Система линейных уравнений. Общее решение. Решение систем линейных уравнений. Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где a ij – коэффициенты, а b i – постоянные.

Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А * = называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b 1 , b 2 , …,b m = 0 , то система называется однородной. Замечание. Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем.

1. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2. Перестановка уравнений местами.

3. Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х .

Формулы Крамера.

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений.

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и это решение находится по формулам: x i = где D = det A , а D i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b i .

D i =

Пример. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D 1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

D 2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

D 3 = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

Замечание 1. Если система однородна, т.е. b i = 0 , то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x 1 = x 2 = … = x n = 0.

Замечание 2. При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

Метод обратной матрицы.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Пусть дана система уравнений: Составим матрицы:

A = - матрица коэффициентов при переменных или матрица системы;

B = - матрица –столбец свободных членов;

X = - матрица – столбец неизвестных.

Тогда систему уравнений можно записать:A×X = B. Домножим слева обе части равенства на A -1: A -1 ×A×X = A -1 ×B, т.к. А -1 ×А = Е, то Е×Х = А -1 ×В , то справедлива следующая формула:

Х = А -1 ×В

Таким образом, для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу.

Пример. Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А -1 .

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30≠0 ⇒ обратная матрица существует.

M 11 = ; M 21 = ; M 31 = ;

M 12 = M 22 = M 32 =

M 13 = M 23 = M 33 =

A -1 = ;

Cделаем проверку:

A×A -1 =
=E.

Находим матрицу Х.

Х = = А -1 В = × = .

Получили решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

4.Метод Гаусса .

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

Полагая, что в системе коэффициент a 11 отличен от нуля (если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x 1). Преобразуем систему следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x 1 с помощью эквивалентных преобразований описанным выше способом.

В полученной системе

,

считая, что (что всегда можно получить, переставив уравнения или слагаемые внутри уравнений), оставляем без изменений первые два уравнения системы, а из остальных уравнений, используя второе уравнения, с помощью элементарных преобразований исключаем неизвестную x 2 . Во вновь полученной системе

при условии оставляем без изменений первые три уравнения, а из всех остальных с помощью третьего уравнения элементарными преобразованиями исключаем неизвестную x 3 .

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не реализуется один из трех возможных случаев:

1) если в результате приходим к системе, одно из уравнений которой имеет нулевые коэффициенты при всех неизвестных и отличный от нуля свободный член, то исходная система несовместна;

2) если в результате преобразований получаем систему с матрицей коэффициентов треугольного вида, то система совместна и является определенной;

3) если получается ступенчатая система коэффициентов (и при этом не выполняется условие пункта 1), то система совместна и неопределенна.

Рассмотрим квадратную систему: (1)

У этой системы коэффициент a 11 отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x 1 не равен нулю.

Проведем следующие преобразования системы:

1) поскольку a 11 ¹0, первое уравнение оставим без изменений;

2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;

4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x 1 (это и являлось целью преобразований 1 – 4): (2)

Для приведенного преобразования и для всех дальнейших преобразований не следует целиком переписывать всю систему, как это только что сделано. Исходную систему можно представить в виде матрицы

. (3)

Матрица (3) называется расширенной матрицей для исходной системы уравнений. Если из расширенной матрицы удалить столбец свободных членов, то получится матрица коэффициентов системы , которую иногда называют просто матрицей системы .

Системе (2) соответствует расширенная матрица

.

Преобразуем эту матрицу следующим образом:

1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a 22 не равен нулю;

2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей;

3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x 1 исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x 2 - из всех уравнений кроме первого и второго:

.

Теперь исключим неизвестную x 3 из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1) первые три строки оставим без изменения, так как a 33 ¹ 0;

2) четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой: .

Полученная матрица соответствует системе

. (4)

Из последнего уравнения этой системы получаем x 4 = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x 3 = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x 2 = 1, а из первого - x 1 = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x 4 , затем x 3 и т. д.).

Определение: Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей .

Матрица коэффициентов системы (4) – треугольная матрица.

Замечание: Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна и определенна.

Рассмотрим другой пример: . (5)

Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы:

1) первую строку оставим без изменения;

2) вместо второй строки запишем разность между второй строкой и удвоенной первой;

3) вместо третьей строки запишем разность между третьей строкой и утроенной первой;

4) четвертую строку заменим разностью между четвертой и первой;

5) пятую строку заменим разностью пятой строки и удвоенной первой.

В результате преобразований получим матрицу

.

Оставив без изменения первые две строки этой матрицы, приведем ее элементарными преобразованиями к следующему виду:

.

Если теперь, следуя методу Гаусса, который также называют и методом последовательного исключения неизвестных, с помощью третьей строки привести к нулю коэффициенты при x 3 в четвертой и пятой строках, то после деления всех элементов второй строки на 5 и деления всех элементов третьей строки на 2 получим матрицу

.

