A paralelogramma ellentétes szögei egyenlőek. Hogyan találjuk meg a paralelogramma hegyesszögét

Ahogy az euklideszi geometriában a síkelmélet fő elemei a pont és az egyenes, úgy a konvex négyszögek egyik kulcsfigurája a paralelogramma. Belőle, mint a szálak egy labdából, a „téglalap”, a „négyzet”, a „rombusz” és más geometriai mennyiségek fogalmai folynak.

Kapcsolatban áll

A paralelogramma definíciója

konvex négyszög, A geometriában paralelogrammaként ismert vonalszakaszokból álló, minden párja párhuzamos.

Hogy néz ki egy klasszikus paralelogramma, azt egy ABCD négyszög ábrázolja. Az oldalakat alapoknak (AB, BC, CD és AD) nevezzük, a tetszőleges csúcsból a vele ellentétes oldalra húzott merőlegest magasságnak (BE és BF), az AC és BD egyeneseket átlónak nevezzük.

Figyelem! A négyzet, a rombusz és a téglalap a paralelogramma speciális esetei.

Oldalak és szögek: a kapcsolat jellemzői

Összességében a legfontosabb tulajdonságok, maga a megnevezés határozza meg, azokat a tétel bizonyítja. Ezek a jellemzők a következők:

1. A szemközti oldalak páronként azonosak.
2. Az egymással szemközti szögek páronként egyenlőek.

Bizonyítás: Tekintsük ∆ABC és ∆ADC, amelyeket úgy kapunk, hogy az ABCD négyszöget elosztjuk az AC egyenessel. ∠BCA=∠CAD és ∠BAC=∠ACD, mivel az AC közös náluk (függőleges szög BC||AD és AB||CD esetén). Ebből következik: ∆ABC = ∆ADC (a háromszögek egyenlőségének második jele).

Az AB és BC szakaszok ∆ABC-ben páronként megfelelnek az ∆ADC CD és AD egyeneseinek, ami azt jelenti, hogy azonosak: AB = CD, BC = AD. Így ∠B ∠D-nek felel meg, és egyenlők. Mivel ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, amelyek szintén páronként azonosak, akkor ∠A = ∠C. Az ingatlan bizonyított.

Egy ábra átlóinak jellemzői

Fő jellemzője a paralelogramma ezen egyenesei közül: a metszéspont kettéosztja őket.

Bizonyítás: Legyen az ABCD ábra AC és BD átlóinak metszéspontja. Két arányos háromszöget alkotnak - ∆ABE és ∆CDE.

AB=CD, mivel ezek ellentétek. A vonalak és szekánsok szerint ∠ABE = ∠CDE és ∠BAE = ∠DCE.

Az egyenlőség második kritériuma szerint ∆ABE = ∆CDE. Ez azt jelenti, hogy az ∆ABE és ∆CDE elemek: AE = CE, BE = DE és egyben arányos részei AC és BD. Az ingatlan bizonyított.

A szomszédos sarkok jellemzői

A szomszédos oldalak szögeinek összege 180°, mivel párhuzamos egyenesek és keresztirányú vonalak ugyanazon az oldalán fekszenek. ABCD négyszög esetén:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

A felező tulajdonságai:

1. , egyik oldalra süllyesztve, merőlegesek;
2. az ellentétes csúcsoknak párhuzamos felezői vannak;
3. a felezővonal rajzolásával kapott háromszög egyenlő szárú lesz.

A paralelogramma jellemzőinek meghatározása a tétel segítségével

Ennek az ábrának a jellemzői a fő tételből következnek, amely a következőket mondja ki: a négyszöget paralelogrammának tekintjük abban az esetben, ha átlói metszik egymást, és ez a pont egyenlő szegmensekre osztja őket.

Bizonyítás: az ABCD négyszög AC és BD egyenesei metssék egymást pl. Mivel ∠AED = ∠BEC, és AE+CE=AC BE+DE=BD, akkor ∆AED = ∆BEC (a háromszögek egyenlőségének első kritériuma szerint). Vagyis ∠EAD = ∠ECB. Ezek egyben az AD és BC vonalak AC szekánsának belső keresztszögei is. Így a párhuzamosság definíciója szerint - AD || IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. A BC és CD sorok hasonló tulajdonságát is levezetjük. A tétel bizonyítást nyert.

