-jükkel, ami az eredetivel megegyező irreducibilis törtet ad.

Tegyük rendbe példa a tört csökkentésére a megállapított szabály szerint.

Példa.

Csökkentse a törtet 182/195-re.

Megoldás.

Végezzük el a törtcsökkentési szabály által előírt mindkét lépést.

Először megtaláljuk a GCD(182, 195) . A legkényelmesebb az Euklidész algoritmus használata (lásd): 195=182·1+13, 182=13·14, azaz GCD(182, 195)=13.

Most elosztjuk a 182/195 tört számlálóját és nevezőjét 13-mal, és megkapjuk az irreducibilis tört 14/15-öt, amely megegyezik az eredeti törttel. Ezzel befejeződik a frakció csökkentése.

A megoldást röviden a következőképpen írhatjuk fel: .

Válasz:

Itt fejezhetjük be a frakciók csökkentését. De hogy teljes legyen a kép, nézzünk meg még két módszert a törtek csökkentésére, amelyeket általában egyszerű esetekben használnak.

Néha a csökkentendő tört számlálója és nevezője nem nehéz. A tört csökkentése ebben az esetben nagyon egyszerű: csak el kell távolítania az összes gyakori tényezőt a számlálóból és a nevezőből.

Érdemes megjegyezni, hogy ez a módszer közvetlenül következik a törtek redukálásának szabályából, mivel a számláló és a nevező összes közös prímtényezőjének szorzata egyenlő a legnagyobb közös osztójukkal.

Nézzük a példa megoldását.

Példa.

Csökkentse a törtet 360/2 940-re.

Megoldás.

Tegyük a számlálót és a nevezőt egyszerű tényezőkre: 360=2·2·2·3·3·5 és 2,940=2·2·3·5·7·7. És így, .

Most megszabadulunk a számlálóban és a nevezőben szereplő közös tényezőktől, egyszerűen áthúzzuk őket: .

Végül megszorozzuk a fennmaradó tényezőket: , és a tört redukciója kész.

Íme egy rövid összefoglaló a megoldásról: .

Válasz:

Nézzünk egy másik módszert a tört csökkentésére, amely szekvenciális redukcióból áll. Itt minden lépésben a törtet a számláló és a nevező valamilyen közös osztójával csökkentjük, ami vagy nyilvánvaló, vagy könnyen meghatározható