Каждая из двух последних строк этой матрицы соответствует уравнению 0x 1 +0x 2 +0x 3 +0x 4 +0x 5 = 0. Это уравнение удовлетворяется любым набором чисел x 1 , x 2 , ¼, x 5 , и его следует удалить из системы. Таким образом, система с только что полученной расширенной матрицей эквивалентна системе с расширенной матрицей вида

. (6)

Последняя строка этой матрицы соответствует уравнению
x 3 – 2x 4 + 3x 5 = –4. Если неизвестным x 4 и x 5 придать произвольные значения: x 4 = С 1 ; x 5 = С 2 , то из последнего уравнения системы, соответствующей матрице (6), получим x 3 = –4 + 2С 1 – 3С 2 . Подставив выражения x 3 , x 4 , и x 5 во второе уравнение той же системы, получим x 2 = –3 + 2С 1 – 2С 2 . Теперь из первого уравнения можно получить x 1 = 4 – С 1 + С 2 . Окончательно решение системы представляется в виде .

Рассмотрим прямоугольную матрицу A , у которой число столбцов m больше, чем число строк n . Такую матрицу A назовем ступенчатой .

Очевидно, что матрица (6) - ступенчатая матрица.

Если при применении эквивалентных преобразований к системе уравнений хотя бы одно уравнение приводится к виду

0x 1 + 0x 2 + ¼0x n = b j (b j ¹ 0),

то система несовместна или противоречива, так как ни один набор чисел x 1 , x 2 , ¼, x n не удовлетворяет этому уравнению.

Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к ступенчатому виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений .

В последней системе можно получить все решения, придавая конкретные числовые значения параметрам С 1 и С 2 .

Определение: Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали ступенчатой матрицы (это значит, что эти коэффициенты отличны от нуля), называются основными . В рассмотренном выше примере это неизвестные x 1 , x 2 , x 3 . Остальные переменные называются неосновными. В рассмотренном выше примере это переменные x 4 , и x 5 . Неосновным переменным можно придавать любые значения или выражать их через параметры, как это сделано в последнем примере.

Основные переменные единственным образом выражаются через неосновные переменные.

Определение: Если неосновным переменным приданы конкретные числовые значения и через них выражены основные переменные, то полученное решение называется частным решением .

Определение: Если неосновные переменные выражены через параметры, то получается решение, которое называется общим решением.

Определение: Если всем неосновным переменным приданы нулевые значения, то полученное решение называется базисным .

Замечание: Одну и ту же систему иногда можно привести к разным наборам основных переменных. Так, например, можно поменять местами 3-й и 4-й столбцы в матрице (6). Тогда основными будут переменные x 1 , x 2 , x 4 , а неосновными – x 3 и x 5 .

Определение: Если получены два различных набора основных переменных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число переменных, называемое рангом системы.

Рассмотрим еще одну систему, имеющую бесконечно много решений: .

Проведем преобразование расширенной матрицы системы по методу Гаусса:

.

Как видно, мы не получили ступенчатой матрицы, однако последнюю матрицу можно преобразовать, поменяв местами третий и четвертый столбцы: .

Эта матрица уже является ступенчатой. У соответствующей ей системы две неосновные переменные – x 3 , x 5 и три основные – x 1 , x 2 , x 4 . Решение исходной системы представляется в следующем виде:

Приведем пример системы, не имеющей решения:

.

Преобразуем матрицу системы по методу Гаусса:

.

Последняя строка последней матрицы соответствует не имеющему решения уравнению 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 1 . Следовательно, исходная система несовместна.

Лекция № 3.

Тема: Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

1. Понятие вектора. Коллинарность, ортогональность и компланарность векторов.

2. Линейная операция над векторами.

3. Скалярное произведение векторов и его применение

4. Векторное произведение векторов и его применение

5. Смешанное произведение векторов и его применение

1. Понятие вектора.Коллинарность, ортогональность и компланарность векторов.

Обозначение: , ,

Определение: Длиной или модулем вектора вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Определение: Вектор называется нулевым, если начало и конец вектора совпадают.

Определение: Вектор единичной длины называется единичным. Определение: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых ( || ).

Замечание:

1.Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

2. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение: Два вектора называются равными, если они коллинеарные,

одинаково направлены и имеют одинаковые длины ( = )

1. является ли система совместной;
2. если система совместна, то определенна или неопределенна (критерий совместности системы определяется по теореме);
3. если система определенна, то как найти ее единственное решение (используются метод Крамера, метод обратной матрицы или метод Жордана-Гаусса);
4. если система неопределенна, то как описать множество ее решений.