Egy ábra területének kiszámítása

Az ábra területe több módszerrel is megtalálható az egyik legegyszerűbb: megszorozzuk a magasságot és a bázist, amelyhez húzzuk.

Bizonyítás: rajzoljunk BE és CF merőlegeseket a B és C csúcsokból. ∆ABE és ∆DCF egyenlőek, mivel AB = CD és BE = CF. Az ABCD mérete megegyezik az EBCF téglalappal, mivel arányos számokból állnak: S ABE és S EBCD, valamint S DCF és S EBCD. Ebből következik, hogy ennek a geometriai alaknak a területe megegyezik egy téglalapéval:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

A paralelogramma területének általános képletének meghatározásához jelöljük a magasságot mint hb, és az oldal - b. Illetőleg:

A terület megtalálásának egyéb módjai

Területszámítások a paralelogramma oldalain és a szögön keresztül, amelyet alkotnak, a második ismert módszer.

,

Spr-ma - terület;

a és b az oldalai

α az a és b szakaszok közötti szög.

Ez a módszer gyakorlatilag az elsőn alapul, de abban az esetben, ha nem ismert. mindig levág egy derékszögű háromszöget, amelynek paramétereit trigonometrikus azonosságok határozzák meg, azaz. A relációt átalakítva azt kapjuk, hogy . Az első módszer egyenletében a magasságot ezzel a szorzattal helyettesítjük, és bizonyítjuk ennek a képletnek az érvényességét.

A paralelogramma átlóin és a szögön keresztül, amelyeket kereszteződésükkor hoznak létre, a területet is megtalálhatja.

Bizonyítás: AC és BD metszik egymást négy háromszöget alkotva: ABE, BEC, CDE és AED. Összegük egyenlő ennek a négyszögnek a területével.

Mindegyik ∆ területe megtalálható a kifejezéssel, ahol a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Mivel , a számítások egyetlen szinuszértéket használnak. Azaz . Mivel AE+CE=AC=d 1 és BE+DE=BD=d 2, a területképlet a következőre redukálódik:

.

Alkalmazás vektoralgebrában

E négyszög alkotórészeinek jellemzői a vektoralgebrában is alkalmazásra találtak, nevezetesen két vektor összeadása. A paralelogramma szabály azt mondja ki ha adott vektorokÉsNemkollineárisak, akkor összegük egyenlő lesz ennek az ábrának az átlójával, amelynek alapjai ezeknek a vektoroknak felelnek meg.

Bizonyítás: tetszőlegesen választott kezdetből - i.e. - vektorokat és . Ezután megszerkesztünk egy OASV paralelogrammát, ahol az OA és OB szakaszok oldalak. Így az operációs rendszer a vektoron vagy az összegen fekszik.

Képletek a paralelogramma paramétereinek kiszámításához

A személyazonosságokat a következő feltételekkel adják meg:

1. a és b, α - oldalak és a köztük lévő szög;
2. d 1 és d 2, γ - átlók és metszéspontjuk;
3. h a és h b - az a és b oldalra süllyesztett magasságok;

Paraméter	Képlet
Az oldalak megtalálása
az átlók és a köztük lévő szög koszinusza mentén
átlók és oldalak mentén
a magasságon és a szemközti csúcson keresztül
Az átlók hosszának meghatározása
az oldalakon és a köztük lévő csúcs nagysága

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak, azaz. párhuzamos egyeneseken feküdjön

A paralelogramma tulajdonságai:
22. tétel. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek.
Bizonyíték. Az ABCD paralelogrammában AC átlót rajzolunk. Az ACD és az ACB háromszögek egybevágóak, mivel közös AC oldaluk és két egyenlő szögpárjuk van. mellette: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (mint keresztirányú szögek AD és BC párhuzamos egyenesekkel). Ez azt jelenti, hogy AB = CD és BC = AD, mint egyenlő háromszögek megfelelő oldalai stb. E háromszögek egyenlőségéből az is következik, hogy a háromszögek megfelelő szögei egyenlőek:
23. tétel. A paralelogramma ellentétes szögei egyenlőek: ∠ A=∠ C és ∠ B=∠ D.
Az első pár egyenlősége az ABD és a CBD háromszögek egyenlőségéből származik, a második pedig az ABC és az ACD háromszögek egyenlőségéből.
24. tétel. Egy paralelogramma szomszédos szögei, azaz. az egyik oldallal szomszédos szögek 180 fokot adnak össze.
Ez azért van így, mert belső egyoldalú szögek.
25. tétel. A paralelogramma átlói metszéspontjukban felezik egymást.
Bizonyíték. Tekintsük a BOC és AOD háromszögeket. Az első tulajdonság szerint AD=BC ∠ OAD=∠ OCB és ∠ ODA=∠ OBC keresztben fekvő AD és BC párhuzamos egyenesekre. Ezért a BOC és AOD háromszögek oldal- és szomszédos szögei egyenlőek. Ez azt jelenti, hogy BO=OD és AO=OS, mint az egyenlő háromszögek megfelelő oldalai stb.

A paralelogramma jelei
26. tétel. Ha egy négyszög szemközti oldalai páronként egyenlőek, akkor ez paralelogramma.
Bizonyíték. Legyen az ABCD négyszög AD és BC, AB és CD oldala rendre egyenlő (2. ábra). Rajzoljuk meg az AC átlót. Az ABC és az ACD háromszög három oldala egyenlő. Ekkor a BAC és a DCA szögek egyenlőek, és ezért AB párhuzamos CD-vel. A BC és AD oldalak párhuzamossága a CAD és ACB szögek egyenlőségéből következik.
27. tétel. Ha egy négyszög szemközti szögei páronként egyenlőek, akkor ez paralelogramma.
Legyen ∠ A=∠ C és ∠ B=∠ D. Mert ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, majd ∠ A+∠ B=180 o és AD és BC oldalak párhuzamosak (az egyenesek párhuzamossága alapján). Az AB és CD oldalak párhuzamosságát is bizonyítjuk, és arra a következtetésre jutunk, hogy az ABCD definíció szerint paralelogramma.
28. tétel. Ha egy négyszög szomszédos sarkai, pl. Az egyik oldallal szomszédos szögek 180 fokot adnak össze, akkor ez egy paralelogramma.
Ha a belső egyoldali szögek 180 fokot adnak össze, akkor az egyenesek párhuzamosak. Tehát AB párhuzamos CD-vel és BC párhuzamos AD-vel. A négyszög definíció szerint paralelogramma.
29. tétel. Ha egy négyszög átlói a metszéspontban felezik egymást, akkor a négyszög paralelogramma.
Bizonyíték. Ha AO = OC, BO = OD, akkor az AOD és a BOC háromszögek egyenlőek, mivel egyenlő (függőleges) szögeik vannak az O csúcsban, és egyenlő oldalpárok közé záródnak. A háromszögek egyenlőségéből azt a következtetést vonjuk le, hogy AD és BC egyenlők. Az AB és a CD oldalak is egyenlőek, és a négyszög az 1. kritérium szerint paralelogrammának bizonyul.
30. tétel. Ha egy négyszögnek van egy pár egyenlő, párhuzamos oldala, akkor paralelogramma.
Legyenek az ABCD négyszög AB és CD oldalai párhuzamosak és egyenlők. Rajzoljunk AC és BD átlókat. Ezen egyenesek párhuzamosságából következik, hogy az ABO = CDO és BAO = OCD keresztirányú szögek egyenlőek. Az ABO és CDO háromszögek oldal- és szomszédos szögei egyenlőek. Ezért AO=OS, VO=ОD, azaz. Az átlókat kettéosztja a metszéspont, és a négyszög a 4. kritérium szerint paralelogrammának bizonyul.

A geometriában a paralelogrammák speciális eseteit veszik figyelembe.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak, azaz párhuzamos egyeneseken fekszenek (1. ábra).

1. tétel. A paralelogramma oldalainak és szögeinek tulajdonságairól. A paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek, a szemközti szögek egyenlőek, és a paralelogramma egyik oldalával szomszédos szögek összege 180°.

Bizonyíték. Ebben az ABCD paralelogrammában rajzolunk egy AC átlót, és két ABC és ADC háromszöget kapunk (2. ábra).

Ezek a háromszögek egyenlőek, mivel ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (párhuzamos egyenesek keresztirányú szögei), és az AC oldal közös. Az Δ ABC = Δ ADC egyenlőségből az következik, hogy AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Az egyik oldallal szomszédos szögek összege, például az A és D szögek, egyoldalúként egyenlő 180°-kal. párhuzamos vonalakhoz. A tétel bizonyítást nyert.

Megjegyzés. A paralelogramma szemközti oldalainak egyenlősége azt jelenti, hogy a párhuzamosak által levágott párhuzamos szakaszok egyenlőek.

Következmény 1. Ha két egyenes párhuzamos, akkor az egyik egyenes minden pontja azonos távolságra van a másik egyenestől.

Bizonyíték. Valóban, legyen egy || b (3. ábra).

Rajzoljunk BA és CD merőlegeseket az a egyenesre a b egyenes két B és C pontjából. AB óta || CD, akkor ábra ABCD paralelogramma, ezért AB = CD.

A két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes tetszőleges pontja és a másik egyenes közötti távolság.

A bebizonyítottak szerint egyenlő az egyik párhuzamos egyenes valamelyik pontjából a másik egyenesre húzott merőleges hosszával.

1. példa A paralelogramma kerülete 122 cm. Az egyik oldala 25 cm-rel nagyobb, mint a paralelogramma.

Megoldás. Az 1. tétel szerint a paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek. Jelöljük a paralelogramma egyik oldalát x-szel, a másikat y-vel. Ekkor $$\left\(\begin(mátrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(mátrix)\jobbra feltétellel.$$ Ezt a rendszert megoldva x = 43, y = 18 Így tehát a paralelogramma oldalai 18, 43, 18 és 43 cm-esek.

2. példa

Megoldás. A 4. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Jelöljük AB-t x-szel, BC-t y-vel. A feltétel szerint a paralelogramma kerülete 10 cm, azaz 2(x + y) = 10, vagy x + y = 5. Az ABD háromszög kerülete 8 cm És mivel AB + AD = x + y = 5, majd BD = 8 - 5 = 3. Tehát BD = 3 cm.

3. példa Határozzuk meg a paralelogramma szögeit, tudva, hogy az egyik 50°-kal nagyobb, mint a másik.

Megoldás. Az 5. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Jelöljük az A szög fokmértékét x-szel. Ekkor a D szög fokmértéke x + 50°.

A BAD és ADC szögek egyoldalú belső szögek AB és DC párhuzamos vonalakkal és AD szekánssal. Ekkor ezeknek a megnevezett szögeknek az összege 180° lesz, azaz.
x + x + 50° = 180° vagy x = 65°. Így ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

4. példa A paralelogramma oldalai 4,5 dm és 1,2 dm. Egy hegyesszög csúcsából felezőt húzunk. Milyen részekre osztja a paralelogramma nagyobbik oldalát?

Megoldás. A 6. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Az AE egy paralelogramma hegyesszögének felezőpontja. Ezért ∠ 1 = ∠ 2.

A „Get A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témakört, amely szükséges a matematika egységes államvizsga 60-65 ponttal történő sikeres letételéhez. Teljesen a Profil egységes államvizsga matematika 1-13. Matematika egységes államvizsga alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 ponttal szeretnél letenni az egységes államvizsgát, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Egységes államvizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami az egységes államvizsga 1. részének matematikából (az első 12 feladat) és a 13. feladat (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az egységes államvizsgán, és ezek nélkül sem egy 100 pontos, sem egy bölcsész nem megy.

Minden szükséges elmélet. Az egységes államvizsga gyors megoldásai, buktatói és titkai. A FIPI Feladatbank 1. részének minden aktuális feladatát elemezték. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az Egységes Államvizsga 2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz egységes államvizsga-feladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, az egységes államvizsga-feladatok minden típusának elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Komplex fogalmak világos magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Az egységes államvizsga 2. részében szereplő összetett problémák megoldásának alapja.