Классификация систем линейных уравнений

1. Системы линейных неоднородных уравнений (количество переменных равно количеству уравнений, m = n).
2. Произвольные системы линейных неоднородных уравнений (m > n или m < n).

Определение . Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.

Определение . Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Определение . Система, имеющая единственное решение, называется определенной , а имеющая более одного решения – неопределенной.

Алгоритм решения систем линейных уравнений

1. Находим ранги основной и расширенной матриц. Если они не равны, то по теореме Кронекера-Капелли система несовместна и на этом исследование заканчивается.
2. Пусть rang(A) = rang(B) . Выделяем базисный минор. При этом все неизвестные системы линейных уравнений подразделяются на два класса. Неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор, называют зависимыми, а неизвестные, коэффициенты при которых не попали в базисный минор – свободными. Заметим, что выбор зависимых и свободных неизвестных не всегда однозначен.
3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
5. Полученная система решается одним из способов: метод Крамера, метод обратной матрицы или метод Жордана-Гаусса. Находятся соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.

Раздел 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Системы линейных уравнений

Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей т уравнений и п неизвестных, называется система вида

где числа а ij , i =
, j = называются коэффициентами системы, числа b i – свободными членами. Подлежат нахождению числа х п .

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме
.

Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей :

,

–вектор-столбец из неизвестных х j , – вектор-столбец из свободных членовb i .

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

.

Решением системы называется п значений неизвестных х 1 =с 1 , х 2 =с 2 , ..., х п =с п , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца .

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или не совместна. Если система совместна, то найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной , если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как х 1 =х 2 =…=х п =0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Решение систем линейных уравнений

Пусть дана произвольная система т линейных уравнений с п неизвестными

Теорема 1 (Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

Теорема 2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

П р и м е р. Исследовать на совместность систему

Решение.
,r (A )=1;
, r ()=2,
.

Таким образом, r (A) r (), следовательно, система несовместна.

Решение невырожденных систем линейных уравнений. Формулы Крамера

Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

или в матричной форме А∙Х=В.

Основная матрица А такой системы – квадратная. Определитель этой матрицы называется определителем системы . Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной .

Найдем решение данной системы уравнений в случае ∆0. умножив обе части уравнения А∙Х=В слева на матрицу А  1 , получим А  1 ∙ А∙Х= А  1 ∙В. Поскольку А  1 ∙ А=Е и Е∙Х=Х, то Х= А  1 ∙ В. Данный способ решения системы называют матричным .

Из матричного способа вытекают формулы Крамера
, где ∆ – определитель основной матрицы системы, а ∆ i – определитель, полученный из определителя ∆ путем замены i -го столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

П р и м е р. Решить систему

Решение.
, 70,
,
. Значит,х 1 =, х 2 =
.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному ) виду.

где k ≤ п, а ii  0, i = . Коэффициенты а ii называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Замечания:

Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. k = n , то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим х п , из предпоследнего уравнения находим х п  1 , далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные.

На практике удобнее работать с расширенной матрицей системы, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент а 11 был равен 1(уравнения переставить местами, либо разделить на а 11 1).

П р и м е р. Решить систему методом Гаусса

Решение. В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

~
~
~

~

исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы: x 2 =5 x 4  13 x 3  3; x 1 =5 x 4  8 x 3  1.

Если положить, например, х 3 =х 4 =0, то найдем одно из частных решений этой системы х 1 =  1, х 2 =  3, х 3 =0, х 4 =0.

Систем однородных линейных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Очевидно, что однородная система всегда совместна, она имеет нулевое (тривиальное) решение.

Теорема 4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. r < n .

Теорема 5. Для того, чтобы однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель ее основной матрицы был равен нулю, т.е. ∆=0.

Если система имеет ненулевые решения, то ∆=0.

П р и м е р. Решить систему

Решение.
,r (A )=2
, п=3. Так как r < n , то система имеет бесконечное множество решений.

,
. Стало быть,х 1 ==2х 3 , х 2 ==3х 3 – общее решение.

Положив х 3 =0, получим одно частное решение: х 1 =0, х 2 =0, х 3 =0. Положив х 3 =1, получим второе частное решение: х 1 =2, х 2 =3, х 3 =1 и т.д.

Вопросы для контроля

Что такое система линейных алгебраических уравнений?

Поясните следующие понятия: коэффициент, свободный член, основная и расширенная матрицы.

Какими бывают системы линейных уравнений? Сформулируйте теорему Кронкера-Капелли (о совместности системы линейных уравнений).

Перечислите и поясните методы решения систем линейных уравнений.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .

Примеры. Решить системы уравнений.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы .

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.

Переменная x i называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:

Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.

Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:

1. Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.

В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.

Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.

И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует